山东省邹平双语学校2025届数学九上期末考试试题含解析

山东省邹平双语学校2025届数学九上期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为()A．3 B．2 C． D．12．用10长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6．若设它的一条边长为，则根据题意可列出关于的方程为（）A． B． C． D．3．已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定4．一元二次方程x2﹣16=0的根是（

）A．x=2

B．x=4

C．x1=2，x2=﹣2

D．x1=4，x2=﹣45．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（）A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞36．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m7．在正方形网格中，如图放置，则（）A． B． C． D．8．sin45°的值是（）A． B． C． D．9．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉……”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．1211．如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（）A．8 B．9 C．10 D．1212．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．当_________时，关于的一元二次方程有两个实数根.14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝9，cosA＝，那么AB＝________.15．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是_____．16．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____．17．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．18．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是_______．三、解答题（共78分）19．（8分）在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．（1）画树状图或列表，写出点所有可能的坐标；（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．20．（8分）（1）解方程：（2）计算：21．（8分）如图，已知等边△ABC，AB＝1．以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)求FG的长；(3)求△FDG的面积．22．（10分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内）（参考数据：，，23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延长DC交AB的延长线于点P．（1）求证：PC2＝PA•PB；（2）若3AC＝4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（1）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A1B1C1．25．（12分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为点．（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标．（2）试判断的形状，并说明理由．（3）坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BD，交AB于点E，若BD＝10，tan∠ABD＝，cos∠DBC＝，求DC和AB的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．【详解】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB，而S△OAB=|k|=，∴S△CAB=，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2、A【分析】一边长为xm，则另外一边长为（5﹣x）m，根据它的面积为1m2，即可列出方程式．【详解】一边长为xm，则另外一边长为（5﹣x）m，由题意得：x（5﹣x）=1．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．3、C【解析】由⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：C.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．4、D【解析】本题考查了一元二次方程的解法，移项后即可得出答案．【详解】解：16=x2，x=±1．故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．5、C【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞1，解得m＜1．故选：C．【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．6、D【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝6，故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．7、B【分析】依据正切函数的定义：正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值叫做正切．由中，，求解可得．【详解】解：在中，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握正切函数的定义．8、B【解析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：sin45°=．故选：B.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．9、B【解析】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B．考点:1.轴对称图形；2.中心对称图形．10、B【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11、C【分析】如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，作OP2⊥AC垂足为P2交⊙O于Q2，此时垂线段OP2最短，P2Q2最小值为OQ2-OP2，如图当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2最大值，由此不难解决问题．【详解】解：如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，作OP2⊥AC垂足为P2交⊙O于Q2，

此时垂线段OP2最短，P2Q2最小值为OQ2-OP2，

∵AB=20，AC=8，BC=6，

∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，

∵∠OP2A=90°，∴OP2∥BC．

∵O为AB的中点，∴P2C=P2A，OP2=BC=2．又∵BC是⊙O的切线，∴∠OEB=90°，∴OE∥AC,又O为AB的中点，∴OE=AC=4=OQ2．

∴P2Q2最小值为OQ2-OP2=4-2=2，

如图，当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=AO+OQ2=5+4=9，

∴PQ长的最大值与最小值的和是20．

故选：C．【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理以及平行线的判定等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．12、B【分析】根据方程有两个不等的实数根，故△＞0，得不等式解答即可.【详解】试题分析：由已知得△＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选B．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根∴解得：故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，当时，有两个实数根；当时，没有实数根.14、27【解析】试题解析：解得：故答案为15、【解析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行垃圾分类）==.故答案为.16、60°【解析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．详解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°．∵OA=OB，∴∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故答案为60°．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键．17、【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．考点：相似三角形的判定与性质．18、15个．【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解：由题意可得，，解得，a=15（个）．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）游戏是公平的，理由见解析【分析】（1）利用列表法或画树状图可得出所有可能的结果；

（2）利用概率公式计算出小明胜的概率，小红胜的概率，从而可判断这个游戏的公平性．【详解】解：（1）点的坐标共12个，如下表：01230\1\2\3\（2）游戏公平，理由如下：由列表可知，点M在第一象限共有6种情况，∴小明获胜的概率为：，点M不在第一象限共有6种情况，∴小红获胜的概率为：．∴两人获胜的概率相等，故这个游戏是公平的．【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．同时也考查了列表法与画树状图法．20、（1）;（2）-1【分析】（1）方程因式分解后即可求出解；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．【详解】（1），，；（2）=1-2=-1【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．21、（1）详见解析；（2）；（3）【分析】(1)如图所示，连接OD．由题意可知∠A=∠B=∠C=60°,则OD=OB,可以证明△OBD为等边三角形,易得∠C=∠ODB=60°,再运用平行线的性质和判定以及等量代换即可完成解答.(2)先说明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6.在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD,则AF=AC-CF=2,最后在Rt△AFG中，根据正弦的定义即可解答；（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3,FH=，DH=,最后根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）如图所示，连接OD.∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°∵OD=OB∴△OBD为等边三角形，∴∠C=∠ODB=60°，∴AC∥OD，∴∠CFD=∠FDO，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠FDO=20°，∴DF是⊙O的切线（2）因为点O是AB的中点，则OD是△ABC的中位线．∵△ABC是等边三角形，AB=1，∴AB=AC=BC=1，CD=BD=BC=6∵∠C=60°，∠CFD=20°，∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°，∴CF=CD=3∴AF=1-3=2．∴．（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3∴FH=，DH=∴△FDG的面积为DHFG=【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．22、能，点到地面的距离的长约为．【分析】延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．【详解】能，理由如下：延长交于，则，，，设，则，，在中，，则，，解得，，则，答：点到地面的距离的长约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23、（1）见解析；（2）PC＝1．【分析】（1）证明△PAC∽△PCB，可得，即可证明PC2=PA•PB；（2）若3AC=4BC，则，由（1）可求线段PC的长．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC．∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，∴∠PCA=∠PBC．∵∠BPC=∠CPA，∴△PAC∽△PCB，∴，∴PC2=PA•PB；（2）∵3AC=4BC，∴．设PC=4k，则PB=3k，PA=3k+7，∴(4k)2=3k(3k+7)，∴k=3或k=0(舍去)，∴PC=1．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．24、（1）见解析；（1）见解析【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A1，B1，C1，然后描点即可；

（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（1）如图，△A1B1C1为所作．【点睛】本题考查了作图-根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．25、（1），；