人教版高中数学必修五学案4：2.1数列的概念与简单表示法

2.1数列的概念与简单表示法

学习目标：

1.能根据通项公式确定数列的某一项.

2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

学习过程：

新知回顾：

1.从函数的观点看数列

一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函

数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题.例如，类比单调函数的定义

得出单调数列的判断方法.即：数列｛斯｝单调递增=斯+1>如对任意〃（〃WN*）都成立；数列

｛斯｝单调递减=%+1〈斯对任意n（〃GN*）都成立.

另一方面，还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N*或它的子集｛1,2,…，

〃｝,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的

曲线.

〃—A/98

例如：已知““=丁湍，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是（

A.a\,a30B.aj,的

C.Clio)的D.aio,的0

2.了解一点周期数列的知识

类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列｛斯｝,若存在一个大于1的自

然数7（7为常数），使%+7=斯，对一切"GN*恒成立，则称数列｛%｝为周期数列，T就是它

的一个周期.易知，若7是｛““｝的一个周期，则AT（&GN*）也是它的周期，周期最小的那个

值叫最小正周期.

—1

例如：已知数列｛%｝中,3为正常数）,an+\=—（〃=123,则下列能使

斯=。的〃的数值是（）

A.15B.16

C.17D.18

3.数列的前〃项和S”与斯的关系

对所有数列都有：S?=a]+〃2+…+斯-i+斯，+做+…+斯-1（〃之2）.因此，当

n>2时，有：%=S〃-S"-].当n=1时，有：3=S].所以。“与S〃的关系为：斯=

5,n=\

危2.注意这一关系适用于所有数列.

—Sn-\,

例如:已知数列｛斯｝的前"项和&=(〃-1>2"+1,则斯=.

4.由简单的递推公式求通项公式

(1)形如斯+1—斯=./(〃)，且/(1)+•*2)+…+4〃)可求和,采用累加法求a”.

即：%=aI+(42—。1)+(的—42)+…+(斯—斯-1)

=%+,*1)+12)+…+大〃-1)

=©+%)

/=!

(2)形如〃“+]=/(〃)•a“，且犬1>人2)…贝〃)可化简，采用累乘法求知.

〃一1

即即=。谭受…•廿-=4I7U)7(2)•…火"-1)=4「耶。

t«lc*2an-1/-1

(注：2为连加求和符号，ri为连乘求积符号)

(3)形如alt+]=Aan+B(AB^O且A^l).

设斯+i—x=4%一X)，则：

0rH=A〃〃+(1—A)x

由(1—A)x=3,

•-%+1_]__,=4（斯一

1—Ak

Ms一昌)

=...=A"

J.+A”

=（l—A"T）.g+A"-L.

1L\

方法突破：

一、观察法写数列的通项公式

方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的

前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律.根据此规律便可写出一个相应的通项公

式.注意以下几点：

(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3,…标在相应项上，这样便于突出第

〃项“与项数"的关系，即如何用〃表示.

(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的

构成规律，就必须要对它进行还原工作.如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分

子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试.

(3)当一个数列出现“+”、“一”相间时，应先把符号分离出来，即用(一1)〃或(一I)"'表

示，然后再考虑各项绝对值的规律.

(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的

通项公式.

例I：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

4142J-9c25

⑴不/，石，,，...；(2)2>2,2-8,2，...；

(3)1,3,6,10,15,...；(4)7,77,777,…；

(5)0,3,8,15,24,...；(6)1,专,yy,....

二、数列的单调性及最值

方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单

调性.

例2：在数列｛&｝中，％=(”+l)G¥)"(〃CN*).

试问数列｛为｝的最大项是第几项？

三、数列的周期性及运用

方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有

周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式

算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解.

例3：已知数列｛%｝,4=1,。2=3,cin—an-\—。〃一2(论3),那么。2。10与S2009依次是()

A.1,3B.3,1

C.-2,2D.2,-2

四、已知前n项和Sn,求通项a,,

方法链接：已知数列｛知｝的前〃项和S“，求斯，先由〃=1时，田=5],求出a”再由

4〃=S"-S”-i（生2）求出％,最后验证©与a”能否统一•,若能统一要统一成一个代数式,否

则分段表示.

例4：己知下列各数列｛%｝的前〃项和S,的公式，求｛斯｝的通项公式.

⑴&=（-1严小

（2）&=3"-2.

五、由递推公式求通项

方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法.需要理解

一点，对以—斯-1="（，仑2）不仅仅是一个式子而是对任意的稔2恒成立的无数个式子，正是

因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为斯，就是解题

的关键所在.另外递推公式具有递推性，故由.再加上递推公式可以递推到时.

例5：由下列数列｛斯｝的递推公式求数列｛四｝的通项公式：

（l）aj=l,a„—anf—n（n>2）；

an〃—1

（2）卬=1,广=丁（H>2）.

4〃一1〃

六、数列在日常生活中的初步应用

方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用.构建递推关系是其中重要的方法之

利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：（1）求初始值；（2）建立递推关系；（3）利用

递推关系分析解决问题.其中构建递推关系是关键.

例6：某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,

如图（1）、（2）、（3）、（4）分别有1个、5个、13个、25个.如果按照同样的方式接着摆下去,

记第〃个图需用犬〃）个“福娃迎迎”，那么；逃6）=.

课堂检测：

1.已知数列｛%｝是递增数列，且对于任意的〃GN*,即="2+M恒成立，则实数力的取

值范围是.

2.已知数列｛斯｝的前n项和为5“=3"+2〃+1,求an.

3.设｛斯｝是首项为1的正项数列且（〃+1底+L，欣+即+「斯=0（"2柏，求斯.

4.已知数列｛“"｝满足：。4"-3=1，"4"-|=0，。2"=4"，"GN*,则。2009=，。2014

5.由1,3,5,…，2〃-1,…构成数列数列回｝满足仇=2,当论2时，bn=abn-x,

则尻的值是（）

A.9B.17

C.33D.65

参考答案

新知回顾：

………..〃一晒+酒一晒

1.例如：［解析］♦.%"=—丫，二腕

V99-V98..।

=〃-啊+1

.•.点（〃，斯）在函数尸?或^+1的图象上.

在直角坐标系中作出函数）=可谭+1的图象.

由图象易知

当X《（O,啊）时，函数单调递减.

**•。9<。8<。7<…1<1，

当X0郃+8）时，函数单调递减.

所以，数列｛斯｝的前30项中最大的项是mo，最小的项是g

【答案】C

-1

2.例如：【解析】Cl\=Cl9。2=。+1,

-1-1

”5=E=RT'

。5=。2,…依次类推可得：斯+3=。〃，

，｛d｝为周期数列，周期为3.

•Cl{=Clf••=Cli=Cl.

【答案】B

3.例如：【解析】当〃=1时，.=51=1,

当n>2时，a„=S„—S„-i

=[(n-l)-2"+l]-[(n-2)-2"'+1]

=(n—1)-2"—(n-2)-2"1

=〃-2"T.

所以通项公式可以统一为斯=上2"7.

【答案】〃・2"T

方法突破：

44A4

为-

即-^"

例1：解：(1)注意前四项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,V0"

4

于是它们的分母相差3,因而有为=£^.

3〃十2

(2)把分母统一为2,则有：

1491625士"2

2-2'T~2'~2'…'因而有0"='•

(3)注意6=2x3,10=2x5,15=3x5,规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2,即

1x22x33x44x55x6中而右〃(〃+1)

2，2，2，2，29'••fIKIfWnJa”1•

(4)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999........

因而有1).

(5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即

1,22,32,42,52,则有斯=〃2一］

(6)显然各项的分子均为1,其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组

成的数列1,3,7,13,21,…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一•项对应减去平方数列的

项组成数列0,1,2,3,4,…，其规律也就明显了.

故a,,=ir-n+V

例2：解：方法一♦.&=(〃+l)Gf)"(〃GN*),

an+t-an=(n+2)(¥)""一(〃+1)(帮"

当於8时,卬＜斯+|,｛斯｝递增,

即a\<a2<...<a^<ag.

当〃=9时，〃9=〃10.

当论10时，〃〃>斯+1，｛〃〃｝递减，即〃]0>Q]]>4]2>….

T710,0

乂〃9-〃10=][9.

二数列｛4｝的最大项是第9项和第10项.

方法二令’](〃22),

a〃一1

即

整理得*解得区1°.

小

(〃+1

即F”■>1.

整理得%空，解得佗》

所以从第I项到第9项递增，从第10项起递减.

因此数列｛为｝先递增，后递减.

,1O10

…，且。9=〃10=u"•

，数列｛斯｝中的最大项是第9项和第10项.

例3【解析】-1一2，

%+1=斯一册-1=(斯-1-4〃-2)—a〃-1=―%-2・

由“士尸—a〃-2,

・・。〃+3——斯,

••斯+6=-%+3=—(—"〃)=斯・

・・・｛〃〃｝为周期数列，且周期T=6.

•••〃2010=〃6=­。3=〃1—。2=-2.

/.<7|+。2+。3+。4+〃5+〃6

=31+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)

=0+0+0=0,且2010是6的倍数，

••520l0=0-

，S2009=S20K)-“2010=。―“2010=。—(-2)=2.

【答案】C

例4：解：(1)当”=1时,”1=6=1；

当ri>2时,

a„=5„­n)—(—l)n-(n—l)

=(-1)"・(一2"+1).

由于伯也适合此等式，

因此a“=(-l)”(—2〃+l)(〃WN*).

(2)当〃=1时，“i=$=l；

=

当w>2时,anSn—S"-i=2-3"

[1("=D，

所以4,尸T

12-32).

例5：解：(1)由题意得，当这2时，

%-「%-几

an-an-\=ny2=-1，…，6一做=3,

(12-Cl\=2.

将上述各式累加得，

an-a\=〃+(〃-1)+…+3+2,

即〃“=〃+(/?—1)+…+3+2+1=(2

由于勾也适合此等式.

故an=—2—•

(2)由题意得，当n>2时，

ann-\an-\n-2色_2«2_1

an-\n'an-21'…'他3'冉2'

将上述各式累乘得，言*即斯=5

由于0也适合此等式，故

例6：【解析】:/2)=5,火3)=13,负4)=25,…,

.•.丸2)—/(1)=4,共3)一负2)=8,

X4)-A3)=12)...

.•.加+1)—A〃)=4儿

・・・人6)=<1)+1/(2)-/1)]+伏3)—犬2)]+伏4)-式3)]+伏5)—44)]+伏6)—犬5)]

=1+4+8+12+16+20=61.

【答案】4〃61

课堂检测:

1.【解析】方法1因为为=〃2+加，其图象的对称轴为"=一多由数列｛为｝是单调递

增数列有一%，得念一2；

如图所示，当2—(一§>—彳-1,即2>—3时，数列｛斯｝也是单调递增的.

故工的取值范围为｛4fe-2｝U｛羽>—3｝=｛卯>-3｝.

即A—3为所求的范围.

方法2因为数列｛斯｝是单调递增数列，

所以恁+1一即>0(〃£N*)恒成立.

又an=rr-\-kn(〃WN"),

所以(〃+1尸+2(〃+1)—(?72+ZW)>0恒成立