江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学试题【含答案】

2023~2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设为实数，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．42．复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（

）A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形4．已知，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．55．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知为钝角，，则（

）A． B． C． D．7．用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（

）A． B． C． D．8．在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（

）A． B．1 C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．一组样本数据如下：，则该组数据的（

）A．极差为6 B．平均数为85C．方差为26 D．第80百分位数为87.510．已知直线，平面，则下列结论正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（

）A． B．C．的面积为 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，且，则的最小值为．13．在中，，若最短边的长为，则最长边的长为．14．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，角的对边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．16．已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．(1)用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率；(2)用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率．17．如图，在正方体中，为棱的中点．

求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面18．（1）已知，且．求的值；（2）已知，且．求的值．19．如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为．(1)求证：四棱锥为正四棱锥；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；(3)若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值．1．A【分析】根据集合相等得到，解得即可.【详解】因为，若，所以，解得.故选：A2．D【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．B【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案.【详解】由题知：设的三边分别为，，，因为，所以角为最大的角.因为，，所以为锐角，故三角形为锐角三角形.故选：B4．B【分析】首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，所以，，又，所以，解得.故选：B5．C【分析】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数.【详解】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为，所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人.故选：C6．D【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解.【详解】因为，，所以，又为钝角，所以.故选：D7．C【分析】根据圆台侧面积公式求出，则一个桶需要涂漆面积为，进而求解.【详解】，，，故一个桶需要涂漆面积为，故个桶需要涂漆为：.故选：C.8．B【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算.【详解】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，则，设，，则，则因为，则,的，则，且.故选：B【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积.9．AB【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义逐一计算即可.【详解】对于A，极差为，故A正确；对于B，平均数为，故B正确；方差为，故C错误；对于D，，所以第80百分位数为，故D错误.故选：AB.10．ACD【分析】根据面面、线面平行、垂直的判定定理以及性质依次判断选项即可.【详解】对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确；对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误；对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确；对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确；故选：ACD11．ABD【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案.【详解】因为中，，对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则所以，故A正确；对于B，由，设，所以，因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确；对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故由于，，所以，则，所以，故C不正确；对于D,，故D正确；故选：ABD12．【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，且，所以，当且仅当时取等号.故答案为：13．【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解.【详解】由，，得，所以，，所以，所以，所以，故，为最长的边，由，得，则，所以（舍去），由正弦定理得，所以.即最长边的长为.故答案为：.14．##【分析】设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，根据圆锥的体积得到，再由，即可表示、，再由勾股定理得到与的关系，最后由圆锥的体积求出，即可求出球的体积.【详解】如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，由，，又，即，即，又，所以，，所以，又，所以，又，即，解得，所以，即球的体积为.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，即，又，解得（负值已舍去），所以.16．(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可.【详解】（1）记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，，所以；（2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，解得，即元件正常工作的概率为.17．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）连交于，连，因为为的中点，为的中点，所以又平面平面，所以平面（2）因为平面，所以于，所以平面，所以同理可证，又于，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．18．（1）.（2）.【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可.（2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可.【详解】（1），，，，，，.故答案为：.（2），，即，，又，，，即.故答案为：.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据过点作面，垂足为，取中点，连接，二面角的正切值为，验证的为正方形的对角线的交点，从而得证；（2）利用二面角的定义确定二面角的平面角，求解即得；（3）通过在图形中找到与垂直的平面，从而观察符合题意的截面，判断截面面积最大的情况，计算出面积；【详解】（1）证明：过点作面，垂足为，取中点，连接，如图所示，是平面内两条相交直线，平面.平面，，二面角的平面角为.在等边三角形边长为4，根据勾股定理可得,在直角三角形，.因此为正方形的中心，即正方形的对角线的交点，又因为面，则.因此四棱锥为正四棱锥.（2）设面面，因为平面平面，故面，又面，面面，从面，则，同理为二面角的平面角，因四棱锥为正四棱锥，故，则，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（3）由（1）知为的中点，取的中点，