余弦定理学高一数学课时同步练苏教版必修第二册解析版

一、单选题

222

1.（2021•江苏高一课时练习）在.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,Ma=b-C+y[2ac>

则角B的大小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【分析】

由02+万^利用余弦定理可得cosBnXZ,结合3的范围，即可得3的值.

2

【详解】

ABC中,a2=b2—C2+6ac,

可得：/+02—=0加，

•••由余弦定理可得：

a2+c2-b26ac丘

COSZDJ-----------------------------------,

2aclac2

Be（0,7r）,

..5=45，

故选：A.

2.（2021•全国高一课时练习）在蜘8c中，若（a+c）（a-c）=b（b-c）,则A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

【答案】B

【分析】

根据余弦定理，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.

【详解】

772a2_21

因为（a+G（。-c）=b（b—c）,所以b2+c2—a2—bc,所以cosA=---------=—.

2bc2

因为A三角形的内角，所以4=60。.

故选：B

3.（2021•江苏高一课时练习）已知MBC中，角4B,C的对边分别为a,b9c,若。=10,b=15,C=60°,

贝！IcosB=（）

AbR5出CaD5s

14141414

【答案】A

【分析】

先根据余弦定理算出c,再根据余弦定理可计算cos3.

【详解】

由余弦定理得=a2+/—2abcosC=100+225—2x10x15x^=175,

2

故c=577,

由z„a2+c2-b2100+175-225币

所以COS3=----------=----------=——•

lac2x10x57714

故选：A.

4.（2021•江苏高一课时练习）在MBC中，若B=60。，b2=ac,则财BC的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】D

【分析】

利用余弦定理计算可得；

【详解】

解：B=—.

3

把Z?2=ac代入余弦定理求得/+。2一ac=qc，即（a—c）2=0,因此a=c,从而A=C,

.工ABC为等边三角形.

故选：D.

113

5.（2021・上海高一）已知AABC的三边。、b、c满足----+-----=--------，则为（）

a+bb+ca+b+c

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【答案】C

【分析】

113

将等式--+--=---变形得b2=a2+c2-ac,再利用余弦定理即可求出.

a-\-bb+ca+b+c

【详解】

113

由----+----=----；---可得，b2^a2+c2-ac,

a+bb+ca+b+c

2.2y2-i

即有cosB=a=匕又0°<6<180°,所以5=60°.

2ac2

故选：C.

6.（2021•上海高一）若a,a+l,a+2是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（）

A.l<a<3B.a>l

c.a>3D.0<a<l

【答案】c

【分析】

根据大边对大角，只需边长a+2对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.

【详解】

因为三角形是锐角三角形,所以最大边长a+2对应的角为锐角，设该角为仇

所以cos£=-----------\--------^-〉0,即a2_2a_3>0,解得a>3或a<-l（舍去）.

2a（a+l）

故选：C.

7.（2021•广东东莞市•高二期末）2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小

明家所在小区设置了两个垃圾回收点A,B,他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A,再

向南偏东60。方向走30米，到达回收点B,则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（）

A.50米B.57米C.64米D.70米

【答案】D

【分析】

画出图形，利用余弦定理，即可求解.

【详解】

由题意，可知李华的行走路线，如图所示,

由余弦定理可得OB=A/QA2+AB2-204-OBcos60

=^900+6400-2x30x80x1=70,

即他从回收点B回到自家楼下至少还需要走70米.

故选：D.

8.（2021•江西新余一中高二其他模拟（理））在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC

的面积为5,"2,45=。2+。2-4,贝!!ABC外接圆的面积为（）

A.4万B.8%C.TCD.2%

【答案】D

【分析】

由余弦定理及三角形面积公式得^+c2—a2=2bccosA和S=^Z?csinA,结合条件4s=尸+°2一4,可

2

得sinA=cosA,求得角A,再由正弦定理即求得结果.

【详解】

由余弦定理得，b2+c2-a2=2Z?ccosA，a=2

所以〃+H—4=2Z?ccosA，

又S=4csinA,4s=Z?2+02-4,

2

所以有4x^/?csinA=2Z?ccosA,即sinA=COSA,

又Ae（O,»）,所以A=?,

_--=---=2RI-

由正弦定理得，sinAsin^，得R=.

Sm4

所以ABC外接圆的面积为S=万=2万.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：

解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作

用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积

结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路.

二、多选题

9.（2021•全国高一课时练习）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,0=273,cos/l

=—，则b=（）

2

A.2B.3C.4D.272

【答案】AC

【分析】

利用余弦定理即可求解.

【详解】

由余弦定理，

得a2=b2+c2—2bccosA,

04=b2+12-6b,

即b2-6b+8=0,

0b=2或b=4.

故选：AC.

10.（2021•江苏高一课时练习）某人向正东方向走了xkm后向右转了150。，然后沿新方向走了3左〃，结

果离出发点恰好亚心，则x的值为（）

A.73B.273C.2D.3

【答案】AB

【分析】

根据余弦定理列出方程，即可求解.

【详解】

如图所示，在/ABC中，AB=x,BC=3,AC=y/3,ZABC=30,

2

由余弦定理得，AC2=x+32-2XX3COS30，

整理得36犬+6=0，解得X=26或X=

故选：AB

11.（2021•全国高一课时练习）在A5C中，。，6,c分别是内角A,B,。所对的边，6a=2csinA,

TT

且0<C<—,6=4,则以下说法正确的是（）

2

A.C=-

3

71

B.若c=—,贝！Icos3=—

27

C.若sinA=2cos3sinC,贝！IABC是等边三角形

D.若二A5C的面积是2百，则该三角形外接圆半径为4

【答案】AC

【分析】

对于A,利用正弦定理可将条件转化得到GsinA=2sinCsinA，即可求出C；

对于3,利用正弦定理可求得sin8,进而可得cosB；

对于C,利用正弦定理条件可转化为a=2ccos3,结合原题干条件可得3,进而求得A=B=C；

对于。，根据三角形面积公式求得。，利用余弦定理求得c,进而由正弦定理求得R.

【详解】

解：由正弦定理可将条件JGa=2csinA转化为由sinA=2sinCsinA，

因为sinAwO,故sinC=走，

2

rr7T

因为Ce(0,—),则。=—,故A正确；

23

".a_b.也_4也

若c=L7,则由正弦定理可知‘一=上h，则smB=rmC=7><3=^,

2sinCsinB-

因为5w(O,»),则COS3=±J1-SZ%2B=±JI一竺=±L故_B错误；

V497

若sinA=2cos5sinC,根据正弦定理可得a=2ccos6,

又因为=2csinA，即a=2^csinA,即有2^csinA=2ccos3,所以sinA=A/^COS5，

因为A+3=»-C=Z^,则A=2^—5,故sin(M—3)=百cosB,

333

整理得走cos3+」sin5二百cosB,即^sinB=旦c°sB,

2222

解得tanB=6,故B=工，则A=工，

33

71

即A=3=C=§,所以.ABC是等边三角形，故C正确；

若ABC的面积是2g，即gabsinC=26，解得a=2,

由余弦定理可得c?=a2+b2-labcosC=4+16-2x2x4x—=12,即0=2百

2

设三角形的外接圆半径是R,

2尺---逑-4

由正弦定理可得sinC一3一，则该三角形外接圆半径为2,故D错误，

~2

故选：AC.

【点睛】

本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，

属于中档题.

12.(2021•全国高三专题练习)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为

图2中的正八边形ABCDEFGH,其中。4=1,则以下结论正确的是().

B.OAOD^-—

2

c.OB+OH=-s/2OED.|AH-FH|=72-V2

【答案】ABC

【分析】

结合向量知识判断，即可得出答案.

【详解】

对A,因八卦图为正八边形，故中心角为45。，NFOD=90°,

^HDBF=O<故A对;

由上得NAOE>=135°=q,OAOD=|(?A|-|OD|cos-B对；

对C,08与。”的夹角为90。，又因口目=|。"卜根据平行四边形法则08+0"=夜04=—6。£，C

对；

对D,|A"—+=ZAOF=^~,AAOR中，由余弦定理可得

|AF|2=|(9A|2+|OF|2-2|G)A|-|(9F|cos^=2+V2,"='2+0，D错；

故选:ABC

【点睛】

本题考查向量的基础知识，向量线性运算的基本法则，余弦定理解三角形，属于中档题.

三、填空题

3

13.（2021•江苏高一课时练习）一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一《，则三角形的

另一边长是.

【答案】2岳

【分析】

利用余弦定理列出关系式，把两边长与夹角的余弦值代入求出另一边长即可.

【详解】

_3

解：设Q=5,b=3,cosC=——,

由余弦定理得：22

H=^+Z?-2^COSC=25+9+18=52,

则c=2万.

故答案为：

14.（2021•上海高一）在A8C中，a=6,b=l,c=8,A5边上的中线长为.

【答案严

【分析】

取AB中点/，由余弦定理得cosA及。02可得答案.

【详解】

如图取A5中点M，连接CM,且A"='A3=4,

2

^272_264+49-36_11

由余弦定理得8sA

H2~16

CM2=AC2+AM2-2AC?ACcosA49+16-2仓1)74?^=f

所以CM=半.

15.（2021•江苏常州市•高三期末）在ABC中，已知AC=1,NA的平分线交于。，且AD=1,

BD=O，贝DABC的面积为.

【答案】近

8

【分析】

设/氏4。=/。4。=3/氏4。=6,AB^x,将SABAD+S^CAD=S*BC利用三角形面积公式表示出来，

X+1丫2I1?

可得cose=——，在△ABD中,利用余弦定理可得cos0=，解得x=2,即可求出cos。，sin8,

2x2x

进而可得sin/BAC的值，再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】

因为A。平分N54C,所以/34。=/。1。=工/84。，

2

设=则NC4D=，，ABAC^20,

因为S△明Q+^ACAD=^AABC,设=X,

所以工九sinO+^sine二工尤sin20,

222

所以，xsin8+sin夕=2xsin，cos0,

x+]

因为sinOwO,所以x+l=2%cos。，即cos8=----,

2x

+4nnr+i八x2+]_2匚Ui、[%2_1X+1

在△ABD中，cos0---------，所以------=-----,

2x2x2x

可得％2—尤―2=0，解得：％=2,

3

所以cos/BAD=cos0,

4

所以sin/BAD=y/1-cos2ZBAD=—，

4

sinN3AC=2sin，cos6=2义立x3=,

448

13J7

所以S.cAC-ABsinZBAC

28

故答案为：近

8

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是将SABAD+SACAOMSOBC用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结

合余弦定理即求出边和角即可求面积.

16.（2021・上海高一）ABC中，设6C=a,AB=c,ZABC为锐角且满足lgcz-lgc=Igsin8=-IgTI,

则ABC的形状是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】

由lga-lgc=lgsinB=-lgJ5得B=c=J5a,再结合余弦定理即可得结果.

【详解】

由lgcz-lgc=lgsinB=-lgV2lg—=lgsinB=lg（0j

所以@=sin3=Y2又NABC为锐角，则3=工，c=^2a

c24

222

入*中/曰n—Z7+2^z—Z7A/2ZQ,

由余弦定理得cosB=---------------=----------T=---=——得a=b

2ac2a>J2a2

77jr

所以B=A=—,C=—,则4A5c的形状是等腰直角三角形.

42

故答案为：等腰直角三角形

四、解答题

17.（2021•江苏高一课时练习）已知在MBC中，a的团c=2回巡回（出+1）,求角A的大小.

【答案】A=45°

【分析】

利用余弦定理可求A的大小.

【详解】

由题设可设a=2k,b=y/6k,c=（6+1）左（左>0）,

b2+c2-a2642+(2百+4快2-442」近

由余弦定理得，cosA=

2bc2x瓦kx(6+l)左2'

而A为三角形内角，故A=45。.

18.(2021•上海高一)在MBC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程f一2氐+2=0的两根，2cos(A+5)=1.

(1)求角。的度数；

(2)求AB的长.

【答案】(1)C=—；(2)AB=y/lQ.

【分析】

(1)利用诱导公式可得角C的余弦值，从而可求。的大小.

(2)利用余弦定理和韦达定理可求A5的长.

【详解】

(1)由题设可得COS(%-C)=；即85。=一3,

27r

而C为三角形内角，故。=—.

3

(2)由韦达定理可得。+人=2百,。人=2,

由余弦定理可得AB?=a2+b2-2abcosC=a1+b2+ab=(«+Z?)2-ab=lQ,

t^AB=y/10.

19.(2021•上海高一)在M8C中，所示，4W是财BC边BC上的中线，求证：AM=^2(Z?2+C2)-a2

【答案】证明见解析.

【分析】

uuir1uuauun

先利用向量表示AM=万(zA3+ACx),再计算模长，结合余弦定理化角为边，即得结论.

【详解】

UULT1/UUHuun

解：AM是回ABC边BC上的中线，故AM=5(AB+AC)x,

故AM=|眼=；J(AB+AA『=14AB+AC+2ABAC,

.2-2

2222

而AB~=02,AC~=b,2AB-AC=2cbcosABAC=b+c-a'

故AM=g+12+（/+）2—42）=1J2k2+匕2）一42.

20.（2021•山东威海市•高三期末）在①5ABe=¥，②bsinC_6bsinB—gccosB=c；③

sin6=2sinC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.

7T

问题:已知ABC的内角A,民C的对边分别为a,b,c,A=-,c=l,,角B的平分线交AC于点。,

求BD的长.

（注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

【答案】BD=3'W

2

【分析】

若选①，根据三角形的面积公式即可求出b=2,再利用余弦定理得a=5再根据勾股定理，可知5=^；

5%

方法一：根据5。为角平分线，可知NAO3=——，再在中，由正弦定理即可求出结果；方法二：

12

7T

根据应＞为角平分线，可知NA3D=NCBD=i,再由S=S+S.CB»和面积公式即可求出结果；

若选②，根据正弦定理可得sinB-GCOS3=1，进而求出3=1,其他同①过程，即得结果；若选条件

③，由sin5=2sinC,可得/?=2c=2,再根据余弦定理可求出a=百，再根据勾股定理，可知3=],

其他同①过程，即得结果.

【详解】

若选条件①：由54”=走，可得,6csinA=Y3

ABC222

TT

因为A=—,c=l,

3

所以b=2,

在」中，由储=/2+。2一。必=』二

ABC?2/7℃4+1—2x2xlx3

2

22

所以Z?2=a+C,

TC

所以B二—

2

（法一）因为5D为角平分线,

兀

所以NAB0=—

4

.,..7C7C57r

故NADB=71---------=—

3412

.5乃.71711血#&y/2+46

sin——=sin—+—=—X----1---X---二--------

126422224

BD1

在AABD中，.兀.5TT，

sin—sin——

312

可得BDJ应一戈

2

（法二）因为5D为角平分线,

TT

所以NA3D=NCBD=—

4

因为S.ABC=SABD+SCBD

所以立=LxlxBOxsin450+Lx6xBDxsin45。，

222

解得3D=3忘一痛

2

若选条件②：由bsinC-把ccosB=c，

可得sinBsinC-石sinCcosB=sinC

因为sinCwO,

所以sinB-GcosB=1,

可得sin]g_：

29

977

因为0<8<?,

717171

所以<5__<-

333

故3-f=

TV

可得B二=.

2

（下同条件①）

若选条件③:由sin5=2sinC,可得b=2c=2,

在《ABC中，由Q?=/+c2—2bccosA=4+l—2x2xl