辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学答案

辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出下列关系式，其中正确的是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】A选项，是没有任何元素的集合，错，B选项，∵，∴，对，C选项，是正整数集合，错，D选项，，元素是点坐标，错，故选B。2．已知命题：，，则命题的否定为（）。A、，B、，C、，D、，【答案】B【解析】命题：，否定为，，故选B。3．已知，则下列命题正确的是（）。A、若且，则B、若，则C、若，则D、若且，则【答案】B【解析】A选项，当时，满足且，但是不满足，错，B选项，，∴，∴，即，即，对，C选项，当时，，若成立，则需，∴，∴与矛盾，错，D选项，当时，若且，则不能得出，错，故选B。4．已知：，那么的一个充分条件是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】A选项，∵推不出，∴不是：的充分条件，错，B选项，∵推不出，∴不是：的充分条件，错，C选项，∵一定能推出，∴是：的充分条件，对，D选项，∵推不出，∴不是：的充分条件，错，故选C。5．设全集，且的子集可表示由、组成的位字符串，如：表示的是自左向右的第个字符为，第个字符为，其余字符均为的位字符串，并规定，空集表示的字符串为；对于任意两集合、，我们定义集合运算，。若、，则表示的位字符串是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意可得若、，则，∴此集合的第个字符为，第个字符为，第个字符为，其余字符均为，即表示的位字符串是，故选C。6．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵方程的两根分别是和，∴，解得或，、，∵，∴，解得，∴实数的取值范围为，故选C。7．已知命题：，命题：（）。若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意：中，解得，在：（）中，解得，∵是的充分不必要条件，∴，等号不同时成立，∴，∴实数的取值范围为，故选B。8．若关于的不等式（）的解集为空集，则的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，得，∴，令，则，∴，故选D。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。9．已知集合、集合，则下列说法正确的是（）。A、B、C、D、有个真子集【答案】BD【解析】由题意得集合表示直线上所有的点，集合表示上所有的点，是点集，A选项错，由得或，∴，∴B选项对，C选项错，∴有个真子集：、、，D选项对，故选BD。10．已知条件：，条件：，且是的必要条件，则实数的值可以是（）。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】设集合、集合，∵是的必要条件，∴，当时，由无解可得，符合题意，当时，或，当时，由解得，当时，由解得，综上所述，实数的取值为、、，故选ABC。11．已知关于的方程只有一个实数根，则实数的可能取值为（）。A、B、C、D、【答案】ABD【解析】对方程，去分母可得：，且且，此时，当时，即时，此时方程为，即，解得，符合题意，当，即时，方程有两根、，当或时，为增根，此时方程只有一个实根，当时，，符合题意，当时，，符合题意，综上所述，实数的可能取值为或或，故选ABD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。12．已知实数满足：，则。【答案】【解析】。13．若两个正实数、满足，且存在这样的、使不等式有解，则实数的取值范围为。【答案】【解析】∵两个正实数、满足，两边同除以得，∴，当且仅当，即、时，等号成立，则的最小值为，若不等式有解，则，即，解得或，∴实数的取值范围为。14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为。【答案】【解析】由不等式，解得或，解方程，解得、，①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有一个整数解，则，解得，②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有一个整数解，则，解得，综上所述，实数的取值范围为。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分分）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，经计算（）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入。假设到第年年底，该项目的纯利润为万元。（纯利润累计收入-总维修保养费用投资成本）（1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目；你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由。【解析】（1）由题意可知（），2分令，即，即，解得，∴从第年起开始盈利；5分（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，当且仅当时，即时等号成立，∴当时，取得最大值，8分此时该项目共获利（万元），若选择方案②，纯利润，∴当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元），11分以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，∴仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展。13分16．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：（1）已知，是否存在正实数、使得？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；（2）已知，比较与的大小并说明理由；（3）利用（1）的结论解决下面问题：已知、均为正数，且，求的最大值。【解析】（1）不存在，∵、，∴，又∵，∴，∴，∴不存在、使得；5分（2），证明如下：，当且仅当时等号成立，∴；10分（3）由（1）得，∴，∴，当且仅当，即、时等号成立，∴的最大值为。15分17．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：（1）已知命题：，命题：（），且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围。（2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值。【解析】（1）命题：，解得，设命题表示集合，2分设命题表示集合，∵命题是命题的必要不充分条件，∴，4分，即，5分当时，，，符合要求，可取，当时，解得，∵，∴，解得，经检验，符合要求，可取，当时，解得，∵，∴，解得，经检验，符合要求，可取，综上所述，实数的取值范围为；8分（2）由得，解得，10分又由得，其解集为，∴和是方程的两根，根据韦达定理得、，∴、，∴，13分则，当且仅当时，即时取等号，即、时，有最小值为。15分18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：（1）已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围；（2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围。【解析】（1）当时，即时，解得或，1分当时，的图像不可能都在轴上方，不符合题意，舍去，2分当时，的图像都在轴上方，符合题意，可取，3分当时，若函数的图像都在轴上方，则只需且，即且，解得，7分综上所述，，即实数的取值范围为；8分（2）由题意可知且方程的两根为、，则，解得或，∴或，10分根据韦达定理得、，11分又∵，∴，∴，∴且，∴，16分综上所述，，∴实数的取值范围为。17分19．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：（1）已知集合、集合，且满足，求实数的取值范围；（2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：①若，则集合中还有其他两个元素；②集合不可能是单元素集合。【解析】（1）当时，，此时，1分当时，∵，∴或关于的方程的根均为负数，2分当时，关于的方程无实数根，∴，解得，4分当关于的方程的根、均为负数时，有，解得，即，7分综上所述，实数的