2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(m+1,1)，b=(m−1,1)，且a⊥b，则A.1 B.−1 C.±2 2.复数zi=1−2i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是(

)A.A与B互为对立事件 B.PA=PB

C.A与B相等 D.A4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则AF=(

)

A.38BA+58BC B.55.已知两条不同直线m，n与三个不同平面α，β，γ，则下列命题中正确的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，则m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

C.若α⊥β，m⊥β，则m//α D.若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=80，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则A,BA.80 B.803 C.160 二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。7.给出下列说法，其中正确的是(

)A.数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6

B.已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差是5，则数据4x1−1,4x2−1,⋯,4xn−1的方差是20

C.已知一组数据x18.如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=12CD=2A.线段AC=23

B.该圆台的表面积为11π

C.该圆台的体积为73π

D.沿着该圆台的表面，从点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175.则这组样本数据的第60百分位数是

．10.若向量a=(4,0)，b=(1,3)，则向量a在向量b11.如图，是▵OAB在斜二测画法下的直观图，其中，且，则▵OAB的面积为

．

12.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为

．四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD(1)求证：AB//平面PCE；(2)若PA=3，求二面角P−CD−A的平面角的正切值．14.(本小题12分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3(1)求B；(2)若BD=12BA+BC15.(本小题12分)2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场(鸟巢)举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组20,25，第二组25,30，第三组30,35，第四组35,40，第五组40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35∼45岁所有人的年龄的方差．

答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查两向量垂直的坐标表示，属于基础题．

根据题意建立关于m的方程，解出即可．【解答】

解：依题意，(m+1)(m−1)+1=0，

即m2=0，

解得m=0．

故选2.【答案】C

【解析】【分析】

由复数的四则运算以及它的几何意义即可求解．【解答】

解：由题意zi=1−2i，所以z=1−2i所以z在复平面内对应的点为−2,−1，它在第三象限．故选：C．3.【答案】B

【解析】【分析】

AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误．【解答】

解：AD选项，事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；B选项，PA=PBC选项，事件A与事件B不是同一个事件，故C错误．故选：B．4.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，属于基础题．【解答】

解：AF5.【答案】A

【解析】【分析】

根据线线、线面与面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可．【解答】

解：A：若m⊥α，n⊥α，则m//n，故A正确；B：若α⊥γ,β⊥γ，则α与β可能平行或相交，故B错误；C：若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故C错误；D：若α⊥β，m⊥α，n//β，则m与n可能相交、平行或异面，故D错误．故选：A．6.【答案】D

【解析】【分析】

根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案．【解答】

解：因为∠ADB=135∘，所以∠ADC=150∘，所以AD=CD=80，又因为∠ACB=120所以∠BCD=135在▵BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=在▵ABD中，由余弦定理得A=80所以AB=80故选：D．

思路点睛；解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．7.【答案】ACD

【解析】【分析】本题主要考查统计的基本知识，属于中档题．

对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得

x1=x2【解答】解：对于A，极差为

4−0=4

，中位数为

1+22=32

，所以极差与中位数之积为

4×对于B，根据方差的性质可知，数据

4x1−1,4x2−1,⋯,4xn对于C，由方差

s2=可得

x1=x2对于D，

∵x1∴x0+x故选ACD．8.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查圆台的体积，圆台的侧面积和表面积，旋转体表面上的最短距离问题，属于中档题．

在等腰梯形中求出AC判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D．【解答】

解：根据题意，显然四边形ABCD是等腰梯形，

又AB=AD=BC=2,CD=4，其高即为圆台的高ℎ=对于A，在等腰梯形ABCD中，AC=ℎ2对于B，圆台的表面积S=π×12+π×对于C，圆台的体积V=13π(对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环ABCD且E为AD中点，而圆台对应的圆锥半侧面展开为COD且OC=4，又∠COD=2π在Rt△COE中，

CE=42+32=5

，斜边CE上的高为OC⋅OE所以C到AD中点的最短距离为5，D正确．

故选：ABD．9.【答案】170

【解析】【分析】

根据百分位数的定义计算即可．【解答】

解：因为10×60%=6，所以这组样本数据的第60百分位数是169+1712故答案为：170．10.【答案】(1,【解析】【分析】本题考查了投影向量的计算公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

根据投影向量的计算公式求出答案即可．【解答】

解：∵a=(4,0),b=(1,3)，

∴a在11.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想，属于基础题．

过B′分别作y′，x′轴的平行线，且交x′，y′轴于点M，N，求出O′N，O′M的长度，从而得到原坐标系中点A，B的坐标，再求出三角形的面积．【解答】

解：过B′分别作y′，x′轴的平行线，且交x′，y′轴于点M，N，

∴O′N=22，O′M=2，

∴在原坐标系xOy中，点B(−2,42)，点A(2,0)，

∴S△OAB12.【答案】28π3【解析】【分析】

由已知画出图形，连接上下底面中心MN，则MN的中点即为外接球球心，连接CO，求出CO即可计算得出外接球的面积．【解答】

解：由已知做出正三棱柱ABC−A1B设点M,N分别为正▵ABC，正▵A1B1C连接CM并延长交于AB于点D，则AD=BD=1，CM=2设点O为MN中点，连接CO，则点O为正三棱柱ABC−A1B1C1外接球的球心，且因为点M为正▵ABC的中心，所以CD⊥AB，所以CD=AC因为CM⊂平面ABC，所以MN⊥CM，则正三棱柱外接球半径R=CO=所以该球的表面积为：4πR故答案为：28π13.【答案】解：(1)由题意知，AE//BC,AE=1，所以AE//BC且AE=BC，所以四边形ABCE为平行四边形，则AB//CE，又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AB//平面PCE；(2)由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，得PA⊥CD，又AD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，由PD⊂平面PAD，得CD⊥PD，所以∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD，在▵PAD中，AD=2,PA=3，所以tan∠PDA=即二面角P−CD−A的平面角的正切值为32

【解析】(1)根据平行四边形的判断方法可证四边形ABCE为平行四边形，则AB//CE，结合线面平行的判定定理即可证明；(2)根据线面垂直的判定定理和性质可得CD⊥PD，则∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，即可求解．14.【答案】解：(1)由正弦定理得3即333sinC所以3sinB=又0<B<π，所以B=π(2)BD得4=14c所以ac≤162+所以S▵ABC即▵ABC的面积的最大值为8−4

【解析】(1)根据正弦定理和三角函数恒等变换的化简计算即可求解；(2)由BD215.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x，则

x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(岁)．

设第80百分位数为a，

由0.1+0.35+0.25+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．

(2)(ⅰ)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，

对应的样本空间为

Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，

(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点．

设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则

M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点．

所以，P(M)=n(M)n(Ω)