上海市2024年中考数学试题（含答案）

上海市2024年中考数学试题阅卷人一、选择题（每题4分，共24分）得分1．如果x>y，那么下列正确的是（）A．x+5<y+5 B．x−5<y−5 C．5x>5y D．−5x>−5y2．函数f(A．x=2 B．x≠2 C．x=3 D．x≠33．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2−6x=0 B．x2−9=0 C．4．已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子，发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（）种类甲乙丙丁发芽天数2.32.33.12.8标准差1.050.781.050.78A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形6．在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离阅卷人二、填空题（每题4分，共48分）得分7．计算：(4x28．计算(a+b)(9．已知2x−1=1，则x=10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB11．若正比例函数y=kx的图像经过点(7,−13)，则y的值随12．在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC=．13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为万元．14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有15．如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设AC=a，BE=b，若AE=2EC，则DC= 第15题图 第16题图16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有人．17．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C'，D'，若AC'18．对于一个二次函数y=a(x−m)2+k（a≠0）中存在一点P(x',y阅卷人三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）得分19．计算：|1−3|+2412+21．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A(−3,m)，且与直线（1）求k与m的值；（2）过点A作直线l∥x轴与直线y=2x+4交于点C，求sin∠OCA22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h．（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．23．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．（1）求证：AD（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=12BD24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线x=m（m>0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果PQ小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为P'，如果四边形P'BPQ25．在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AE=1（1）如图1所示，点F在边CD上，且DF=13CD，联结EF（2）已知AD=AE=1；①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N，如果BC=4，且CD2=DM⋅DN，∠DMC=∠CEM

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；

B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；

C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；

D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；

故答案为：C

【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。2．【答案】D【解析】【解答】解：f(x)=2−xx−3

∴x-3≠03．【答案】D【解析】【解答】A：a=1，b=-6，c=0，∆=b2-4ac=（-6）2-4×1×0=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；

B：a=1，b=0，c=-9，∆=b2-4ac=02-4×1×（-9）=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；

C：a=1，b=-6，c=6，∆=b2-4ac=（-6）2-4×1×6=12＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；

D：a=1，b=-6，c=9，∆=b2-4ac=（-6）2-4×1×9=0，则该一元二次方程有两个相等的实数根；符合题意；

故答案为：D4．【答案】B【解析】【解答】解：开花时间最短的是甲和乙，标准差最小的是乙和丁，则开花时间最短并且最平稳的是乙种类。

故答案为：B

【分析】本题考查标准差的意义，标准差能反映一个数据集的离散程度，标准差越小，数据越稳定，据此可得结论。5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD为矩形，AC，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，BF⊥AC，DE⊥AC

∴AO=DO=BO=CO，∠AGO=∠DHO=∠BKO=∠CPO=90°

∴∆AGO≅∆DHO≅∆BKO≅∆CPO

∴∠GAO=∠HDO=∠KBO=∠PCO

∴∠BAM=∠CDN=∠ABM=∠DCN，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB

∴EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN

∴FM=ME=EN=NF

∴四边形MENF为菱形

故答案为：A

【分析】本题考查特殊四边形--矩形的性质，菱形的判定，三角形的全等判定与性质等知识，熟悉矩形的性质，菱形的判定是解题关键。根据矩形性质，证明∆AGO≅∆DHO≅∆BKO≅∆CPO，结合其性质，可得EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN，可知FM=ME=EN=NF，则四边形MENF为菱形.6．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵圆A与圆P内切，圆A半径为1，圆P半径为3，

∴AP1=3-1=2

∴BP1=AB-AP1=3

∵AC=3，

∴CP2=AC-AP2=1

∴BP2=BC2+CP22=17

∴3＜BP＜17

∵rB=2

∴rB+rP=5，rB-rP=1

∴1＜BP＜5（1）d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。（2）d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。（3）d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。（4）d<R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。（5）d<R+r两圆相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。7．【答案】64【解析】【解答】解：(4x2)3=43x6=64x68．【答案】b【解析】【解答】解：（a+b）（b-a）=b2-a2.故答案为：b2-a2.【分析】利用平方差公式直接进行计算.9．【答案】1【解析】【解答】∵2x−1=1

∴（2x−1）2=1

∴2x-1=1

∴2x=2

∴10．【答案】8×1【解析】【解答】解：由题知：2×105÷25=200×103÷25=8×103

故答案为：8×103

【分析】本题考查科学记数法：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。11．【答案】减小【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx的图像经过点(7,−13)，

∴7k=-13

∴k=-137＜0

∴y的值随x的增大而减小

故答案为：减小

【分析】本题考查正比例函数的性质：y=kx（k≠0）.k＞0，y的值随12．【答案】57°【解析】【解答】解：如图：

∵菱形ABCD

∴∠ABC+∠BAD=180°

∴∠BAD=180°-∠ABC=114°

∴∠BAC=12∠BAD=57°

故答案为：57°

【分析】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，对角线平分对角，根据其性质可得答案。13．【答案】4500【解析】【解答】解：设某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系y=kx+b（k≠0）

由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000

∴10x+b=100090x+b=5000

解得k=50，b=500

∴y=50x+500

∴x=80时，y=50×80+500=4500

故答案为：4500

14．【答案】3【解析】【解答】解：∵摸到绿球的概率是35，

∴绿球的数量为3x，袋子中的白球和绿球共有5x个

∴x≥1，x为正整数，

∴绿球至少有3个

故答案为：3

15．【答案】2【解析】【解答】

解：∵平行四边形ABCD

∴AB=DC

∴AB→=DC→

∵AC=a，AE=2EC

∴AE→=23a→

∵16．【答案】2000【解析】【解答】解：从条形图可知，1000张调查问卷中，需要AR增强讲解的张数是100人，则20000万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000×1001000=2000人.

故答案为：2000

17．【答案】27或【解析】【解答】解：如图，C'落在AB线段上，

由翻折知：CC'⊥AB

∵AC'：AB：BC=1：3：7

∴BC'：AB：BC=2：3：7

∴cos∠ABC=BC'BC=27

如图：C'在BA延长线上，

由翻折知：CC'⊥AB

∵AC'：AB：BC=1：3：7

∴BC'：AB：BC=4：3：7

∴cos∠ABC=BC'BC=47

综上，cos∠ABC=27或47

故答案为：27或47

【分析】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，余弦的定义，熟悉翻折的性质是解题的关键。注意分情况讨论。由翻折得CC'⊥AB，根据AC'：AB：BC=1：3：7得BC'：AB：BC=2：3：7得cos∠ABC=BC'BC18．【答案】4【解析】【解答】解：∵y=−12x2+13x+3=−12（x-13）2+5518

∴m=13，k=5518

根据题意，设点P（x，19．【答案】解：|===26【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零整数指数幂，最简二次根式的化简，绝对值等知识，是解题关键。20．【答案】解：x2由②得：x=6−2y代入①中得：(6−2y)2(36−24y+4y6y6(y6(y−6)(y−1)=0解得：y=1或y=6，当y=1时，x=6−2×1=4，当y=6时，x=6−2×6=−6，∴方程组的解为x=4,y=1或者【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点，用代入法求解比较简便。21．【答案】（1）解：把B(n,6)代入得6=−2n+4，解得n=−1，∴B(−1,把B(−1,6)代入得k=−1×6=−6，∴y=−6把A(−3,m)代入得m=−6（2）解：由（1）知：A(−3设l与y轴相交于D，∵l∥x轴，x轴⊥y轴，∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，∠CDO=90°，把y=2代入y=−2x+4，得2=−2x+4，解得x=1，∴C(1,∴CD=1，OD=2，∴OC=C∴sin∠OCA=【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，与一次函数的交点，一次函数的性质与锐角三角函数，掌握求解析式的方法，求函数与函数交点，锐角三角函数的定义是解题关键。

（1）把B（n，6）代入y=-2x+4，得B（-1，6），代入y=kx得反比例解析式，把点A代入反比例函数，得m值；

（2）A(−3,2)设l与y轴相交于D，得∠CDO=90°，则C(1,2)，得CD=1，OD=222．【答案】（1）解：①如图①，△ABC为等腰直角三角板，∠ACB=90°，则AC=BC=h如图2，△DEF为含30°的直角三角形板，∠DEF=90°，∠F=30°，D=60°，则EF=2h，DE=h综上，等腰直角三角板直角边为2h，含30°的直角三角形板直角边为2h和2②由题意可知∠MNG=∠NGH=∠GHM=∠HMN=90°，∴四边形MNGH是矩形，由图可得，MN=2h−2∴S矩形EFGH故小平行四边形的底为(2−2)h，高为32（2）解：如图，即为所作图形．【解析】【分析】本题考查锐角三角函数，矩形的性质及面积，30°直角三角形，等腰直角三角形等知识，熟悉30°直角三角形及等腰直角三角形，矩形的性质及特殊锐角三角函数值是解题关键。

（1）根据高为h，则等腰直角三角板△ABC的边AC=BC=hsin45°=2h；30°的直角三角形板△DEF的边EF=2h，DE=hsin60°=233h；

（2）由题知四边形23．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADE=90°，AB=DC，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB=90°，∴∠ABD=∠DAE，∵∠BAD=∠ADE=90°，∴△ADE∽△BAD，∴ADBA=∵AB=DC，∴AD（2）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：在矩形ABCD中，∠ADE=90°，则∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AED，∵∠FEC=∠AED，∴∠ADO=∠FEC，在矩形ABCD中，OA=OD=1∵EF=CF=1∴OA=OD=EF=CF，∴∠ADO=∠OAD，∠FEC=∠FCE，∵∠ADO=∠FEC，∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE，在△ODA和△FEC中，∠ODA=∠FEC∴△ODA≌△FEC(AAS)，∴CE=AD．【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握判定大方法与性质应用是解题关键。

（1）由矩形ABCD得∠BAD=90°，∠ADE=90°，AB=DC，证△ADE∽△BAD，得ADBA=DEAD，即AD（2）连接AC交BD于点O，根据矩形的性质，得∠ADO=∠FEC，∠OAD=∠FCE，OD=FE，可证△ODA≌△FEC，得CE=AD．24．【答案】（1）解：设平移抛物线y=13x把A(0,−5c=−5解得：b=−4∴新抛物线为y=1（2）解：①如图，设Q(x,13∴PQ=1∵PQ小于3，∴43∴x<1，∵x=m(m>0)，∴0<m<1；②∵y=1∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP∴BP∴xP∴P'由平移的性质可得：P(5+2,253如图，当P'Q∥BP时，则过P'作P'S⊥QP∴∠P∴△P∴QSP设P'(x,13x2∴13解得：x=1（不符合题意舍去）；综上：P(7,【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平移的性质，线段问题，三角形相似的判定与性质和平行线的性质，分类讨论等知识，熟练掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，运用分类谈论是解题关键。

（1）设平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线为y=13x2+bx+c，代入A(0,−53)和B(5,0)得新抛物线为y=13x2−43x−53；

（2）设Q(x,13x2)，则P(x,13x2−43x−53)25．【答案】（1）证明：延长DE,∵AD∥BC，∴AEEB∵AE=13∴AEEB=1∴DEEG∴EF∥BC；（2）解：①解：记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA,∵点O为△ADE外接圆圆心，∴OA=OE=OD，∴AF=EF=1∵AE=1∴AB=3，∵AE=AD,∴△AE