2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1=1+i，z2=2−i(i为虚数单位，i2=−1)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.命题“∃x>0，x2−3x−10>0“的否定是(

)A.∀x>0，x2−3x−10>0 B.∃x>0，x2−3x−10≤0

C.∀x≤0，x23.下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是(

)A.y=sin2x B.y=cosx C.y=2|sinx| D.y=2|cosx|4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是(

)A.14 B.13 C.235.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1和CC1上的点，PA=A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形6.在同一个坐标系中，函数f(x)=logax，g(x)=a−x，A. B.

C. D.7.已知sin2β=3sin2(α+γ)，则tan(α+β+γ)tan(α−β+γ)A.−2 B.14 C.32 8.已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cosθ=(

)A.13 B.322 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(

)A.图中x的值为0.030

B.被抽取的学生中成绩在[70,80)的人数为15

C.估计样本数据的众数为90

D.估计样本数据的平均数大于中位数10.已知向量a=(−1,3)，b=(x,2)，且(a−2A.b=(1,2)

B.|2a−b|=25

C.向量a与向量b的夹角是45°

D.向量11.已知z∈C，设函数f(z)满足f(z)+zf(1−z)=1+z，则(

)A.f(1)=1

B.当z∈R时，f(z)不一定是常数函数

C.若f(12+32i)=2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=lnx与y=ex的图象关于直线______对称．13.若某扇形的圆心角为π4，面积为π2，则该扇形的半径是______．14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC=2cosB，a2+b2−c2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=23sinx⋅cosx+2cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)求f(x)16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)若AB=3AD，求平面ABC与平面17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，a∈R．

(1)当a=2时，求f(x)在x=0处的切线方程；18.(本小题17分)

已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M(0,1)，右焦点F，离心率e=22．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l与椭圆C交于P，Q两点．

(i)若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；

(ii)是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l19.(本小题17分)

已知数列{an}满足an2−(4+3n)an−4n2−4n=0(an>0,n∈N∗)，数列{bn}满足bn+1=3bn+2n−1(n∈N∗)，b1=2．

(1)求{an}，{bn}答案解析1.【答案】D

【解析】解：z1=1+i，z2=2−i，

则z=z2−z1=2−i−(1+i)=1−2i，

故z对应的点(1,−2)【解析】解：命题“∃x>0，x2−3x−10>0“的否定是：∀x>0，x2−3x−10≤0．

故选：D．

【解析】解：由于y=sin2x是最小正周期为π的奇函数，则A正确；

由于y=cosx为最小正周期为2π的偶函数，则B错误；

由于y=2|sinx|是最小正周期为π的偶函数，则C错误；

由于y=2|cosx|是最小正周期为π的偶函数，即D错误．

故选：A．

4.【答案】C

【解析】解：甲、乙、丙三人排成一行拍照，共有A33=6种排法，

又甲不在中间的排法有A21⋅A22=4种排法，

则甲不在中间的概率是P=【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接CQ，DP，DQ，PQ，如图所示：

因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA和BB1上的点，

PA=13AA1，BQ=13BB1，

所以PQ/​/AB，又因为AB/​/CD，

则PQ/​/CD，

因为PQ⊄平面CC1D1D，CD⊂平面CC1D6.【答案】C

【解析】解：当a>1时，A中，g(x)=a−x应该单调递减，而ℎ(x)=xa在(0,1)应该在y=x的下方，所以A不正确；

C中，g(x)=a−x应该单调递减，而ℎ(x)=xa在(0,1)应该在y=x的下方，f(x)=logax的图象应该单调递增，所以C不正确；

B中，ℎ(x)=xa在(0,1)应该在y=x的下方，所以B不正确；

D中，f(x)=logax的图象应该单调递增，所以D不正确；

当0<a<1时，A中f(x)=logax的图象应该单调递减，所以A不正确；

B中，g(x)=a−x应该单调递增，f(x)=logax的图象应该单调递减，所以B不正确；

C中，三个图象正确；

D中，g(x)=【解析】解：令θ1=α+β+γ，θ2=α−β+γ，则有3sin(θ1+θ2)=sin(θ1−θ2)，

所以3sin【解析】解：如图所示：

∵两圆锥相似，且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，

∴V圆锥SE：V圆锥SO=1：8，

∴两圆锥相似相似比为1：2，

不妨设小圆锥SE的底面圆的半径为1，则大圆锥SO的半径为2，

又这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，

∴圆台的母线BC=CF+BF=CE+BO=1+2=3，

过C作CH⊥BO于点H，则HB=1，

又∠ASB=θ，∴∠BCH=∠BSO=θ2，

又sinθ2=9.【答案】AB

【解析】解：对于A，由频率分布直方图可知，(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1，

解得x=0.03，故A正确；

对于B，被抽取的学生中成绩在[70,80)的人数为0.015×10×100=15人，故B正确；

对于C，估计样本数据的众数为90+1002=95，故C错误；

对于D，因为频率分布直方图是左拖尾，所以样本数据的平均数小于中位数，故D错误．

故选：AB．

10.【答案】【解析】解：已知向量a=(−1,3)，b=(x,2)，且(a−2b)⊥a，

则a2−2a⋅b=0，

即(−1)2+32=2(6−x)，

即x=1，

对于选项A，由题意可得：b=(1,2)，即选项A正确；

对于选项B，2a−b=(−2,6)−(1,2)=(−3,4)，

则|2a−b|=(−3)2+42=5，

即选项B错误；

对于选项C，a⋅b=−1×1+3×2=5，

又【解析】解：对于A，取z=0，得f(0)=1+0=1.再取z=1，得f(1)+f(0)=1+1=2，因此f(1)=2−f(0)=1，故A项正确；

对于B，由f(z)+zf(1−z)=1+z，用1−z代换z可得f(1−z)+(1−z)f(z)=2−z，

以上两式消去f(1−z)，可得(z2−z+1)[f(z)−1]=0．

因为z∈R时，z2−z+1=(z−12)2+34>0.所以f(z)−1=0，即f(z)=1，f(z)是一个常数函数，故B项错误；

对于C，若f(12+32i)=2，则根据f(12+32i)+(12+32i)f(12−32【解析】解：由于函数y=lnx与y=ex的互为反函数，

故函数y=lnx与y=ex的图象关于直线y=x对称．

故答案为：y=x．

【解析】解：设扇形的面积为r，则扇形面积S=12×π4r2=π2，

解得r=2【解析】解：由a2+b2−c2=2ab，可得cosC=a2+b2−c22ab=22，结合C∈(0,π)，可得C=π4．

所以sinC=2cosB=22，可得cosB=12，结合B∈(0,π)，得B=π3，A=π−B−C=5π12，

由三角形的面积公式，得S△ABC=12absinC=3+3，即12ab⋅22=3+3，解得ab=62+26．

由正弦定理，得a：b=sinA：sinB=6+24：32=(6+2)：23，

设b=23x，则a=(6【解析】(1)利用三角变换得到f(x)=2sin(2x+π6)+1，再求周期和单调区间即可；

(2)根据x∈[−π6,5π12]时，2x+π6∈[−π6,π]可求得最值及对应的x的值．

16.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，

因为PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，

所以∠PDA=45°，且PA=AD，

又E为PD的中点，所以AE⊥PD，

因为CD⊥AD，又CD⊥PA，

故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，

所以AE⊥平面PCD．

(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，

故BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB，又BC⊥AB，

则【解析】(1)利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；

(2)根据条件证出则∠PBA为平面ABC与平面PBC的夹角，即可求解．

17.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2e2x−x，f′(x)=4e2x−1，

则f′(0)=3，f(0)=2，

故f(x)在x=0处的切线方程为y=3x+2；

(2)f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(2ex+1)(aex−1)，

①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；

②若a>0，当f′(x)=0时，解得x=−lna，

当x>−lna时，f′(x)>0，当x<−lna时，f′(x)<0，

则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增，在(−∞,−lna)上单调递减，

【解析】(1)把a=2代入，对函数求导，结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；

(2)先对函数求导，结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解．

18.【答案】解：(1)因为椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M(0,1)，右焦点F，离心率e=22，

所以b=1ca=22a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，

则椭圆C的标准方程为x22+y2=1；

(2)(i)易知kMF=−1，

因为MF⊥l，

所以kMFkl=−1，

解得k1=1，

设直线l的方程为y=x+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立y=x+mx22+y21=1，消去y并整理得3x2+4mx+2m2−2=0，

此时Δ=16m2−4×3×(2m2−2)=8(3−m2)>0，

解得−3<m<3，

由韦达定理得x1+x2=−4【解析】(1)根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；

(2)(i)设出直线l的方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数的关系以及中点坐标公式再进行求解即可；

(ii)若F恰为△PQM的垂心，推出MP⋅FQ=x1(x2−1)+y2(y1−1)=0，又yi=xi+m(i=1,2)，结合(i)中信息求出m的值，再进行检验即可得到直线l的方程．

19.【答案】解