备考2025届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义导数的运算

第1讲导数的概念及其意义、导数的运算1.[全国卷Ⅱ]曲线y＝2sinx＋cosx在点（π，－1）处的切线方程为（C）A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0解析依题意得y'＝2cosx－sinx，y'

x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2（x－π），即2x＋y－2π＋1＝2.[2024福建泉州模拟]若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2lnx相切，则实数a的值为（C）A.0 B.－1 C.－2 D.－3解析由y＝x－2lnx，得y'＝1－2x.设直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2lnx相切于点（x0，y0），则1－2x3.[易错题]已知函数f（x）＝f'（1）x2＋2x＋2f（1），则f'（2）的值为（D）A.－2 B.0 C.－4 D.－6解析因为f'（x）＝2f'（1）x＋2，所以f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2，所以f'（x）＝－4x＋2，所以f'（2）＝－6，故选D.4.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（D）A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x解析解法一因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以（－x）3＋（a－1）（－x）2＋a（－x）＝－[x3＋（a－1）x2＋ax]，所以2（a－1）x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.解法二因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0，所以－1＋a－1－a＋（1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.解法三易知f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax＝x[x2＋（a－1）x＋a]，因为f（x）为奇函数，所以函数g（x）＝x2＋（a－1）x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.5.曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为（D）A.（1，3） B.（－1，3）C.（－1，3）或（1，1） D.（－1，3）或（1，3）解析设切点P（x0，y0），由f'（x）＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f'（x0）＝3x02－1，因为曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，所以3x02－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f（1）＝3，此时P（1，3）；当x0＝－1时，可得f（－1）＝3，此时P（－1，3），综上，点P的坐标为（－1，3）或（16.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－3a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由f（x）＝x3－3x，可知f'（x）＝3x2－3.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y＝（3x02－3）x－2x03，所以3x02－3=a，2x03＝3a，解得x0＝7.[2024福建省宁德市模拟]曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点个数为（C）A.1 B.2 C.3 D.4解析由y＝－x3＋x2＋8x＋3，得y'＝－3x2＋2x＋8，∵曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，∴－3x2＋2x＋8＞0，即3x2－2x－8＜0，解得－43＜x＜2.又切点坐标为整数，∴x＝－1，0，1，此时对应的y值也为整数.∴该曲线上这样的切点的个数为3.故选8.[多选]函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），若f'（x）＞0，且对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋f（x2A.f（π）＜f（e）＜f（2）B.f'（π）＜f'（e）＜f'（2）C.f'（1）＜f（2）－f（1）＜f'（2）D.f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1）解析由f'（x）＞0，得f（x）在R上单调递增，因为π＞e＞2，所以f（π）＞f（e）＞f（2），故A不正确；对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋ff'（x）表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f（x）的图象上升得越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f'（π）＜f'（e）＜f'（2），故B正确；又f（2）－f（1）＝f（2）－f（1）2－1表示点（1，f（1））与点（2，f（2））连线的斜率，结合图象可知f'（2）＜f（2）－f（1）9.[2024河南省名校调考]已知幂函数f（x）＝（m2－6m＋9）xm满意f'（1）＝2，则f（2）＝4.解析由幂函数的定义可得m2－6m＋9＝1，解得m＝2或m＝4，当m＝2时，f（x）＝x2，f'（x）＝2x，f'（1）＝2，符合题意；当m＝4时，f（x）＝x4，f'（x）＝4x3，f'（1）＝4，不符合题意.故f（x）＝x2，f（2）＝4.10.[新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝aex－1－lnx＋lna.（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.解析f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝aex－1－1x（1）当a＝e时，f（x）＝ex－lnx＋1，f'（1）＝e－1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（e＋1）＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2.直线y＝（e－1）x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－2e因此所求三角形的面积为2e（2）当0＜a＜1时，f（1）＝a＋lna＜1.当a＝1时，f（x）＝ex－1－lnx，f'（x）＝ex－1－1x.当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.所以当x＝1时，f（x）取得最小值，最小值为f（1）＝1，从而f（x）≥当a＞1时，f（x）＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞）.11.[条件创新]已知曲线y＝lnx在x＝x0处的切线经过点（－1，0），则x0的大致范围是（参考数据：e≈2.718，e2≈7.389）（C）A.（2，e） B.（e，3） C.（3，4） D.（4，5）解析∵y'＝1x，∴曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程是y－lnx0＝1x0·（x－x0），由切线经过点（－1，0），得1x0－lnx0＋1＝0.令g（x）＝1x－lnx＋1（x＞0∵g（3）＝43－ln3＝lne4－ln273＞ln72－ln273＞0，g（4）＝54－ln4＝lne512.[2024南昌市模拟]若函数f（x）＝cosx，a∈（π2，π]，则函数f（x）在[π2，a]上平均变更率的取值范围为（BA.（－1，0] B.（－1，－2π]C.（－∞，0] D.（－∞，－2π解析记平均变更率为g（a），则g（a）＝cosa－cosπ2a－π2＝cosaa－π2，g'（a）＝（π2－a）·sina－cosa（a－π2）2.记h（a）＝（π2－a）sina－cosa，则h'（a）＝（π2－a）cosa.∵a∈（π2，π]，∴h'（a）＞0，∴h（a）在（π2，π]上单调递增，∴h（a）＞（π2－π2）sinπ2－cosπ2＝0，∴g'－sinx，∴当a→π2时，g（a）→f'（π2）＝－sinπ2＝－1，∴a∈（－1，－2π13.[多选/2024惠州市一调]若过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）ex的图象相切，则实数λ的值可以是（BC）A.－4e B.－2e C.－1e解析设切点坐标为（x0，（x0－1）ex0），因为f'（x）＝xex，所以f'（x0）＝x0ex0，切线方程为y－（x0－1）ex0＝x0e又切线过P（1，λ），所以λ－（x0－1）ex0＝x0ex0（1－x0），整理得λ＝－ex0（x02－2x0＋1）.令g（x）＝－ex（x2－2x＋1），则g'（x）＝－ex（x2－1），由g'（x）＝0得x＝±1，当x＜－1或x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当－1＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增.故当x＝－1时，g（x）取得微小值g（－1）＝－4e；当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝0.由g（x）＝－ex（x－1）2可知，当x≠1时，g（x）＜0，所以函数g（x）的大致图象如图，由图可知，当－4e＜λ＜0时，直线y＝λ与函数g（x）的图象有3个交点，此时过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）14.曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是2.解析设曲线在点P（x0，y0）（x0＞0）处的切线与直线x－y－2＝0平行，则切线的斜率k＝2x0－1x0＝1，∴x0＝1，y0＝1，则P（1，1），则曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝｜115.[2024全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标.解析记曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为P（x0，x03－x02＋ax0因为f'（x0）＝3x02－2x0＋a，所以切线l的方程为y－（x03－x02＋ax0＋1）＝（3x02－2x0＋由l过坐标原点，得2x03－x02－1＝0，即（2x03－2x02）＋（x02－1）＝（x0－1）（2解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝（1＋a）x.令x3－x2＋ax＋1＝（1＋a）x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，所以曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，1＋a）和（－1，－1－a）.16.[2024全国卷甲]已知函数f（x）＝x3－x，g（x）＝x2＋a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线.（1）若x1＝－1，求a；（2）求a的取值范围.解析（1）当x1＝－1时，f（－1）＝0，所以切点坐标为（－1，0）.由f（x）＝x3－x，得f'（x）＝3x2－1，所以切线斜率k＝f'（－1）＝2，所以切线方程为y＝2（x＋1），即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g（x）相切，得Δ＝（－2）2－4（a－2）＝0，解得a＝3.（2）由f（x）＝x3－x，得f'（x）＝3x2－1，所以切线斜率k＝f'（x1）＝3x12－所以切线方程为y－（x13－x1）＝（3x12－1）（x－x1），即y＝（3x12－1将y＝（3x12－1）x－2x13代入y＝x2＋a，得x2－（3x12－1）x＋由切线与曲线y＝g（x）相切，得Δ＝（3x12－1）2－4（a＋2x13整理得4a＝9x14－8x13－令h（x）＝9x4－8x3－6x2＋1，则h'（x）＝36x3－24x2－12x＝12x（3x＋1）（x－1），由h'（x）＝0，得x＝－13，0，1h（x），h'（x）随x的变更状况如下表所示：x（－∞，－13－1（－13，00（0，1）1（1，＋∞）h'（x）－0＋0－0＋h（x）↘微小值↗极大值↘微小值↗由上表知，当x＝－13时，h（x）取得微小值h（－13）＝当x＝1时，h（x）取得微小值h（1）＝－4，易知当x→－∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，所以函数h（x）的值域为[－4，＋∞），所以由4a∈[－4，＋∞），得a∈[－1，＋∞），故实数a的取值范围为[－1，＋∞）.17.[2024江苏联考]已知直线l与曲线y＝ex－1和y＝ln（x＋1）都相切，请写出两个符合条件的直线l的方程：y＝x，y＝1ex＋1e解析设直线l与曲线y＝ex－1和y＝ln（x＋1）分别切于点（x1，ex1－1），（x2，ln（x2＋1）），x2由（ex－1）'＝ex－1，[ln（x＋1）]'＝1x+1可得切线方程分别为y＝ex1－1（