浙江省宁波市九校2023-2024学年高一下学期期末联考 数学试题

宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？A．2 B．3 C．4 D．52．已知点，，若直线l过点且与线段AB相交，则直线I的斜率k的取值范围是（）A．或 B．或C．或 D．3．若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（）A．1 B．4 C．1或4 D．1或24．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若，，则此山的高度为（）A． B．C． D．6．已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（）A．π B．4π C．16π D．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（）A．14 B．15 C．16 D．178．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（）A．若事件A，B相互独立，，，则B．若三个事件A，B，C两两独立，则满足C．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数，则下列说法正确的是A．z的虚部为 B．C．复平面内对应的点位于第二象限 D．11．如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于2，E，F分别是棱AD，BC的中点．G为平面ABD上的一动点，则下列说法中正确的有（）A．三棱锥E-AFC体积为B．线段的最小值为C．当G落在直线BD上时，异面直线EF与AG所成角的余弦值最大为D．垂直于EF的一个面，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线平行，则实数_______．13．已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______．14．已知三棱锥P-ABC的四个面是全等的等腰三角形，且，，点D为三棱锥P-ABC的外接球球面上一动点，时，动点D的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别为AB，AD的中点，BF与DE交于点M．（1）用，表示；（2）求线段AM的长．16．（15分）已知直线l：．（1）求证：直线l过定点；（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值．18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示．（1）求证：AD⊥CG：（2）若AH⊥CD，试求直线CH与平面ABCD所成角的正弦值：（3）若二面角H-AD-B的大小为，M是线段CG上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥M-ABCD与四棱锥M-ADGH的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R点从点A出发．沿着折线段AD-DC-CB向点B运动（不包含A，B两点），记，．（1）当△APR是等腰三角形时，求；（2）当R在线段AD（不包含A，D两点）。上运动时，证明：；（3）当R在线段CD（包含C，D两点）上运动时，求的最大值．宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案CDCBACCB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分题号91011答案ACDBDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12． 13．3 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．解：（1）易判断等腰梯形ABCD中，又因为E，F分别为AB，AD的中点，．（2）因为B，M，F三点共线，则．又因为D，M，E三点共线，则有，解得，故有．所以．16．解：（1）由直线方程变形可得则有，解得，所以直线l过定点（2）结合图像易得当直线l斜率不存在时，即时，直线符合题意；当直线l斜率存在时，，解得；综上可得，实数a的取值范围为．（3）已知直线，令，得，得，令，得，得．则，当时，取到最大值．此时，直线l的方程为：．17．解：（1）由频率分布直方图有，得．设数学成绩的中位数为x，则有，得．所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75．（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”．则由古典概型概率计算公式得：，，，所以有，，．（i）记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥．因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立所以答：任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率（ii）记“甲、乙、两三个人中至少有一个人答对”，则所以，解得：．18．解：（1）如图，连接EC交AD于N，则N为CE的中点由正六边形的性质，可知AD⊥NG，AD⊥NC，因为，NG，平面GNC．故AD⊥平面GNC．而平面GNC，所以AD⊥CG．（2）如图，连接AC，在正六边形中，有，，，则有，即AC⊥CD，又因为AH⊥CD，故CD⊥平面AHC，连接FD，同理AF⊥FD，即AH⊥HD，即有AH⊥平面CDH．所以有AH⊥CH．因为，，所以．由体积法，有，解得．设CH与平面ABCD所成的角为，则．所以CH与平面ABCD所成角的正弦值为．（3）由（1）知AD⊥平面GNC，所以∠GNC就是二面角H-AD-B的平面角，即，过M作MM⊥NC，垂足为点，过M作，垂足为点．因为AD⊥平面GNC，所以，，所以平面ABCD，平面ADGH，所以在△GNC中，，，所以，，得．故