2022-2023学年吉林省长春市九台市师范某中学第二学期高三开学考数学试题

2022-2023学年吉林省长春市九台市师范高级中学第二学期高三开学考数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(x+y)(2x—y)5的展开式中的系数为()

A.-30B.-40C.40D.50

2.三棱锥S—ABC的各个顶点都在求。的表面上，且AABC是等边三角形，底面ABC,SA=49AB=6,

若点。在线段SA上，且AO=2SO,则过点。的平面截球。所得截面的最小面积为()

A.3兀B.47C.84D.137r

3.已知函数/0)=[2,一乂乂.?，则/(/(—1))=()

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

14

4.设tana=],cos(^+/?)=--e(0,^)),则tan(2a-£)的值为()

75

A.------B.------

2424

57

C.—D.—

2424

5.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,

4

在堑堵ABC-A4G中，AC±BC,AA=2,当阳马B—ACQA体积的最大值为§时，堑堵ABC-A4G的外

接球的体积为()

D.鸣

3

-x+2工,x20厂「2/、

6.已知函数/(x)=<,,若关于X的不等式[/(X)丁+4(x)<0恰有1个整数解，则实数"的最大值

x"—2x,x<0

为（）

A.2B.3C.5D.8

7.已知三棱锥P—ABC,AC=y/2,BC=l,AC_LBC且=~B_L平面ABC,其外接球体积为（）

4/r“32乃

A.B.4乃C.------D.r

33

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是（）

222

A.8cmB.12cmC.(46+2,苏D^^5+^cm

，1

—XH---XX<0n

9.已知函数/(x)={2'，若函数g(x)=/(x)一"有三个零点，则实数攵的取值范围是()

ln(x+l),x>0

A.-»1B.f-C.(0,1)D.f—>+

10.已知菱形ABC。的边长为2,ZABC=60°,则8»C0=()

A.4B.6C.273D.46

uuuuuu

11.在直角梯形ABC。中，ABAD=0>Zfi=30。，AB=2。BC=2,点E为8c上一点，且AE=xAB+yA。,

当犯的值最大时，|AE|=()

A.V5B.2C.D.273

2

12.已知A={x|N<l},3=1|2,<1},则AB=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,+<»)D.(-oo,l)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=(LD,闻=J5,(2a+b)-a=2,则-力|=________,

14.设全集U=R,集合4=3|/一2%＜0},8={x|尤＞1},则集合Ac(Q/)=.

15.在三棱锥A-BCD中，已知BC=CD=BD==OAD=6，且平面43。_L平面BCD,则三棱锥

A-BCD外接球的表面积为.

16.三棱柱A8C-中，AB=BC^AC,侧棱例，底面ABC,且三棱柱的侧面积为3石.若该三棱柱的顶

点都在同一个球。的表面上，则球。的表面积的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

I-r2

X—~

17.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为＜1；：口为参数).点p(x。,%)在曲线C上，点。(〃?,〃)

(1)以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹G的极坐标方程；

⑵点A'3分别是曲线G上第一象限'第二象限上两点'且满足求小+加的值•

18.(12分)如图，在正四棱柱ABC。—AAGA中，AB=1，M=3,过顶点A,G的平面与棱Bg,DR分

别交于M,N两点(不在棱的端点处).

(1)求证：四边形AM&N是平行四边形；

(2)求证：AM与AN不垂直；

(3)若平面AMQN与棱8c所在直线交于点P,当四边形AMGN为菱形时，求PC长.

19.(12分)在四棱锥产一ABC。中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD,NBCD=90°,PAVCD,

BC=CD=^-AD=1,PA=PD,E，尸分别为AO，PC的中点.

2

(1)求证：PC=2EF.

(2)若EF上PC,求二面角尸-BE-尸的余弦值.

20.(12分)在数列｛q｝和等比数列也｝中，a,=0,%=2,2=2"”+i(〃eN)

(1)求数列也｝及｛q｝的通项公式；

⑵若c,=ga,瓦,求数列｛%｝的前〃项和S“.

'1on「4r

21.(12分)已知矩阵4=0_］，8=23'若矩阵加=阴，求矩阵M的逆矩阵A/T.

22.(10分)如图，在矩形ABC。中，A3=4,AD=3,点瓦尸分别是线段。CBC的中点，分别将△DAE沿4E

折起，△CEF沿EE折起，使得。，。重合于点G,连结AE.

(I)求证：平面GE尸平面GAE；

(H)求直线G/7与平面G4E所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

先写出(2x-y)5的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.

【详解】

对二项式(2x—打，

r

其通项公式为Tr+l=C；(2x)"‘(-y)=C：25T(R产y

(x+y)(2x-y)s的展开式中dy，的系数

是(2x—y)s展开式中x2y3的系数与丁＞2的系数之和.

令r=3,可得.dy3的系数为C；22(—1)3=-4O；

令r=2,可得尤3y2的系数为c；23(—I?=80；

故(x+y)(2x—yF的展开式中x、3的系数为80-40=40.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.

2、A

【解析】

由题意画出图形，求出三棱锥S-A8C的外接球的半径，再求出外接球球心到。的距离，利用勾股定理求得过点。的

平面截球。所得截面圆的最小半径，则答案可求.

【详解】

如图，设三角形A8C外接圆的圆心为G,则外接圆半径AG=gx3名=26，

设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,则外接球的半径R=J(2可+22=4

取SA中点E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,

所以OD=J(2可+『=岳.

则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为"-网,=6

所以过点D的平面截球。所得截面的最小面积为万(g了=3万

s

故选：A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.

3、A

【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

因为/(x)=12,一：/"?所以/(/(-1))=/(2)=22-2=2.

x+l,x<0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

4、D

【解析】

利用倍角公式求得tan2c的值，利用诱导公式求得cos/的值，利用同角三角函数关系式求得sin/?的值，进而求得

tan/7的值，最后利用正切差角公式求得结果.

【详解】

1c2tana4

tana=—，tan2a=

2l-tan2a3

COS(4+/)=—4=-COS/?,(/?G(0,7T),

433

/.cos/?=—,sin/?=-,tan/=—,

4_3

tan2a-tan〃34=7

tan(2(z-y5)=

l+tan2tztan/7加瞽

34

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角

公式，属于基础题目.

5、B

【解析】

利用均值不等式可得LgL/CAC.朋用=父质即可求得钻,进而求得外接

球的半径，即可求解.

【详解】

由题意易得8C，平面ACC,A,

I2]1

所以%YCCM=3BC-AC-A4,=§8。・4。＜3（8。2+4。2）=34夕，

当且仅当AC=BC时等号成立，

又阳马8-ACCXA｛体积的最大值为|,

所以AB=2,

所以堑堵ABC-AB.C,的外接球的半径R=J]竽j+（言j=72,

所以外接球的体积V=刍乃，=述乃，

33

故选:B

【点睛】

本题以中国传统文化为背景，考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用，体现了数学运算、直观

想象等核心素养.

6、D

【解析】

画出函数/（X）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.

【详解】

解：函数/（X）,如图所示

[/(")丁+4(力<0=/(月(/(耳+Q)<0

当〃>0时，一々</(%)<0,

由于关于X的不等式[/(x)了+4(x)<0恰有1个整数解

因此其整数解为3,又/(3)=—9+6=—3

**•—a<—3<0>_a>/(4)——8,则3<aW8

当a=0时，[/(x)]<0,则a=0不满足题意；

当a<0时，0</(x)V-CI

当0<-aWl时，0</(x)<—a,没有整数解

当一。>1时，0<./•(£)<—。，至少有两个整数解

综上，实数。的最大值为8

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.

7、A

【解析】

由AC_L5C,依，平面ABC,可将三棱锥P-ABC还原成长方体，则三棱锥产一ABC的外接球即为长方体的外接球,

进而求解.

【详解】

由题，因为AC=J5,BC=1,4。1.3。,所以^8=,4。2+8。2=思

设PB=力,则由PA=2~8,可得y/3+h2=2/1，解得〃=1，

可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体,

则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R,则2R=712+(^2)2+12=2,所以R=1,

47ra4-TT

所以外接球的体积V^—R3=—.

33

故选:A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.

8、D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为历下=石，所以侧面积为

4x1x2x75=475.所以该几何体的表面积是(475+4)cm2.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

9、B

【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知x=0为g(x)=/(x)一"的一个零

点；对于当x<0时，由代入解析式解方程可求得零点，结合x<0即可求得左的范围；对于当x>0时，结合导函数,

结合导数的几何意义即可判断左的范围.综合后可得攵的范围.

【详解】

根据题意，画出函数图像如下图所示：

3

2

-5-5-1xjllJ4iAV

Ai*

/-i

/-»

//

I

函数g(x)=/(x)-丘的零点，即/(x)=履.

由图像可知，/(0)=(),

所以x=0是/(x)-依=0的一个零点，

当了<0时，.f(x)=—若/(x)-丘=(),

则—X?-|—X—kx=0,即x=---k,所以—k<0,解得~<k；

2222

当x>0时，/(x)=ln(x+l),

贝!|/'(幻=々，且々e(0,l)

若/(x)—丘=()在x>0时有一个零点，则丘(0,1),

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中

档题.

10、B

【解析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果.

【详解】

如图所示，

,D

------------1

菱形形ABC。的边长为2,ZABC=60°,

二ZC=120°,ABZ）2=22+22-2X2X2XCOS1200=12»

:.BD=20，且NBDC=30°,

BDCD=\BD\x\CD\xcos30°^2y/3x2x^=6,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题..

11、B

【解析】

由题，可求出AO=1,CD=6,所以AB=2OC，根据共线定理，设3E=4BC（0毅睨1）,利用向量三角形法则求

出AE=（1-+结合题给AE=xA6+yAQ,得出x=1-,进而得出町=（1—楙）/1,最后

利用二次函数求出初的最大值，即可求出|AE|=.

【详解】

.UUUUUIUL

由题意，直角梯形ABC。中，ABAD=0>々=30。，AB=2BBC=2,

可求得AD=1,CO=百，所以AB=2£>U

••,点E在线段BC上，设BE=NBC（（度।儿1）,

则AE=AB+BE=AB+28C=A5+几（&4+A£>+OC）

=（1一；1）A3+九AO+4OC=（1一SA8+2AD,

即AE=\\-^\AB+XAD,

又因为AE=xAB+yAD

0

所以％=1-5,丁=/1,

所以孙_；〔(4_1)2—1]=一;(4一I)2+；，，；，

当2=1时，等号成立.

一1一

所以|A£H—A8+AD|=2.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.

12、D

【解析】

分别解出集合A、5然后求并集.

【详解】

解：A={x]|x|<1}={止1<x<1},B={x,<1}={x|x<0}

A|J5=(-»,1)

故选：D

【点睛】

考查集合的并集运算，基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

由题意得a,b=-2,Ial=>/2>再代入Iq_]|=_力)2=~—2a,b+b中，计算即可得答案.

【详解】

由题意可得I。1=应，(2a+b)-a=a-b+2a=a-b+4，

•*,a-b+4—2•解得a-b——2，

''\a-b\=y](a—b)2=da-2a-b+b=J2+4+3=3•

故答案为：3.

【点睛】

本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的

运用.

14、(0,1]

【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.

【详解】

由题可知，集合A中％2-2X<0=X(X-2)<0=0<X<2

集合8的补集电8={x|x41},则Ac&B)={x|0<x41}

故答案为：(0,1]

【点睛】

本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.

15>48兀

【解析】

取BD的中点尸，设等边三角形BCD的中心为。，连接AF,CF,Q4.根据等边三角形的性质可求得

BO=CO=DO=,CF=2日OF=日由等腰直角三角形的性质，得AFJ.89,根据面面垂直的性质得AF±

平面BCD,AF1OF,由勾股定理求得。4=2万，可得。为三棱锥A-8QD外接球的球心，根据球体的表面积公

式可求得此外接球的表面积.

【详解】

在等边三角形中，取8。的中点/，设等边三角形BCQ的中心为。，

连接AF,CF,04.由BC=6,得BO=CO=DO=^CF=26,OF=g,

由已知可得AABZ)是以BD为斜边的等腰直角三角形，AE±BD,

又由已知可得平面43。J_平面BCD,平面BCD,，477，。尸，

Q4=J。尸2+A产2=26,所以。4=08=。。=00=26，为三棱锥外接球的球心，外接球半

径R=0C=25

三棱锥A—BCD外接球的表面积为471x(26)2=48兀.

故答案为：48K

A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球

的半径，属于中档题.

16、4万

【解析】

分析题意可知，三棱柱ABC-AB|G为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心。，

设棱柱的底面边长为。，高为〃，则三棱柱的侧面积为3入〃=36,球的半径表示为/?=,再由重要

不等式即可得球。表面积的最小值

【详解】

如下图，

V三棱柱ABC—ABC为正三棱柱

设AG=a,BB]=h

**•三棱柱的侧面积为3a-h-3百

a-h=5/3

又外接球半径R=

A外接球表面积S=4余"万.

故答案为：4万

【点睛】

考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出

图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)3P2cos2,+4"sin?8=12(一〃•＜〉＜%)；(2)—

12

【解析】

(D由已知，曲线。的参数方程消去r后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;

3cos2,+j+4sin2,+?

⑵设A（q，a）,B（p,0+^],由Q）可得」=3cos2a+4sin2a

2t1

\2）p12

xpi12

相加即可得到证明.

【详解】

-~~^£（-1,1],二XN-1,二X?+y2=1（》*一1）,

m

X0=-22

m=2x02tnn-、

由题可知：，=>——+—=1（/72W-2）,

〃=岛043

yV。飞—“

C]：3p2cos20+4p2sin2=12（一冗〈9〈兀）.

12

（2）因为夕2

3cos12^+4sin20'

设A（8，a）,

13cos2a+4sin)4

贝M1—=

P\

3cos~[q+])+4sirr[q+—J_3sin2伍+4cos24

11117

-----1---------1---=--

|0A『IOBI2p；p[12-

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PC=2.

【解析】

（1）由平面ABgA与平面。CG2没有交点，可得AM与NC|不相交，又AM与NC1共面，所以AM//NC；,同

理可证AN//MG，得证；（2）由四边形AMGN是平行四边形，且则AMGN不可能是矩形，所以

AM与AN不垂直；（3）^RtABM=RtC}B}M,可得“为Bg的中点，从而得出3是PC的中点，可得PC.

【详解】

（1）依题意A,M,G，N都在平面AG上,

因此40=平面4c-Nga平面AC»

又AMq平面A,NG工平面OCG2,

平面与平面OCG2平行，即两个平面没有交点，

则AM与NG不相交，又AM与NC1共面，

所以AM//NG，同理可证AN//MG，

所以四边形AMGN是平行四边形；

（2）因为N两点不在棱的端点处，所以

又四边形AMGN是平行四边形，国AC"

则AM&N不可能是矩形，所以AM与AN不垂直;

(3)如图，延长GM交CB的延长线于点P,

若四边形AMGN为菱形，则AM=MC-易证心ABMsRtC.B.M,

所以BM=B1M,即M为的中点，

因此6M=gcG，且BM//CG，所以加是PCG的中位线，

则8是PC的中点，所以PC=2BC=2.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.

19、(1)见解析(2)逅

3

【解析】

(1)由已知可证明CO，平面尸4),从而得证面面垂直，再由P£_LAT),得线面垂直，从而得PELEC,由直角

三角形得结论；

(2)以为苍轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角.

【详解】

(1)证明：连接EC,ZBCD=ZADC=90°,:.AD±CD.

PAA.CD,PA(~\AD=A,\05A平面PAD.

CDu平面ABC。，，平面ABC。_L平面PAD.

PA=PD,E为AD的中点，：.PE±AD.

平面A8CD「平面%D=4),PE_L平面ABC£).

尸为放APEC斜边PC的中点，:.PC=2EF,

(2)EELPC,；.由(1)可知，APEC为等腰直角三角形,

则PE=EC=42-以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(0,0,0),P(0,0,5/2),8(0,1,0),F——,—

11V2/、

则E8=(0,l,0)E/=,记平面的法向量为加=(x,%z)

\7

y=0

mEB=0,小

由“得到＜1172.«

m-EF-0——X+―y+——z=0

222

取x=2,可得z=&，则机=(2,0,&).

易知平面PEB的法向量为"=£4=(1,0,0).

记二面角尸-8E-F的平面角为。，且由图可知。为锐角，

则cose=回生=-1-=—,所以二面角P-BE-F的余弦值为逅.

|m||h|V633

尽

【点睛】

本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角.在立体几何中求异面

直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避

免空间角的作证过程，通过计算求解.

20、(1)an=n-\,bn=2"(2)5„=2+(n-2)x2"

【解析】

⑴根据4=。与4=2可求得伪=2,a=23=8再根据等比数列的基本量求解即可.

(2)由(1)可得c.=(〃-1)x2"T,再利用错位相减求和即可.

【详解】

解：

(1)依题意仿=2,4=23=8,

设数列｛2｝的公比为g油bn=2«小>0,可知g>0,

由4=4=2x/=8,得相=4,又4>0,则q=2,

故a=b©i=2x2"T=2",

又由2%+I=2",得4=〃T.

(2)依题意%=(〃-l)x2"T.

S“=0x2°+lx2'+2x22+...+(n-2)x2,,-2+(n-l)x2n-1,©

Jil!|2S“=0x2i+l