八年级数学解答题训练18（含答案解析）

八年级数学解答题专题训练(18)

1.如图,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线1分别交X轴、y轴于AB两点,CM<08,且OA、

OB的长分别是一元二次方程K-I4x+48=0的两根.

(1)求直线A8的解析式；

(2)点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设AOBC的面积S,点C

运动的时间为f,写出S与r的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形请求

出点。的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为(—6,0),点B在y轴正半轴上，/.ABO=30°,动点

。从点4出发沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作OE_Ly轴,交)，轴于点E,

同时，动点尸从定点C(1,0)出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结OO,EF,设

运动时间为f秒.

(1)当点。运动到线段AB的中点时.

①t的值为;

②判断四边形。。尸E是否是平行四边形，请说明理由.

(2)点£>在运动过程中，若以点Q,O,F,E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的「的值.

v>

备用图

3.小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1,已知：等边AABC,点。在BC上，以AO为边

作等边AAOE,连接CE,求证：/.ACE=60°.

(1)请你解答小明的这道题；

(2)在这个问题中，当。在3c上运动时，点E是否在一条线段上运动？(直接答“是”或“不

是")

【类比解决】如图2,正方形ABCQ的边长为2,E是直线BC上的一个动点，以QE为边作正

方形。EFG(DEFG按逆时针排列).

(1)当E在直线BC上运动时，点G是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；

如果不是，也请说明理由；

(2)连接AG,CG.

①求证：AG2-CE2是定值；

②求4G+CG的最小值(直接写出答案即可).

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4.为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师以八年级(1)班50位学生为样本进行了

一分钟跳绳次数测试.根据测试结果，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图.

组别次数X频数(人数)

第1组80<%<1006

第2组100<%<1208

第3组120<%<140a

第4组140<%<16018

第5组160<%<1806

请结合图表完成下列问题：

(1)表中的a=；

(2)请把频数分布直方图补充完整；

(3)这个样本数据的中位数落在第组；

(4)已知该校八年级共有学生800,请你估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多

少名？

5.已知：在正方形A8C。中，点E是射线BQ上一点(不与点B重合)，连接AE,将AE绕A逆时

针旋转90。至AF,连接OF,EF.

(1)如图1,当点E在对角线8。上时，求证：△力BE三△ADF；

(2)如图2,当点E在对角线8。的延长线上时，求证：DF-DE=y[2AD;

(3)连接CE,CF,当ACEF的外心落在ACEF的边上时，请写出NDCE的度数(需有图形和简易

说明).

6.如图，在矩形ABC。中，4D=6,DC=10,菱形EFGH的三个

顶点E,G,H分别在矩形ABC。的边AB,C£>,D4上,4H=2,连结

CF,BF.

(1)若。G=2,求证：四边形E尸GH为正方形；

(2)若4E=x,求AEBF的面积S关于x的函数表达式，并判断

是否存在x,使AEBF的面积是^CGF面积的2倍.若存在，求

出x的值；若不存在，请说明理由；

(3)求4GCF面积的最小值.

7.已知正方形ABCD的边长为8,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、

。。的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.

(2)如图②，当NE4F被对角线AC平分时，求〃、〃的值；

(3)请写出ZE4F绕点A旋转的过程中°,。满足的关系式，并说明理由.

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8.如图，正方形ABC。的边长为4,E是线段AB延长线上一动点，连结CE.

图1图2

(1)如图1,过点C作CF1CE交线段OA于点F.

①求证：CF=CE.

②若8E=m(0<m<4),用含m的代数式表示线段EF的长.

(2)在(1)的条件下，设线段EF的中点为探索线段与AF的数量关系，并用等式表示.

(3)如图2,在线段CE上取点P,使CP=2,连结AP,取线段AP的中点Q,连结8Q,求线段

B。的最小值.

9.小明对教材“课题学习”中的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探

索.已知AC是正方形48C。的对角线，把NB4C对折，使点8落在4c上，记为点E.再沿CE

的中垂线折叠，得到折痕P。，如图1.类似地，折出其余三条折痕GH,〃，K0,得到八边形

GHUKOPQ,如图2.

(1)求证：△CPQ是等腰直角三角形.

(2)若AB=a,求PQ的长.(用含。的代数式表示)

(3)我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形.请说明八边形GHIJKOPQ

是正八边形的理由.

10.如图①，在平面直角坐标系中，点A在直线y=-[x上，且点4的横坐标为一6,直线4B分别

交x轴、y轴于点B和点C.点B的坐标为(10,0).

(1)求直线AB的解析式；

(2)如图②，点。坐标为(4,8),连接A。、BD,动点P从点月出发，沿线段A。运动.过点尸

作x轴的垂线，交AB于点Q,连接DQ.设ABOQ的面积为S(SHO),点P的横坐标为f,求S与

，之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，连接PC,若NCP。+4080=90。，求f的值.

11.在矩形ABCO中，AB=3,BC=4,点E为BC延长线上一点，且BD=BE,连接OE,。为

OE的中点，有一动点P从8点出发，沿以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为f

秒.

(1)如图1,连接。P、PQ,则SA°PQ=(用含/的式子表示)；

(2)如图2,M、N分别为A。、A8的中点，当/为何值时，四边形MNPQ为平行四边形？请说

明理由；

(3)如图3,连接CQ,AQ,试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明.

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12.如图1,直线A8：丫=：%+8与1轴、y轴分别交于A、。两点，点8的横坐标为3,点C(9,0),

连接BC,点E是y轴正半轴上一点，连接AE,将AADE沿AE折叠，点。恰好落在x轴上的点

5处.

(1)求点E的坐标；

(2)连接EC,点F(m,O)、6(巾+2,0)为工轴上两点，其中3Vm<7.过点F作FF】_Lx轴交BC

于点Fi，交EC于点M-,过点G作GG］，x轴交8c于点交EC于点N,当+GrN=10时，

求m的值；

(3)如图2,在等边△2(?/?中，PRlx轴且PR=4,点(Q、R在x轴上方)，APQR从点C出发以

每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动的时间为当，为何值时，点。到直线AC

和直线A3的距离相等？

13.如图，在矩形ABCQ中，已知4B=4,BC=2,E为A8的中点，设点尸是/D4B平分线上的一

个动点(不与点4重合).

(1)证明：PD=PE.

(2)连接PC,求PC的最小值.

(3)设点。是矩形A8CQ的对称中心，是否存在点P,使NDPO=90。？若存在，请直接写出AP

的长.

14.已知，在等腰直角三角形ABC中，BA=AC,NB4C=90。，点。为8c边上一动点，点E,F

分别为AB、BC边上的动点，且BE=4F.

(1)如图1,当点。为BC中点时，试说明OE和力尸的关系，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，如图2,当点E为A8中点时，判断四边形AEC尸的形状，并说明理由：

(3)如图3,过点A作BC的平行线，交。F的延长线于点G,且满足AG=BC=4.若。点从B

点出发，以1个单位长度每秒的速度向终点C运动，连结4D.设点。的运动时间为f秒(0WtW4),

在点。的运动过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出整数，的值和对应全等三

角形的对数；若不能，请说明理由.

15.如图1,矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，函数、=£(/£>0,%>0)的图象与8。边相交

于点M(点M不与点5、C重合)，与A2边相交于点N,=I-

CD

(1)若点B的坐标为(4,2),i=0.5,求人的值和点N的坐标；

(2)连接OB,过M作MQ1OB,垂足为Q；

①如图2.当k=1,时，设08长为p,MQ长为q,求2与q的函数关系式；

②如图3,连接NQ,记四边形。AN0,&NQB,△QBM,四边形MCOQ的面积分别为S1、S2、

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S3、54•判断I+S3与S2+54的数量关系，并说明理由.

图1图2

16.己知四边形ABC。是正方形，将线段CC绕点C逆时针旋转或0。<&<90。)，得到线段CE,联

结BE、CE、DE.过点8作BFJ.CE交线段OE的延长线于F.

(1)如图，当BE=CE时，求旋转角a的度数；

(2)当旋转角a的大小发生变化时，ZBE尸的度数是否发生变化？如果变化，请用含a的代数式表

示；如果不变，请求出NBEF的度数；

(3)联结AF,求证：DE=©AF.

17.如图,在平面直角坐标系中，等腰直角三角形48c的顶点A的坐标为(0,-l),点C的坐标是(4,3),

直角顶点B在第四象限内，且BC边与x轴相交于点。，点E在x轴的负半轴上，且。0=0E；

(1)填空：

①0F的长：OF=；

②直线EF的解析式：；

③当______,(填x的取值范围)乃＞y2-

(2)如图，线段PQ在直线AC上滑动，且PQ=2或,若点M在直线AC下方，且为直线EF上

的点，当以M,P,Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标.

(3)在(2)的条件下，取8c的中点N,连接NP,BQ,试探究京裔是否存在最大值？若存在,

求出该最大值;若不存在，说明理由.

18.已知：在△ABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。为直线上一动点(点。不与8、C重合).以

为边作正方形4OE凡连接C尸.

(1)如图1,当点。在线段3C上时，请直接写出线段80与CF的数量关系：；

(2)如图2,当点。在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2,CD=1,则CF=；

(3)如图3,当点。在线段BC的反向延长线上时，且点4、F分别在直线BC的两侧，其它条件

不变：

①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；

②若连接正方形对角线AE、DF,交点为。，连接。C,探究A40C的形状，并说明理由.

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19.在RtA/IBC中，乙4BC=90。,NBAC=30。,将△4BC绕点A顺时针旋转一定的角度a得到△AED,

点8、C的对应点分别是E、D.

(1)如图1,当点E恰好在AC上时，求NCDE的度数；

(2)如图2,若Q=60。时，点尸是边AC中点，求证：DF=BE；

(3)如图3,点8、C的坐标分别是(0,0),(0,2),点Q是线段AC上的一个动点，点例是线段A。

上的一个动点，是否存在这样的点。、M使得ACQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若

存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如图，在正方形ABC。中，AB=6,“是CO边上一动点(不与。点重合)，点。与点E关于

AM所在的直线对称，连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF,AF.

(1)当CM=2时，依题意补全图1；

(2)在(1)的条件下，求线段所的长；

(3)当点M在CO边上运动时，能使A4E尸为等腰三角形，请直接写出此时。/与AQ的数量关

系.

图1备用图

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-------答案与解析---------

1.答案：解：(I)%2-14x+48=0,则x=6或8,故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,8),则4B=10：

4

{

故直线A8的表达式为：y=-gx+8；

(2)过点C作CM1y轴于点M,

,iCMBCCM10—2tzt/jzRcn,3,.

则m布=俞BnPnT=->解得：CM=g|10-2t|,

1I312

S=xBOxCM=jx8x1110-2t|=y110-2t|,

-yt+24(0<t<6)

故S=

yt-24(t>6)

(3)点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,8),

设点P、。的坐标分别为(0,s)、(m,n),

①当AB是菱形的边时，

点A向上平移8个单位向左平移6个单位得到点B,同样点Q向上平移8个单位向左平移6个单位

得到点P，

即0-8=m,s+6=n且BP=BA=10,

解得：m——8,n—24,

故点。的坐标为(一8,24)；

②当AB是菱形的对角线时，

由中点公式得：6+0=m+0,8+0=s+n且BP=BQ,即(s—8/=m?+5-8)2,

解得：m=6,m=y

故点Q的坐标为(6,弓)；

综上，点。的坐标为(-8,24)或(6,刍.

解析：(l)x2-14x+48=0,则％=6或8,故点A、8的坐标分别为(6,0)、(0,8),即可求解;

(2)S=1xBOxCM=|x8x||10-2t|=y|10-2t|,即可求解；

(3)分AB是菱形的边、AB是菱形的对角线两种情况，分别求解即可.

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质等，其中(2)、(3),都要注

意分类求解，避免遗漏.

2.答案：2s

解析：解：(1)如图1,

①•••点A的坐标为(-6,0),

OA=6,

RtzMB。中，AABO=30°,

-.AB=2AO=12,

由题意得：AD=3t,

当点。运动到线段A8的中点时，3t=6,

•••t=2,

故答案为:2s；图1

②四边形DOFE是平行四边形，理由是：

•••DEly轴，401y轴，

DE//AO,

AD=BD,

•1•BE=OE,

DE=-AO=3,

2

•••动点尸从定点C(l,0)出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，且t=2,

・•・OF=1+2=3=DE,

四边形OOFE是平行四边形；

(2)要使以点。，O,F,E为顶点的四边形是矩形，则点。在射线AB上，如图2所示:

vAD=3t,AB=12,

BD=3t—12,

在RtABDE中，NOBE=30°,

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•••DE=^BD=1(3t-12)=|t-6,OF=l+t,

则|t-6=1+3

解得：t=14,

即以点O,O,F,E为顶点的四边形是矩形时，f的值为14秒.

(1)①由直角三角形的性质得出AB=20A=12,由题意得出BD=AD=\AB=6,列方程即可得出

答案；

②求出。/=OC+CF=3,由三角形中位线定理。E==3,得出DE=OF,即可得出四边形

OOBE是平行四边形；

(2)要使以点。，0,F,£为顶点的四边形是矩形，则点。在射线4B上，求出BD=3t-12,由直

角三角形的性质得出CE=3BD=|t-6,OF=l+t,得出方程，解方程即可.

本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、矩形的性质、含30。角

的直角三角形的性质等知识；本题难度适中，熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解

题的关键.

3.答案：(1)证明：•••△ABC和AADE是等边三角形，

AB=AC,AD=AE,Z.BAC=Z.DAE=60°,48=60°,

・••Z-BAC—Z-DAC=乙DAE—Z.DAC,

即乙BAD=4cAE,

・・・△ABD三△"%儿?),

:.Z.ACE=LB=60°.

(2)解：是;

证明：v/.ACE=60°,/.ACB=60°,

4BCE=120°,

E在以CB为一条边的120。角的另一边上，

当点。与8重合，E与C重合；

当点。与C重合时，CE的长最长，即为AC的长；

故点E在一条线段上运动.

【类比解决】(1)解：是.

证明：过G作GHJ.CD于"，

•••四边形A8CO和四边形OEFG是正方形,

Z.DCE=90°,Z.EDG=90°,DE=DG,

・・・乙EDC+乙GDC=90°,乙EDC+么CED=90°,

・♦・乙GDC=乙CED,

又・・•DE=DG,Z-DCE=Z.GHD=90°,

••.△G)EwZkHGD(44S),

:.GH=CD=2.

又•・•GH1CD,

・•.点G是在与CO的距离为2的直线上，过G作直线〃CD,即点G在直线/上运动.

(2)解：①延长AO交直线/于P,由(1)可得ACDE三△HGC,

•••CE=DH.

v1//CD,GH1CD,

：.乙DHG=Z.PGH=90°,

又lPDH=90°,

四边形DHGP是矩形，

PG=DH=CE,PD=GH=2,

在RtAAGP中，AG2-PG2=AP2=42=16,

AAG2-CE2=AG2-PG2=16是定值.

②过A作关于/的对称点4',连接AC,交直线/于G',贝必G+CG2A'G'+CG'=dC,

在Rt/M'C。中，CD=2,A'D=6,

A'C=VCD2+DA'2=V22+62=2710.

解析：(1)证明△ABD三△4CE(S4S),由全等三角形的性质得出乙4CE=z_8=60°.

(2)证得/BCE=120°,则E在以CB为一条边的120。角的另一边上，当点。与B重合，E与C重合;

当点。与C重合时，CE的长最长=4C,可得出结论；

【类比解决】

(1)过G作GHJLCD于”，证明△CDE三△HGD(44S),得出GH=CD=2,则可得出结论.

(2)①延长AZ)交直线/于P,证得四边形。HGP是矩形，得出PG=DH=CE,PD=GH=2,在

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RtzMGP中，得出AG?-PG?=4p2=42=16,则答案得出.

②过A作关于/的对称点4,连接AC,交直线/于G',^\AG+CG>A'G'+CG'=A'C,由勾股定理

求出4C即可得出答案.

本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

4.答案：123

解析：解：(l)a=50-6-8-18-6=12；

(2)如图所示:

(3)•.•八年级(1)班有50位学生，

・••中位数应该是第25、26两个数的和的平均数，

・•.这个样本数据的中位数落在第3组；

(4)•••八年级(1)班学生人数为50人，而一分钟跳绳次数不低

于120次的有36人，

•••800x^=576人.

50

估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约576名.

(1)由于八年级(1)班有50位学生，根据频数分布表的数据即可求出“的值；

(2)根据频数分布表的数据即可把频数分布直方图补充完整；

(3)由于八年级(1)班有50位学生，根据中位数的定义和频数分布表即可确定这个样本数据的中位数

落在哪个小组；

(4)首先根据频数分布表可以求出一分钟跳绳次数不低于120次的八年级(1)班学生人数，然后除以

50即可得到一分钟跳绳次数不低于120次的百分比，最后利用一般估计总体的思想即可求出一分钟

跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多少名.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认

真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.此外还利用了样本估计总体的思想.

5.答案：(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,4BAD=90°,

・•・将AE绕点A逆时针旋转90。至AF,

AE=AF,Z.EAF=90°,

乙BAD-Z.EAD=Z.EAF-Z.EAD,

即NB4E=乙DAF,

AB=AD

在△ABE和小。尸中，Z.B/1E=/.DAF,

.AE=AF

.•.△ABE三△4DF(S4S)；

(2)证明：•••四边形A8CO是正方形，

：.AB=AD,4BAD=9Q°,Z.ABD=A.ADB=45°,

.•.△48。是等腰直角三角形，

•••BD=y[2AD>

・•・将AE绕点A逆时针旋转90。至AF,

：.AE=AF,/-EAF=90°,

・♦・乙BAD+Z.EAD=£.EAF+Z.EAD,

即NB4E=Z.DAF,

(AB=AD

在△ABE和△AD尸中，｛Z.BAE=Z-DAF,

(/E=AF

•••△48Ew440F(S4S),

.•・BE=DF,

即BD+DE=DF,

\/2AD+DE=DF,

：.DF-DE=内D;

(3)解：当△CE尸的外心落在△CEF的边上时，则4CEF=90。.F

分两种情况：x/关4

①当点E在对角线B。上时，如图3所示：\/\

•.•正方形ABCD是轴对称图形，直线8。是对称轴，区］

.•.点A和C关于8。对称，一"C

•••Z.AED=ACED,图3

由旋转的性质得：AE=AF,Z.EAF=90°,

•••AAEF=45°,

设乙4ED=Z.CED=x,则Z_CEF=x-45°,

v乙DEF+Z.CED=90。，0

(x-45°)+%=90°,

解得：x=67.5°,Vy\\.

乙CED=67.5°,

•••乙DCE=180°-ACED-ACDE=180°-67.5°-45°=67.5°；'\J

②当点E在对角线80的延长线上时，如图4所示：\/

同①得：4AED="ED,81---------2JC

■：/.AEC=90°-/.AEF=90°-45°=45°,图4

Z.AED=Z.CED=22.5°,

•••Z.DCE=Z.CDB-Z.CED=45°-22.5°=22.5°；

综上所述，当ACEF的外心落在aCEF的边上时，4DCE的度数为67.5。或22.5。.

解析：(1)由S4S证明A/IBE三△4DF即可；

(2)证△48。是等腰直角三角形，则BD=五AD，证△4BE三△4OF(S4S),得出BE=OF,进而得

出结论；

(3)当4CEF的外心落在△CE尸的边上时，则ZCEF=90。.分两种情况，证出44E。=/.CED,进而得

出答案.

本题是圆的综合题目，考查了三角形的外心、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角

三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，

证明三角形全等是解题的关键.

6.答案：(1)证明：在△HOG和△力EH中，

•••四边形A8CD是矩形，

・•・Z.D=Z.A=90°,

■.•四边形EFGH是菱形，

第18页，共39页

・•・HG=HE,

在Rt△HDG和Rt△中,

(HG=HE

IDG=AH"

・•・Rt△HDG三Rt△AEH(HL),

・•・乙DHG="EH,

・•・乙DHG+乙AHE=90°,

・•・乙GHE=90°,

，菱形EFG”为正方形；

(2)解：过户作FM1/8,垂足为M,交。。延长线于点N,连接GE,

・•・FN1CD,

vCD"AB,

:.Z-DGE=4MEG,

•・・GH//EF,

:.乙HGE=乙FEG,

・•・乙DGH=乙MEF,

在RtZiHDG和RCAFME中,

2。=Z_M=90°

乙DGH=乙FEM,

HG=FE

・•・Rt△HDGzRt△FME(AAS^

・・・DH=MF,

・・・AH=2,

・・・DH=MF=4,

vAE=x,

:.BE=10—x.

•••SAEBF=^BE-FM=2(10-x)=20-2x.

同理可证Rt△AHE^Rt△FNG,

FN=AH=2,

vAH=2,AE=%,

・•・HE=HG=y/AH24-AE2=y/x2+4,

・・・DG=y/HG2-DH2=Vx2+4-16=Vx2-12,

・・・CG=10-Vx2-12,

•••SAGCF=ICG.FN=10-Vx2-12,

若AEBF的面积是aCGF面积2倍，则

20-2%=2(10-Vx2-12).

整理得：%2=%2—12,

此方程无解，

所以不存在X,使AEBF的面积是ACGF面积2倍.

(3)当点E与点8重合时，AGCF的面积最小，

ASMCF=10-V102-12=10-2V22.

即小GCF的面积的最小值为10-2V22.

解析：(1)由于四边形A8C。为矩形，四边形"EFG为菱形，那么上。=4A=90。，HG=HE,而

AH=DG=2,易证RtAAHE三RtADGH(HL),从而有NOHG=NHE4,等量代换可得N/1HE+

/.DHG=90°,易证四边形HEFG为正方形；

(2)欲求△EBF的面积，由已知得8E的长，只需求出BE边的高，通过证明△HDG三△FMEQ44S)可

得DH=MF；易证A/ME三AFNG,用x表示出△CGF的面积，根据题意列方程即可.

(3)可知CG最小，则4GCF的面积最小，当E点与B点重合时可满足题意，即当4E=10时，可求

出三角形GC尸的面积.

本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

7.答案：16

解析：解：(1),:四边形ABC。是正方形，

•••AB=BC=CD=AD=8,Z.ACD=45°=Z.ACB,AC=y/2AD=8^2,

•••/.CAF+/.AFC=45°,/LCAE+AAEC=45°,

•••Z.EAF=45°,

A4a4F+4CAE=45°,

:.Z-CAF=Z.AEC,Z.CAE=Z.AFC,

ACFs〉ECA,

.①_竺

**CE-CAf

・・・CA2=CECF=a・b,

•・,CA=8鱼，Q=8，

***b=16,

故答案为：16；

(2)4C平分NEAF,

/.CAE=/.CAF=22.5°,

/.CAF+Z.AFC=45°,/.CAE+Z.AEC=45°,

Z.CAF=/.AFC=乙CAE=^AEC=22.5°,

CF=AC,CE=AC,

a=8V2>b=8V2,

(3)ab=128,

理由如下：

由⑴可知次=CE-CF=a-b,

a'b=128.

(1)由正方形的性质可得4B=BC=CD=AD=8,乙4co=45°=乙4CB,AC=y[2AD=8近，通

过证明△ZCFSAEC/I,可得CA2=cE・CF=a-b,代入可求解；

(2)由角平分线的性质可得/C4E=Z.CAF=22.5°,可得/CAF=Z.AFC=Z.CAE=Z.AEC=22.5°,

第20页，共39页

可得CF=4C,CE=AC,即可求〃，〃的值；

(3)由(1)可知C42=CE・CF=ab,将AC的值代入可求解.

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△4C尸〜△E&4是本题

的关键.

8.答案：(1)①证明：•・・四边形A5C。为正方形，

・•・BC=CD,乙DCB=乙CBE=90°,

vCF1CE,

・・・乙FCE=90°,

・•・Z.DCF=乙BCE,

・•・△DC尸三△BCE{ASA)

・・・CE=CF；

②解：・：〉DCF三〉BCE,

:.DF=BE=m,

:.AF=4—m,AE=4+?n,

由四边形ABCD是正方形得乙4=90°,1---------------■

EF=\/AF2+AE2=5/(4—m)2+(44-m)2=V2m2+32;\

(2)解：在48上取一点G,使BG=8E,连接尸G,/\

・・・EM=MF,EB=BG,k1/\

.：FG=2BM,尸住『当

由(1)可知，DF=BE,AB

AD=AB,图1

・•・AF=AGy

vZ-A=90°,

•••FG=42AF，

2BM=®AF，Di-------------------f

(3)解：在A8的延长线上取点R,使BR=4B=4,连接PR

和CR,A

•••Q为AP的中点，BR=AB,5ER

...BQ=3PR，图2

CP=2，CR=>JBC2+BR2=4立，

：.PR>CR-CP=4y12-2,

•••BQ的最小值为2&-1.

解析：(1)①证明△DCF三△BCE,根据全等三角形的性质定理即可得出CE=CF；

②由题(1)知，ADCF三4BCE,得到。F=BE=m,AF=4-m,根据勾股定理可以用含俄的代数

式表示线段E尸的长；

(2)作FG〃BM,利用三角形中位线定理，把转化为：FG,再由DF=BE=BG,得到AF=AG,

于是A/IFG为等腰直角三角形，则FG与AF的关系可知，于是与AF的关系可确定；

(3)在AB的延长线上取点R,使BR=AB=2,连接PR和CR,利用中位线把BQ转化为PR的一半，

根据勾股定理求得CR,CP,则在ACPR中，利用三角形的两边之差小于第三边列不等式即可求出

PR的最小值.

本题考查的是三角形三边关系，勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，掌握正方形的性质、

三角形的两边之差小于第三边、三角形中位线定理是解题的关键.

9.答案：(1)证明：•••四边形ABC。为正方形，

AZ.ACD=乙4cB=45°,

由折叠的性质可知，PQ1CE,

Z.CQP=Z.CPQ=45°,

•••△CPQ是等腰直角三角形；

(2)解：如图，连接EQ、EP,

由折叠的性质可知，QE=QC,PE=PC,AE=AB=a,

•••△CPQ是等腰直角三角形，

QC=PC,

QE=EP=PC=CQ,又“CP=90°,

四边形QEPC为正方形，

PQ=CE,

由勾股定理得，AC=y/AB2+BC2=或a，

•••CE=AC-AE=V2a—a，

:.PQ=V2a—a;

(3)证明：vACQP=45°,

Z.GQP=135°,

同理可得，NGQP=4QPO=乙POK=4OKJ=乙KJI=Z.//H=Z.1HG=135°,

由(2)可知，当48=a时，PQ=&a-a，

•••△CPQ是等腰直角三角形，

・・CQ=PQ=a—fa.

同理可得，。G=a-亨a，

.・・GQ=Q-（Q-号。）x2=y[2a—Q,

.・.GQ=QP,

同理可得，PO=OK=KJ=JI=1H=HG=GQ=QP,

・・.八边形GHIJKOPQ是正八边形.

解析：(1)根据正方形的性质得到44co=乙ACB=45°,根据折叠的性质得到PQ1CE,根据等腰直

角三角形的概念证明即可；

(2)连接E。、EP,证明四边形QEPC为正方形，得至UPQ=CE,根据勾股定理求出AC,根据折叠的

性质得到AE=AB,计算得到答案；

(3)根据等腰直角三角形的性质得到4CQP=45。，得到4GQP=135。，同理得到各角相等，根据等腰

直角三角形的性质得到GQ=QP,同理证明各边相等，根据正八边形的定义证明结论.

本题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定和性质，掌握正方形的各边相等、

各角都是90。是解题的关键.

10.答案：解：(1)•••点4在直线y=—gx上，且点A的横坐标为一6,

.•.4(-6,8),

第22页，共39页

V8(10,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

(—6k+b=8

'tlOfc+b=0'

解得：卜=一£

lb=5

・,・直线A8的解析式为：y=-1x+5；

(2)・・・D(4,8),4(一6,8),

^AD=10,AD//CB,

v8(10,0),

.・.OB—10,

•••四边形0408是平行四边形，

如图②，过4作x轴的垂线，垂足为E,过尸作x轴的垂线，垂足为尸，连接0Q,

•••做・6,8),

图②

E(—6,0),

:.AE—8,0E—6,

・•・0A=10,

:.0A=AD,

二四边形0AD8是菱形，

:.Z.ABD=乙ABO,BD=B0,

・MBDQ/B0Q(SAS),

S&BDQ=S&B0Q,

•・•点尸的横坐标为,,

・••点Q的横坐标为3

・•・直线AB的解析式为y=-1+5；

Q(t,-1+5),

•••QF=-1t+5,

QF=-|t+5,

SXBDQ~S^BOQ=5OB-QF=~-1+25,

•••S=--t+25；

2

(3)如图③，设交y轴于F,连接C£>,

vAD=OA,Z-OAC=乙CAD,

.♦.△ACOWAACD(SAS),

:.Z-AOC=Z.ACD,

•・・N040+4/10C=90。,Z.OAD=Z.OBD,

・・・Z.OBD+Z.AOC=90°,

vZ.CPD+Z-OBD=90°,

:.Z-CPD=Z-AOC,

:.Z.CPD=Z.ADC,

vAD1X轴，

・・・Z.CFP=Z-CFD=90°,

•・・CF=CF,

CP尸三△CDF(ASA)f

・•・PF=DF,

・・•0(4,8),

・•・P(-4,8),

At=-4.

解析：(1)设直线48的解析式为y=/cx+b,解方程组即可得到结论；

(2)根据已知条件得到四边形0408是平行四边形，过A作x轴的垂线，垂足为E,过尸作x轴的垂

线，垂足为E,连接。。，求得E(—6,0),推出四边形。4。8是菱形，根据全等三角形的性质得到

$刖=5刖，求得Q(t,-?+5),根据三角形的面积公式即可得到结论；

(3)设AO交y轴于F,连接CD,根据全等三角形的性质得到乙4OC=乙4CD,求得4CPD=乙ICC,

根据全等三角形的性质即可得到结论.

本题考查了一次函数的综合题，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，待定系数法法求函

数的解析式，正确的理解题意是解题的关键.

答案：

11.44

解析：解：(1)・.•四边形ABC。是矩形，AB=3,BC=4,

:.BC=4,CD=3,

BD=y/BC2+CD2=5，

・•・BD=BE=5,

••・Q为OE的中点，

S&DPQ=2(SABED-SABDP)=](2X3x5—]Xtx3)

第24页，共39页

故答案为：-y—11.

(2)当t=|时，四边形MNQP为平行四边形,

理由如下：;M、N分别为AB、A。的中点，

MN//BD,MN=^BD=|,

t=［时.

BP=|=且点Q是。E的中点，

■■PQ//BD,PQ=^BD=l，

MN//PQ,MN=PQ,

.•.四边形MNQP是平行四边形.

(3)71(21CQ.

理由如下：如图，连接8Q,

,:BD=BE,点Q是DE中点,

•••BQ1DE,

：.4AQD+^BQA=90°,

•••在RtADCE中，点Q是DE中点,

.・.DQ=CQ,

/.乙DCQ=乙CDQ,且N40C=乙BCD=90°,

/.Z.ADQ=Z.BCQ,RBC=AD,DQ=CQ,

・•・△力。Q三△BCQ(SZS),

・・・乙AQD=乙BQC,且4AQD+乙BQA=90°,

:.Z.BQC+乙BQA=90°,

:.Z.AQC=90°,

・•・AQICQ.

(1)由勾股定理可求BD=5,由三角形的面积公式和SADPQ=*SA8ED-SABDP)可求解；

(2)当t=|时，可得BP=|=”E,由中位线定理可得MN〃BD,MN=：BD=5,PQ//BD,

PQ=^BD=5,可得MN〃PQ,MN=PQ,可得结论.

(3)连接BQ,由等腰三角形的性质可得乙4QD+4BQA=90。，由直角三角形的性质可得。Q=CQ,

Z.DCQ=Z.CDQ,由“SAS”可证AHOQ三△BCQ,可得44QO=/BQC,即可得结论.

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判

定和性质，中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

12.答案：解：(I)、•直线旷=：%+8与》轴、y轴分别交于A、。两点，点8的横坐标为3,

-6,0),5(3,12),D(0,8),

:.AD—10,

・・・将△4DE沿AE折叠，点。恰好落在x轴上的点Di处，

・・

.ED】=ED,AD±=AD=10,

.・・。。1=A。]—OA=4,

vOD=8,

・・

•ED1=OD-OE=8—OE.

222

在RtAOOiE中，DrE-OE=Dr0,

(8-Of)2-OF2=16,

・•.OE=3,

・・・E(0,3)；

(2)由(1)知,E(0,3),

vC(9,0),

直线CE的解析式为y=-1x+3.

•••B(3,12),

•♦・直线8c的解析式为y=-2x+18.

点尸(巾,0)、G(zn+2,0)为x轴上两点，其中3Vm<7,F&J,X轴，GGi_Lx轴，

・・

•F1(m,-2m+18