新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一六立体几何

六立体几何必记结论1.空间几何体的表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆锥S侧＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆台S侧＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝(S上＋S下＋)h＝π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S侧＝Ch(C为底面周长)S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)V＝S底h正棱锥S侧＝Ch′(C为底面周长，h′为斜高)V＝S底h正棱台S侧＝(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高)V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR32.球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的)．3．空间线面位置关系的证明方法(1)线线平行：⇒a∥b，⇒a∥b，⇒a∥b，⇒c∥b.(2)线面平行：⇒a∥α，⇒a∥α，⇒a∥α.(3)面面平行：⇒α∥β，⇒α∥β，⇒α∥γ.(4)线线垂直：⇒a⊥b.(5)线面垂直：⇒l⊥α，⇒a⊥β，⇒a⊥β，⇒b⊥α.(6)面面垂直：⇒α⊥β，⇒α⊥β.4．用空间向量证明平行、垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.5．用向量求空间角(1)直线l1，l2的夹角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．(2)直线l与平面α的夹角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夹角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．易错剖析易错点1不清晰空间点、线、面的位置关系【突破点】解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个找寻反例作出否定的推断或逐个进行逻辑证明作出确定的推断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出推断，要留意定理应用精确、考虑问题全面细致．易错点2表面积的计算不精确【突破点】在求表面积时还要留意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要细致区分．易错点3对折叠与绽开问题相识不清致误【突破点】留意折叠或绽开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要留意哪些变了，哪些没变，还要留意位置关系的变更．易错点4建立空间直角坐标系不当致误【突破点】利用空间向量坐标法求解空间角或距离时，应首先考虑建立空间直角坐标系，但确定要找到两两垂直关系，该证明的须要证明．易错快攻易错快攻一忽视平面图形翻折前后的显性关系1如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起，使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E，F.(1)求证：EF⊥DA；(2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．易错快攻二建立空间直角坐标系忽视垂直关系的证明2[2024·新课标Ⅱ卷]如图，三棱锥ABCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满意＝，求二面角DABF的正弦值．六立体几何[典例1](1)解析：证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱锥DABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA.(2)解析：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN.如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，＝(0，1，－)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，)，设＝λ，(0<λ<1)，则E(λ－1，0，λ)，＝(λ－1，0，λ)，设平面BMEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则不妨令x＝λ，则z＝1－λ，n＝(λ，0，1－λ)，设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有sinα＝|cos〈n，〉|＝＝＝，解得λ＝或λ＝－(舍)．＝，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．[典例2](1)解析：证明：如图，连接DE，AE，因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC.因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)．可得AC＝AB，故AE⊥BC.因为DE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA.(2)解析：由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.因为AE⊥BC，所以AE＝＝.在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－)．设F(xF，yF，zF)，因为＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．所以＝(，0，0)．设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z