2024八年级数学下册专题03一元二次方程的应用压轴题四种模型全攻略含解析新版浙教版

Page38专题03一元二次方程压轴题四种模型全攻略【类型一传播问题】例1．（甘肃兰州·九年级期末）德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有刚好隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了个人；（1）用含的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒?（2）列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人?（3）假如依据这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有多少人感染德尔塔病毒?【答案】（1）；（2）每轮传染中平均一人传染了人；（3）经过三轮传染后共有人感染德尔塔.【解析】【分析】（1）依据题意列式即可；（2）设每轮传染中平均一个人传染了个人，依据有人感染了德尔塔，因为没有刚好隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，列方程求解即可；（3）依据（2）中所求数据，进而表示出经过三轮传染后感染德尔塔病毒的人数．【详解】；依据题意：，解得(舍去)，答：每轮传染中平均一人传染了人；（人），答：经过三轮传染后共有人感染德尔塔病毒．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【变式训练1】（广东·雷州市第八中学九年级期中）学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）假如有4支球队参加竞赛，那么共进行______场竞赛；（2）假如全校一共进行36场竞赛，那么有多少支球队参加竞赛？【答案】（1）6；（2）9支【解析】【分析】依据赛制为单循环形式场，即可求解；（2）设有支球队参加竞赛，依据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）（场），答：共进行6场竞赛；（2）设有支球队参加竞赛，依据题意得：，解得：（不合题意，舍去），答：有9支球队参加竞赛．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，精确得到等量关系是解题的关键．【变式训练2】（福建省厦门第六中学九年级期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人．（1）其次轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示）（2）在进入其次轮传染之前，假如出名患者被刚好隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的状况发生，并说明理由．【答案】（1）；（2）会；理由见解析【解析】【分析】（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出其次轮传染上流感的人数即可；（2）因进入其次轮传染之前，出名患者被刚好隔离（未治愈），则其次轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，依据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的状况发生．【详解】解：（1）依据题意：其次轮被传染上流感人数是：，故答案为：；（2）依据题意得：，解得：，（舍），∵为正整数，∴其次轮传染后会有人患病的状况发生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能依据进入其次轮传染之前，有四位患者被刚好隔离（未治愈）列出方程并求解．【变式训练3】（广东·深圳中学九年级期中）应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），支配支配15场竞赛．（本题第一问要求列方程作答）（1）应当邀请多少支球队参加竞赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参加以后的竞赛，问实际共竞赛多少场？【答案】（1）6；（2）13【解析】【分析】（1）设应当邀请x支球队参加竞赛，则竞赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球队竞赛的总场数即可．【详解】（1）设应当邀请x支球队参加竞赛，依题意得：，解得：或（不合题意，舍去）．答：应邀请6支球队参加竞赛；（2）由题可得：（场）．答：实际共竞赛13场．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式竞赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．【类型二增长率与营销问题】例2．（甘肃白银·九年级期末）白银市各级公安交警部门提示市民，骑车出行必需严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将削减5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%．(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【解析】【分析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)依据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之经检验即可求出结论．(1)解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：，解得，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；(2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：，整理得，解得（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练1】（内蒙古包头·九年级期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．(1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；(2)从四月份起商场确定实行降价促销措施，调查发觉，在三月份销量的基础上，假如这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？【答案】(1)二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%(2)当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元【解析】【分析】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）设每台降价y元，则四月份可售出台，即可得出关于y的一元二次方程，求解即可．(1)设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%．(2)设每台降价y元，则四月份可售出台，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练2】（重庆荣昌·九年级期末）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最宠爱的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2024年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预料在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次(1)求东部华侨城景区2024至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率．(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，依据销售阅历，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家确定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大实惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【答案】(1)年平均增长率为(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大实惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，依据东部华侨城景区在2024年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预料在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解，作出取舍即可．(1)设年平均增长率为，由题意得：解得：，（舍）答：年平均增长率为20%；(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：整理得：解得：让顾客获得最大实惠，y=20答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大实惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．【变式训练3】（四川宜宾·九年级期末）宜宾市某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，确定以每平方米7290元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还赐予以下两种实惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更实惠？【答案】（1）10%；（2）方案①更实惠，理由见解析．【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1-x）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可；（2）分别解出两种方案的房款，再作比较即可．【详解】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，依据题意列方程得，解得（舍去）答：平均每次下调的百分率为10%．（2）方案①的房款：（元）加上两年的物业管理费共须要：（元）方案②的房款：（元）故方案①更实惠．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，驾驭相关学问，依据等量关系列方程，解方程是关键．【类型三与图形有关的问题】例3．（天津·九年级期中）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为xm，如要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？【答案】【解析】【分析】设的长为m，则平行于墙的一边长为：m，该花圃的面积为：，令该面积等于63，求出符合题意的的值，即是所求的长．【详解】解：设该花圃的一边的长为m，则与相邻的边的长为m，由题意得：，即：，解得：，当m时，平行于墙的一边长为：，不合题意舍去；当m时，平行于墙的一边长为：，符合题意，所以，的长是．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．【变式训练1】（江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），依据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高须要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一样．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】(1)小路的宽度是2m；(2)每次降价的百分率为20%【解析】【分析】（1）设小路的宽度为xm，依据总面积为480列方程求解即可；（2）设每次降价的百分率为y，依据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．(1)解：设小路的宽度为xm，依据题意，得：（20+2x）（16+2x）=480，整理得：x2+18x－40＝0，解得：x1=2，x2=－20（舍去），答：小路的宽度为2m；(2)解：设每次降价的百分率为y，依据题意，得：50（1－y）2=32，解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），答：每次降价的百分率为20%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．【变式训练2】（广东深圳·九年级期末）如图①，某校进行校内改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边削减了4m，另一边削减了5m，剩余部分面积为650m2．(1)求原正方形空地的边长；(2)在实际建立时，从校内美观和好用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，假如栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．【答案】(1)30m(2)1m【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，依据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，依据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【小题1】解：设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，依题意得：（x-4）（x-5）=650，整理得：x2-9x-630=0，解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．【小题2】设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，整理得：y2-59y+58=0，解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．答：小道的宽度为1m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练3】（辽宁鞍山·九年级阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米．（1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长；（2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不行能，请说明理由．【答案】（1）栅栏的长为10米；（2）矩形围栏面积不行能达到240平方米．【解析】【分析】（1）先表示出AB的长，再依据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）依据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不行能达到240平方米．【详解】解：（1）依题意，得：，整理，得：，解得：．当时，，不合题意，舍去，当时，，符合题意，答：栅栏的长为10米；（2）不行能，理由如下：依题意，得：，整理得：，∵，∴方程没有实数根，∴矩形围栏面积不行能达到240平方米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）依据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．【类型四动态几何问题】例4．（江西宜春·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A动身沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B动身沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若时，求x的值；(3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形．【答案】(1)，(2)或(3)当为或时，是以为斜边的直角三角形【解析】【分析】（1）干脆依据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；（2）在中，依据勾股定理即可求出答案；（3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案．(1)由题可得：，，∴，，故答案为：，；(2)在中，，即，解得：或；(3)，，，∵是以为斜边的直角三角形，∴，解得：或，∴当为或时，是以为斜边的直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键．【变式训练1】（广东·佛山市南海石门试验中学九年级阶段练习）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A起先沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点起先沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，假如P，Q分别从A，B同时动身，经过几秒，使△PBQ的面积为8cm2？（2）点P从点A起先沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点起先沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．假如P，Q分别从A，B同时动身，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点动身以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点动身以2cm/s的速度移动，P，Q同时动身，经过秒后，△PBQ的面积为1cm2？【答案】（1）2秒或4秒，（2）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；理由见解析，（3）5﹣或5或5+．【解析】【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种状况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行探讨即可求解．【详解】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积＝×6×8＝24，（6﹣y）•2y＝12，y2﹣6y+12＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1，m2﹣10m+23＝0，解得m1＝5+，m2＝5﹣，经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，∴m＝5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1，n2﹣10n+25＝0，解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1，k2﹣10k+23＝0，解得k1＝5+，k2＝5﹣，经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，∴k＝5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．故答案为：5﹣或5或5+．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．留意分类思想的运用．【变式训练2】（海南省东方市琼西中学九年级阶段练习）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时动身，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（干脆写出答案）【答案】（1）5cm2；（2）；（3）或或或．【解析】【分析】（1）当t=1时，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分状况探讨，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【详解】解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4（cm）．∴S＝（cm2）．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t（cm），∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t＝．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t＝．综上所述：t＝或；（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APED是矩形，∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；如图5，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1＝，t2＝（舍去）．综上所述：t＝或或或．故答案为：或或或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵敏运用动点问题的求解方法是关键．【变式训练3】（福建龙岩·九年级期中）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点动身沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点动身沿BA以2cm/s的速度向A运动，假如P、Q分别同时动身，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？【答案】（1）当t＝2时，△PAQ为等腰三角形；（2）当t＝时，△APD的面积为6cm2；（3）五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；（4）t＝【解析】【分析】（1）依据点在矩形边上的运动速度和时间，分别确定AQ＝tcm，BP＝2tcm，得出cm，再依据为等腰三角形，，将相等的边代入计算即可求出t值；（2）由（1）得：cm，cm，依据三角形面积公式及题目要求可得：，求解一元一次方程即可得出答案；（3）依据图形可得：矩形ABCD的面积减去△PAQ的面积即为五边形的面积，代入可得关于t的一个代数式，依据题意可得：，然后利用一元二次方程根的判别式即可确定方程是否有解，即面积能否达到20cm2；（4）利用勾股定理及依据题意可得：，然后求解，最终要考虑题意中点的运动时间是否都符合题意，不符合题意的舍去，即可得出t值．【详解】解：（1）依据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，∵为等腰三角形，，∴，即，解得：，∴当时，△PAQ为等腰三角形；（2）∵（cm2），∴，解得：，∴当时，的面积为6cm2；（3）∵（cm2），∴整理得：，∵，∴该方程没有实数根，∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；（4）在Rt△APQ中，，依据题意得：，∴化简后得：，解得：，，∵，，∴，∴（舍去），∴．【点睛】题目主要考查点在矩形边上的动点问题，涉及到学问点包括等腰三角形性质、一元二次方程的判别式及解法、勾股定理等，对学问点的数量运用、融会贯穿是解题关键．【课后训练】一、解答题1．（广东·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学九年级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．(1)求该公司销售A产品每次的增长率；(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量削减库存，该公司确定实行适当的降价措施，经调查发觉，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？【答案】(1)该公司销售A产品每次的增长率为50%(2)每套A产品需降价1万元【解析】【分析】（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，利用增长率表示4约分销售量为20（1＋x）2依据4月份销量等量关系列方程即可；（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋）套，求出每套利润，依据每套利润×销售套数=70万，列方程求解即可．(1)解：设该公司销售A产品每次的增长率为x，依题意，得：20（1＋x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）．答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．(2)解：设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋）套，依题意，得：（2－y）（30＋）＝70，整理，得：4y2－5y＋1＝0，解得：y1＝，y2＝1，∵尽量削减库存，∴y＝1．答：每套A产品需降价1万元．【点睛】本题考查列一元二次方程解增长率与降价增量问题应用题，驾驭列一元二次方程解增长率与降价增量问题应用题方法与步骤，抓住等量关系用增长率表示4月份的销量=45；利用每套利润×销售套数=70列方程是解题关键．2．（广东·佛山市华英学校九年级期中）2024年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩特别畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店确定五月降价促销，经调查发觉，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【答案】(1)25%(2)当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元【解析】【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，依据题目已知条件列出方程即可求解；（2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，依据题目已知条件得出，解方程即可得出结果．(1)解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%；(2)解：设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，依题意，得：，化简，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，依据题目意思正确的列出方程是解题的关键．3．（重庆荣昌·八年级期末）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，东部华侨城景区在2024年春节长假期间共接待游客达20万人次，预料在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．(1)求东部华侨城景区2024至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率．(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，依据销售阅历，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2024年春节期间，店家确定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时（其中售价不超过20元），店家此款奶茶实现平均每天6300元的利润额?【答案】(1)20%(2)20元【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，依据东部华侨城景区在2024年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预料在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．(1)设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2=28.8，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍）．答：年平均增长率为20%；(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：（y-6）[300+30（25-y）]=6300，整理得：y2-41y+420=0，解得：y1=20，y2=21．∵售价不超过20元，∴y=20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大实惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．4．（甘肃酒泉·九年级期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快削减库存，商场确定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？【答案】(1)两次下降的百分率为10%(2)每天要想获得512元的利润，每件应降价2元【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得512元的利润，每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．(1)解：设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；(2)解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于削减库存，则每件商品应降价y元，由题意，得解得：答：要使商场每月销售这种商品的利润达到512元，且更有利于削减库存，则每件商品应降价2元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是依据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变更前后的平衡关系，列出方程，解答即可．5．（福建·泉州五中九年级开学考试）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖确定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人起先号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会接着号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．(1)求出m的值；(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人起先发起号召，但刚刚起先，他们就发觉了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．【答案】(1)10(2)所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为【解析】【分析】（1）依据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会接着号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解；（2）依据题意，得小颖号召了n人.小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再依据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解．(1)解：依据题意得：m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121，∴m+1=±11，解得：m1=10，m2=-12（舍去）答：m的值为10；(2)解：依据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，∵小红的成功率比小颖的两倍少10%，∴，解得：n=4，∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，答：所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，精确得到等量关系是解题的关键．6．（浙江·九年级专题练习）卫生部疾病限制专家经过调研提出，假如人传播人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”假如某镇有人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，推断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（1）若不加以限制传染渠道，经过轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？【答案】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，见解析；（2）若不加以限制传染渠道，经过轮传染，共有人成为新冠肺炎病毒的携带者【解析】【分析】最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为人，则第一轮传染了人，其次轮传染了人，依据经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程，解之将其正值与比较后即可得出结论；利用经过轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数每人每轮传染的人数，即可求出结论．【详解】解：最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下：设每人每轮传染的人数为人，则第一轮传染了人，其次轮传染了人，依题意得：，解得：不合题意，舍去．，最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．人．答：若不加以限制传染渠道，经过轮传染，共有人成为新冠肺炎病毒的携带者．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必需握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？【答案】（1）15；；（2）参加聚会的有9人．【解析】【分析】（1）依据每一人与其它五人握手，可得6×5次，其中每两人重复一次握手，共有，依据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）设有x人参加聚会，由（1）的结论结合共握手36次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：（1）若参加聚会的人数为，则共握手（次）；参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次．故答案为：15；；（2）设有人参加聚会，依据题意得，，整理得，因式分解得，解得：，（不合题意，舍去），答：参加聚会的有9人．【点睛】本题考查了有理数的乘法，列代数式，一元二次次方程的应用，解题的关键是：（1）依据各数量之间的关系，列式计算；（2）依据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．8．（新疆维吾尔自治区喀什地区九年级上学期期末数学试题）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？【答案】4米【解析】【分析】设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40−2x）米，宽为（28−x）米的矩形，依据6个矩形区域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40−2x）米，宽为（28−x）米的矩形，依题意得：（40−2x）（28−x）＝128×6，整理得：x2−48x＋176＝0，解得：（不合题意，舍去）．答：小路的宽应为4米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（甘肃酒泉·九年级期末）如图所示，某建筑工地要靠一堵院墙围建一个面积为150m2的矩形临时仓库．已知可利用的院墙长18m，要求在与院墙平行的一边开一个宽为2m的门，现有的砖料按要求只能砌成33m长的围墙，求这个待建临时仓库的长和宽．【答案】这个待建临时仓库的的长和宽分别为15m和10m．【解析】【分析】设这个待建临时仓库的宽为xm，则仓库的长为（35-2x）m，依据长方形面积=长×宽，列方程，依据墙长18m列不等式，，解方程与不等式即可．【详解】解：设这个待建临时仓库的宽为xm，则仓库的长为（35-2x）m，依据题意，得，解方程，整理得，因式分解得，解得：，解不等式得x≥8.5，∵7.5＜8.5舍去，∴x=10,，经检验x=10是原方程的根，并符合题意，∴35-2x=35-2×10=15m,答：这个待建临时仓库的的长和宽分别为15m和10m．【点睛】本题考查列一元二次方程解图形面积问题应用题，列不等式解决方程根的问题，驾驭列方程的方法和解题步骤，以及列不等式的方法是解题关键．10．（山东·日照市岚山区教学探讨室八年级期末）某公司支配搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长为58米的铁皮围成，两面墙的夹角为90°，铁皮与墙面均垂直，其中CD边上留有宽2米的通道，且边CD的长不小于30米．设BC的长为x米．(1)CD的长为_______米．（用含x的代数式表示）(2)若仓库的面积是800平方米，则BC的长应为多少米？【答案】(1)（60-x）(2)BC的长应为20米【解析】【分析】（1）由题意知，计算求解即可；（2）由题意列方程得：x（60-x）=800，计算求出满足要求的解即可．(1)解：由题意知∴故答案为：．(2)解：由题意列方程得：x（60-x）=800，解得x1=20，x2=40当x1=20时，60-x=40；当x2=40时，60-x=20（20<30，不合题意，舍去）答：BC的长应为20米．【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．解题的关键在于依据题意列方程．11．（湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．(1)当x＝时，代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．(2)当x＝时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．(3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当垂直于墙的一边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)1，小，3(2)2，大，7(3)当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32【解析】【分析】（1）先依据平方的性质求出代数式的取值范围，再进行分析计算即可；（2）先配方，把多项式变成完全平方形式，再进行分析计算；（3）依据总长为16m，构造方程求解即可．(1)解：∵2（x﹣1）2≥0，∴2（x﹣1）2+3≥3，∴当x＝1时，代数式有最小值为3．故答案为：1，小，3．(2)解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3＝﹣（x﹣2）2+7，∵﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+7≤7，∴当x＝2时，代数式有最大值为7．故答案为：2，大，7．(3)解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m，花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x）＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2（x﹣4）2≤0，∴﹣2（x﹣4）2+32≤32，∴当x＝4时，代数式有最大值为32，即当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32．【点睛】本题主要考查配方法的实际运用，解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．12．（重庆试验外国语学校九年级期末）为了改善生态环境，重庆市政府确定对某公园进行绿化，该绿化工程须要完成26000平方米的绿化任务．某施工队在按支配施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1．5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．(1)该绿化工程原支配每天完成多少平方米的绿化任务？(2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入便利，在建立花圃时，在长边上用其他材料建立了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆．若此时花画的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．【答案】(1)该绿化项目原支配每天完成2000平方米(2)花圃的长为6米，宽为12米．【解析】【分析】（1）干脆利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，再用4天完成了该项绿化工程，进而得出方程求出答案；（2）设花圃的宽AB为x米，它的面积为72米2，进而列出方程求出答案即可．(1)解：设该项绿化工程原支配每天完成x米2，依据题意得：＝4，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原支配每天完成2000平方米；(2)解：设花圃的宽AB为x米，则BC＝28+2﹣3x＝30﹣3x，依据题意，得（30﹣3x）x＝72，解得：x1＝4，x2＝6．∵当x＝4时，30﹣3x＝18＞16，∴不符合题意，舍去．∴宽为6米，长为12米．答：花圃的长为6米，宽为12米．【点睛】此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确找到等量关系，列出方程是解题关键．13．（江苏南京·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B起先沿BC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C起先沿CA向点A以2cm/s的速度运动，P，Q同时动身，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为ts．（1）下列说法正确的是_____．（填写全部正确结论的序号）①PQ可以平分△ABC的周长；②PQ可以平分△ABC的面积．（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于7cm2？【答案】（1）②；（2）t＝1．【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB＝10cm，当PQ平分△ABC的周长时，8﹣t+2t＝12，得t＝4＞2（舍），当×（8﹣t）×2t＝12时，可知t＝2时，PQ可以平分△ABC的面积；（2）由题意知＝7，即可解决问题．【详解】解：（1）,点Q以2cm/s的速度运动,则∵∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝，当8﹣t+2t＝12时，∴t＝4＞2（舍），当×（8﹣t）×2t＝12时，解得t＝2或t＝6（舍），∴t＝2时，PQ可以平分△ABC的面积，故答案为：②；（2）①由题意知：CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2tcm，∴=7，解得：t＝1或7（舍去），∴当t＝1时，△PCQ的面积等于7cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．14．（湖南·桂东县寨前中学九年级期中）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A起先沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B起先沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）假如P、Q分别从A、B同时动身，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）假如P、Q分别从A、B同时动身，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【答案】（1）秒后，△PBQ的面积为4cm2；（2）秒后，PQ的长度等于5cm；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）设运动时间为，则依据题意可知，，依据三角形面积公式列式求解即可；（2）依据勾股定理列式求解；（3）依据题意得出，整理运用根的判别式推断即可．【详解】解：（1）设运动时间为，则依据题意可知，，∴，解得：或，时，不符合题意，故舍去，∴秒后，△PBQ的面积为4cm2；（2）在中，,即，解得：或(舍)，∴秒后，PQ的长度等于5cm；（3）由（1）得，整理得：，则，∴方程无解，即△PBQ的面积不能否等于7cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解本题的关键．15．（湖北鄂州·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A起先沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B起先沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．假如点P，Q分别从点A，B同时动身，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为ts（t＞0）．（1）线段BQ＝cm，PB＝cm；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长为4cm？（3）是否存在t，使得五边形APQCD的面积等于99cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（10−2t）；4t；（2）t＝1秒（3）t＝秒或t＝秒【解析】【分析】（1）依据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；（2）依据勾股定理可得PB2＋BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；（3）依据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再依据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．【详解】解：（1）∵点P从点A起先沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，∴AP＝2tcm，∵AB＝10cm，∴PB＝（10−2t）cm，∵点Q从点B起先沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，∴BQ＝4tcm；故答案为：（10−2t）；4t；（2）由题意得：