九师联盟2021届高三1月联考试题（老高考） 数学（文）含答案

高三文科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A={—6,—3,-1,0,2,4,5},B={x|x2-2x-8<0},则AAB=

A.{-6,-1,0,2}B.{-3,-1,0,2,4}C.{-1,0,2}D.{-1,0,2,

4）

2.已知复数z满足z—i=iz+3（i为虚数单位），则复数z=

A.-l-2iB.-l+2iC.l-2iD.l+2i

3.某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果

编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是

A.327B.937C.387D.1087

4.摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其（TURKEY）的西南方，陵墓由下至上分别是墩座

墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米,

其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与

四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则

陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（注：V674七25.962）

A.2.77B.2.43C.1.73D.1.35

9

5.若a=log23・log35,b=k)g方一，c=2°",则

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

6.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为

44911265

A.一B.—C.—D.----

531113309

7.长征路公共汽车10分钟一班准时到达红旗车站，假设公共汽车到站后每人都能上车，则任

一人在红旗车站等车少于6分钟的概率是

3I23

A.-B.-C.一D.-

4255

8.已知正项等比数列｛an｝的前n项和为ai+a2=—,a3+a4=―,则S5=

28

1052115327

A.——B.——C.—D.——

81642

ex-l

9函.数f(x)=•sinx在区间［-it,兀］上的图象大致为

ex+l

2

4On

A

7T7t7万

10.已知函数f(x)=sin(3x+(p)(0<o)<4,l<pl<—)>f(­则f(x)=

21212

717t,Tl,71

A.sin(2x——)B.sin(3x——)C.sin(3xH---)D.sin(2xH----)

43

11.在正方体ABCD-AIBICIDI中，P为底面ABCD的中心，E为线段AQi上的动点（不包括

两个端点），Q为线段AE的中点。现有以下结论:

BC

①PE与QC是异面直线；②过A,P,E三点的正方体的截面是等腰梯形;

③平面APE_L平面BDDiBi；④PE//平面CDDC。

其中正确结论的序号是

A.①④B.②③C.②④D.①③

12.点F为抛物线C：y2=4x的焦点，横坐标为m(m>0)的点P为抛物线C上一点，过点P且

与抛物线C相切的直线/与y轴相交于点Q,则tan/FPQ=

I—1y/m+12

A7mB.-C------------D.―/

y/m2y/m+1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-2y>0

13.已知实数x,y满足约束条件<x—y—2W0,贝Uz=x+y的最小值为。

y>0

14.若单位向量a,b满足(a—2b)，a,则a与b的夹角为。

15.在数列｛aj中，ai=l,an+i—an=9—2n,则数列｛aj中最大项的数值为。

22

16.已知双曲线C：=一之*=l(a>0,b>0)的右焦点为F,A为双曲线C的右顶点，过点F作

ab

x轴的垂线，与双曲线C交于P,若直线AP的斜率是双曲线C的一条渐近线斜率的百倍，

则双曲线C的离心率为O

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinB=百bcosA。

(1)求角A的大小；

(2)若AB-AC=6,a=,求sinB+sinC。

18.(本小题满分12分)

西瓜堪称“盛夏之王”，清爽解渴，味甘多汁，是盛夏佳果，西瓜除不含脂肪和胆固醇外，含

有大量葡萄糖、苹果酸、果糖、蛋白氨基酸、番茄素及丰富的维生素C等物质，是一种营养

丰富、纯净、食用安全的食品.炎热的夏季里，人们都会吃西瓜来消暑解渴，某西瓜种植户统

计了2020年6月、7月、8月、9月共计120天天气“炎热”还是“凉爽”使得西瓜销售“畅

销”还是“滞销”的列联表如下：

西瓜畅销(单位:天)西瓜滞销(单位:天)总计

天气炎热7020

天气凉爽20a

总计

(1)求实数a的值；

(2)完成上述列联表，并判断能否有85%的把握认为西瓜的销量好坏与天气因素有关？

(3)若利用分层抽样的方法在西瓜滞销的天数里，按天气炎热、天气凉爽抽取6天，再从这6

天中随机抽出2天，求这2天天气情况不同的概率。

附：K2=-------------------------,其中n=a+b+c+d。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

k1.3232.0722.7013.841

P（K，h）0.250.150.100.05

19.(本小题满分12分)

如图1中，多边形ABCDE为平面图形，其中AB=AE=G，BE=BC=2,CD=4,BE//CD,

BC1CD,将AABE沿BE边折起，得到如图2所示四棱锥P-BCDE,其中点P与点A重合。

图1图2

(1)当PD=jn时，求证：DE_L平面PCE；

(2)当平面PBE_L平面BCDE时;求三棱锥P-CDE的体积。

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=--a+^x2+2ax+l(a®R)。

32

⑴当a=l时，求f(x)的极大值和极小值;

(2)当aW6时判断f(x)在区间(0,+8)内零点的个数，并说明理由。

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C：「+与=1(。＞人＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于x轴的直线

a~b~

_3

与C交于M,N两点，且M的坐标为(1,-)o

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F2作与直线MN不重合的直线/与C相交于P,Q两点，若直线PM和直线QN相交于

点T,求证：点T在定直线上。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为＜(t为参数),曲线C的参数方程为

x=]+cosa

-(a为参数)。以原点。为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。

y=sina

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程；

(2)已知A是曲线C上一点，B是直线I上位于极轴所在直线上方的一点，若|0B|=2,求AAOB

面积的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设a,b,cGR,且a+b+c=L

(1)求证：a2+b2+c2＞；

(2)用max{a,b.c}表示a,b,c的最大值，求max{a+b,b+c,c+a}的最小值。

高三文科数学参考答案、提示及评分细则

1.C由3={1|-2Vz<4}•所以人口8={-1,0.2}.故选C.

2D,=空=（3+以1+i）=±j=]+2L故选口

~1-i（l+iXl-i）21十八收0；D.

3.A依据题意•抽样间隔为25,又237除以25的余数为12,故所抽取的编号为12+25A（A=0・1•…,47）•所以327不符

合.故选A.

4.C根据长、宽分别是10米、30米得金字塔的底面对角线长50米.可算出四棱锥高7米•所以侧棱长为，72+25,=

而,则陵塔的高与金字塔的侧梭长之比大约为聋=N1.73.故选C.

5/674

QIQA

=

5.Balog25>2.6=1（^;2&m=lo&5=a・r<2,有c<Za<Zb.故选B.

6.A/=1时・S=l;i=2时・S="1*；i=3时.5=万且一=卷;i=1时・5=百，一=强」=5不满足条件•退出循环•输出

+3TT+4

故选A.

7.D设上一班车离站时刻为人则该人到站的时刻的一切可能为（f“+10）.若在该站等车少于6分钟•则到站的时刻为

（，+4.，+10）.所以所求概率为靠=等.故选D.

=»!■•可得5=1,所以4

8.B设公比为q（q>0）•有=得.故选R

Cx——1fl1八"-1

9.A由=E'、inS）=K-inL/8.可知/⑺为偶函数.又由当我[°,用时必,）=司•

sinI'O.故选A.

瑞+a=H穴.

10.A由题意有V（舟曲62）・两式作差得券=（生一舟）小瓦・扁£2）.有3=2（包一舟）S・&£Z）.又由

7兀心,乙

旅+广坛”

0VY4•可得w=2呼=*—1a£Z）.又由I夕IV}■•可得y=一关,故有/Cr）=sin（2L^）.故选A

11.B连接PC,因为P为正方形ABCD的中心,所以P是八（、的中点，乂Q为线段AE的

中点•所以PQ〃CE.从而P、Q、E、C四点共面•即PE与QC共面•则①错谟;连接儿（；.

过E作EF〃AC交GR于点F・连接CF.则四边形ACFE是正方体过A、P、E:点的

截面（因为EF〃4g〃AC，且EFVAG=AC）•易证四边形ACFE为等腰梯形•故②

正确；可证AP_L平面BDDJ3「结合APU平面APE•可得平面APE_L平面HDD.B,.则

③正确；假设PE〃平面CDD"；.又PEU平面ACFE.平面CDD"；D平面ACFE=

CF.所以PE〃（下•又EF〃P（'・所以四边形PCFE为平行四边形•从而EF=PC=+AC

=*1AC.所以EF是△?1©口的中位线.即E是AR的中点.这与“E为线段上的动点”矛盾•故④错误.

12.B由抛物线的对称性,不妨设点。位于第一象限•可得点。的坐标为（，〃.2，茄）•设宜线/的方程为、=内工一，〃）+

11y2=41,

2々•联立方程消去工后整理为栩2-4y+8，嬴-4厉〃=0,有4=16-4屐8//—4后w）=0,

〃D+2Vm.

布，由一2/赢+1=0.解得K=J=.可得直线/的方程为y=4+4；.令y=0.得上=一"，,直线/与工轴的交点

vmvtn

D的坐标为（一处0）.所以|DF|=l+，〃.又|PF|=，〃+1•所以|PF|=|DF|•所以NFPQ=/FDP.所以ian/FPQ=

tanNFDP=&=与.故选B.

13.6网出可行域•如图所示・当直线工+'，=0过点A(4・2)时・=取得最大值.故j=4+2产

=6./

/1a•h1.r-2尸匕2)

14.由(a—2b)J_a.得(a—2b)•a=0.即a•6=彳•所以cos<a.b)=।।.[b|="F'又

〈。・力〉€[0,寻所以《。.吩=手.*/

15.17当时一)+(a._1—a1)+…+3-ai)+4i=<11一2〃〉+《13-2〃)+…+7+1=95—1)一

2X也产+1=——+10〃-8=一(〃-5)2+17•所以数列｛/｝中最大项的数值为17.

16.2设焦点F的坐标为3.0)・双曲线(、的离心率为〃•不妨设点P位于第一象限•可求得点P的坐标为(一9)•点八的

任n—r

坐标为Q.0),宜线/V5的斜率为士=芝三力=宁=7+】•又由'=>\/勺金=.有e+l=/3(/—1)・

整理为J—2=0・解得，=2或*•=-1(舍).

17.解:《D由正弦定理.得sinAsinBr/?sinBcosA,.......................................................................................................2分

因为sinB>0,所以sinA=&cosA,即unAf/5・......................................................................................................4分

由0VAV”•得A=^,.........................................................................................................................................................6分

⑵由题意•得<〃cos^=6•即仪=12・...............................................................................................................................8分

由余弦定理.得a=#+—一加•即/=(〃+c)2—3加.

由a=K及庆=12•解得〃+c=7,....................................................................................................................................10分

由正弦定理.得卷=卷=急•即肃器/=就X,

7X区"-

2_7>/39

所以sinB+sin。=(〃+0仙.12分

/I3

18.解：(110=120—70—20-20=10・.....................................................................................................................................1分

(2)填写列联表如下:

西瓜畅销(单位:天)西瓜滞销(单位:天)总计

天气炎热702090

..................................................................................................................................Q4

天气凉爽201030

总计9030120

120X(70X10-20X20)2

-90X30X90X30""-1.481V2.072.

故没有85%的把握认为西瓜的销量好坏与天气因素有关.................................................7分

⑶天气炎热的天数为20X亲=4天,分别记作明〃",♦.

天气凉爽的天数为10X亲=2天.分别记作.r、y.

从这6天中随机抽取两天包括的基本事件为(a,〃)、(a,c)、(■,△)、、(a,y)、"九c)、(〃")、(仇”)、(〃・y)、(c・t/)、

(c.«r)、(c.y)、(d.x)、(d,y)、(”♦、)•共15个...........................................................9分

这2天天气不同的基本事件为(a.z)、(a.y)、(。・上)、(仅y)、(C・E)、(e・y)、(d.i)、(d・y).共8个.............11分

故这2天天气情况不同的概率为春.................................................................12分

19.(1)证明：由BE〃CD.3cLeD.3E=B('=2,CD=4.易求CE=DE=272.

所以C^+Q^nCD2,所以DEJ_CE.................................................................................................................................2分

因为PEM,PD=/IT•所以DE'+P^MllnPD2・所以DE±PE...........................................................................3分

又PEn('E=E.PE.CEU平面PCE.

所以DEJ_平面PCE..............................................................................................................................................................6分

⑵解：如图•取BE的中点O,连OP.P(A)

因为BP=EP=—・BE=2,所以OP_L3E・OP=6...............................................8分

因为平面PBE_L平面BCDE,。匕LBE•平面PBEC平面BCDE=BE,OPU平面PBE.//\

所以()。_1_平面比'。匹....................................................10分p//}\\

所以OP为三棱锥P-CDE的高・\[0/'、、\

因为ACDE为直角三角形,DE±CE,V//、'\

1I/o----------------------

所以％十X2v^X2&Xa=弩4................................12分

20.解:⑴当〃=】时./(/)=£一等工2+如+].则/⑺=/-31+2=(1-1)(/-2)........................................1分

由/(外V0•得1VZ2;由/"(幻>0得zVl或=>2.

所以/(外在(一8.1)和(2,+8)上是增函数•在(1.2)上是减函数.........................................2分

所以i=l是八外的极大值点・工=2是/G)的极小值点.

所以人力的极大值为/⑴二,的极小值为八2)=条............................................4分

z

(2)/(>r)=/2—(a+2)z+2a=(j-a)(1—2)(4>0),......................................................................................5分

①当a40时.j-a恒正•于是•当0V#V2Hj./(x)<0;当x>2Bj./(x)>0.

所以/(工)在(0・2)上是减函数•在(2.+8)上是增函数.

所以工=2是人力的极小值点.且f(2)=2a~^<0.

19

又/(0)=l>0,/(4)=y>0.

所以八公在(0,2)和(2・4)内各有一个零点・

即当a40时,八外在(0,+8)内有两个零点............................................................7分

②当0VaV2时.列表如下：

-T(O.a)aQ.2)2(2.4-00)

+0—0+

八外增函数极大值减函数极小值增函数

考虑到/Q)乌一空•a2+2d24-l=ya2(6-u)+l>0,/(0)=l>0.

当/⑵=2〃一方V0.即OVaV卷时•因为/(4)=学〉0.所以/⑺在(0,+M内有两个零点;

当/(2)=2〃一《=0.即时・/(外在(0,+8)内有一个零点；

6O

当]2)二加一J>。,即卷VaV2时,fGr)在(0,+8)内没有零点........................................9分

③当a=2时/(6=(i-2)220,则人%)在(0,+8)上为增函数.

所以/Cr)>/(0)=l>0•故/(外在(0.+8)内没有零点..............................................10分

④当2V.&6时.列表如下：

(0.2)2(2,a)a(d.4-oo)

+0—0t

人工)增函数极大值减函数极小值增函数

考虑到/(0)=1>0・/(力的极大值/⑵=2。一1>0,/(力的极小值/(4)=卷1(6—”)+1>0.

所以人工)在(0.+8)内没有零点...................................................................11分

综上•当av]■时小力在(0・+8)内有两个零点;当〃■时・/(公在(0,+8)内有一个零点；

当得446时J(外在(0,+8)内没有零点...........................................................12分

21.(1)解：由题意.得「2(1，0)・氏(一1,0)・且°=1,...............................................................................................1分

则为=|MK|+|MF?|=J(-1-1)2+(1-0)•+日=4•即a=2・..............................................................2分

所以.............................................................................3分

故椭圆C的方程为?+[=1...................................................................................................................................

4分

⑵证明：由⑴及的对称性.得点的坐标为（.一等）...............................................

CN15分

设直线/的方程为y=M，一D.点P、Q的坐标分别为

+=

联立方程JT1消去'格整理为（4万+3）工2一8必工+必2-]2=0・

ly=/（»r—D,

_i_8工止一12

所以=.................................................................6分

宜线PM的斜率为三

H线PM的方程为,v-4)<.r-l).

.3“々-D+毋3

“+方

支线QN的斜率为x-\一上+工―2・

x21t

宜线的方程为了+普=（五三）”-）

QN4+1,..............................................................8分

将直线PM和直线Q.Y方程作差消去y后整理为（尹二?+小三卜/一口二？.

4JT]4ZJCQ4

可得（为+&卜/一

D=2,.........................................................................................9分

8-

而由」-+]二町+了=2=_巧+1