2024河南中考数学复习 研究函数变量之间的关系 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习研究函数变量之间的关系强化精练问题一分析判断函数图象1.(2023广元)向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是()第1题图2.(2023青海省卷)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响．实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是()第2题图A.酒精浓度越大，心率越高B.酒精对这种鱼类的心率没有影响C.当酒精浓度是10%时，心率是168次/分D.心率与酒精浓度是反比例函数关系3.如图①，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t(秒)的函数关系如图②所示，则点C运动至5秒时，∠AOC的度数为()第3题图A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2023甘肃省卷)如图①，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图②所示，则点M的坐标为()第4题图A.(4，2eq\r(3))B.(4，4)C.(4，2eq\r(5))D.(4，5)5.已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图①所示，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移，直到点B′移动到与点C重合时停止，设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是()图①图②第5题图A.4eq\r(2)B.4C.3eq\r(2)D.36.如图①，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，动点P从点A出发，沿着A→O→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止，过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F.在此过程中四边形BEPF的面积y与运动时间x的函数关系如图②所示，则AC的长为()第6题图A.4B.2eq\r(2)C.2D.eq\r(2)7.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为()第7题图A.3B.4C.5D.68.如图①，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图②所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为()图①图②第8题图A.2eq\r(5)－2B.3eq\r(5)－1C.2eq\r(5)D.2eq\r(5)＋29.(2023周口二模)如图①，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝60°，AM＝AN＝eq\f(1,3)AB＝1，点P沿BD从点B匀速运动到点D.设点P的运动时间为x，PM＋PN＝y，图②是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图②中最低点的纵坐标a的值为()第9题图A.2eq\r(3)B.eq\f(7,2)C.eq\r(7)D.310.(2023烟台)如图①，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图②是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为________．图①图②第10题图11.如图①，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点P从顶点A出发在△ABC边上运动，设点P的运动时间为x，△APD的面积为y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB的长为________.第11题图

问题二研究新函数1.若一个函数的自变量在不同的取值范围内，有着不同的函数表达式，我们把这样的函数叫做分段函数．李华在学习过程中，遇到了分段函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＋1（x＜1），,\f(2,x)（x≥1），))为研究这个函数的图象与性质，进行了如下探究，请将下列探究过程补充完整：(1)当x≥1时，函数的图象位于第______象限，此时y随x的增大而________；(2)已知y与x的几组对应值如下表，补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描点、连线，画出该分段函数的图象；x…－2－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)2eq\f(5,2)3…y…32eq\f(3,2)__eq\f(3,2)2eq\f(4,3)1__eq\f(2,3)…第1题图(3)研究函数并回答问题：①已知点A(－2，y1)，B(eq\f(7,2)，y2)，C(x1，eq\f(5,2))，D(x2，eq\f(2,3))在该函数图象上，则y1____y2，x1________x2(填“＜”“＞”或“＝”)；②根据函数图象，直接写出eq\f(2,x)(x≥1)<1时x的取值范围．2.德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下表：天数t…2021222324252627282930…波动值s…0.300.312.23.85.77.81012.314.3…第2题图(1)数学活动：①根据表中数据，通过描点，连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当t＝14时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论；(3)数学应用：根据研究，当s＞10时处于情绪高潮期，心情愉快；s＜10时处于情绪低潮期，心情烦躁；s＝10时处于临界日，心情平稳，若小海从出生到今天的天数为5501天，则今天他心情如何？3.如图①，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm，P是线段AB上由点A向点B移动的一动点(不与点A，B重合)，连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D.设AP＝xcm，BD＝y1cm.第3题图(1)求y1与x的函数关系式以及对应的x的取值范围；(2)x与y1的几组对应值如下表所示：x/cm12345y1/cm104210.4请你根据表中的数据，在如图②所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出y1与x的函数图象，并写出函数y1的一条性质；(3)若正比例函数y2＝2x与y1交于点M，画出正比例函数y2的图象，并直接写出y1＜y2时，x的取值范围．4.如图①，AB是⊙O的直径，C是直径AB上的一个动点，P是圆弧上一点，且＝3，AB＝8cm，连接PC并延长，交⊙O于点D，连接AP，AD，BD.小浩根据学习函数的经验，对AC，PD，BD的长度之间的关系进行了探究．下面是小浩的探究过程，请补充完整：【收集数据】对于点C在直径AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PD，BD的长度的几组对应值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9AC0.001.002.003.004.005.006.007.008.00PD6.937.237.567.86m7.776.935.554.00BD8.007.977.867.56n5.764.001.920.00【整理数据】图①图②第4题图(1)在整理数据时，小浩不小心将一滴墨水掉在了表格上，盖住了一组数据，若不再测量，请你用所学的圆的知识以及表格中数据的特征，帮助小浩恢复数据，m＝________，n＝________；(2)将线段AC的长度作为自变量x，PD和BD的长度都是x的函数，分别记为y1，y2，并在平面直角坐标系xOy中画出了y2的图象如图②所示，请在同一坐标系中画出函数y1的图象；(3)连接BP，根据函数图象及表格数据，完成下列问题(结果均保留一位小数).①当△BPD为直角三角形时，AC的长约为________cm；②当△BPD为等腰三角形时，PD的长约为________cm.参考答案与解析问题一分析判断函数图象1.D【解析】依据题意，从容器的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v随水深h的变化关系为：先逐渐变快，再逐渐变慢，从函数的图象上看，D符合条件．2.C【解析】由题图可知，酒精浓度越大，心率越低，A选项错误；酒精对这种鱼类的心率是有影响的，B选项错误；当酒精浓度为10%时，心率为168次/分，C选项正确；心率与酒精浓度不是反比例函数关系，D选项错误．3.C【解析】根据题图②可知，当点C从点A开始向终点B运动的整个过程中所用时间为20秒，转过的圆心角为180°，∴点C1秒转过的圆心角为eq\f(180°,20)＝9°，∴点C5秒转过的圆心角为5×9°＝45°，即∠AOC＝45°.4.C【解析】由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，EC＝ED＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×4＝2，∴BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴M(4，2eq\r(5)).5.C【解析】由函数图象可知，当x＝m时，点B′到达点B，如解图①，当x＝m＋4时，点C′到达点C，如解图②，∴B′C′＝m，BC＝m＋4，∴A′B′＝A′C′＝eq\f(\r(2),2)B′C′＝eq\f(\r(2),2)m，AB＝eq\f(\r(2),2)BC，BB′＝4，由函数图象可知当m<x<m＋4时，重合部分的面积为1，∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·A′C′＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)m·eq\f(\r(2),2)m＝1，∴m＝2，∴BC＝2＋4＝6，∴AB＝eq\f(\r(2),2)×6＝3eq\r(2)，∴△ABC的直角边长为3eq\r(2).图①图②第5题解图6.A【解析】∵四边形ABCD是正方形，PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠ABC＝∠BEP＝∠BFP＝90°，∴四边形BEPF是矩形，EP∥BC，PF∥AB，当点P从A→O运动时，对应函数图象的第一段，此时四边形BEPF的面积y随着运动时间x的增大而增大，当点P从O→B运动时，对应函数图象的第二段，此时四边形BEPF的面积y随着运动时间x的增大而减小，∴当点P运动到点O处时，四边形BEPF的面积y有最大值2，设AC＝a.∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO＝BO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)a，AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(2),2)a，∵点O是AC的中点，EP∥BC，当点P运动到点O处时，EP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),4)a，同理PF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),4)a，∴S矩形BEPF＝EP·PF＝(eq\f(\r(2),4)a)2＝2，解得a＝4(负值已舍去)，∴AC＝4.7.A【解析】当点P在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当点P到达点B时，△AOP面积最大为3.∴eq\f(1,2)AB·eq\f(1,2)BC＝3，即AB·BC＝12.当点P在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当点P到达点C时，△AOP面积为0，此时结合图象可知点P运动路径长为7，∴AB＋BC＝7.则BC＝7－AB，代入AB·BC＝12，得AB2－7AB＋12＝0，解得AB＝4或3，∵AB<AD，即AB<BC，∴AB＝3，BC＝4.8.D【解析】如解图，连接AP，由题图②可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴eq\f(AP,BA)＝eq\f(PC,AC)，∴AP2＝AB·PC＝4(4－AP)，∴AP＝2eq\r(5)－2(负值已舍去)＝BP，∴t＝(4＋2eq\r(5)－2)÷1＝2eq\r(5)＋2.第8题解图9.C【解析】如解图，作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，连接NN′，PN′，MN，∵四边形ABCD为菱形，∴点N′在CD上，AC⊥BD，∴BD垂直平分NN′，∴PN＝PN′，NN′∥AC，∴PM＋PN＝PM＋PN′，∴当M，P，N′三点共线时，PM＋PN取最小值，最小值为MN′的长，在Rt△BCO中，BO＝BC·sin∠OCB＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，OC＝BC·cos∠OCB＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴BD＝2BO＝3eq\r(3)，AC＝2OC＝3，∵AM＝AN＝eq\f(1,3)AB＝1，∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(AN,AD)＝eq\f(1,3)，eq\f(DN,AD)＝eq\f(2,3)，∵∠MAN＝∠BAD，∴△AMN∽△ABD，∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,BD)＝eq\f(1,3)，即eq\f(MN,3\r(3))＝eq\f(1,3)，∴MN＝eq\r(3)，∵NN′∥AC，∴△DNN′∽△DAC，∴eq\f(DN,DA)＝eq\f(NN′,AC)＝eq\f(2,3)，即eq\f(NN′,3)＝eq\f(2,3)，∴NN′＝2，∵MN∥BD，NN′⊥BD，∴MN⊥NN′，即∠MNN′＝90°，∴在Rt△MNN′中，MN′＝eq\r(MN2＋NN′2)＝eq\r(（\r(3)）2＋22)＝eq\r(7)，∴PM＋PN的最小值为eq\r(7)，即a＝eq\r(7).第9题解图10.eq\f(7\r(3),2)【解析】如解图，过点A作AQ⊥BC于点Q，由题图②可知，当点P运动至点B时，AB＝AP＝8，当点P运动至点Q时，AB＋BQ＝12，当点P运动至点C时，AB＋BC＝15，∴BQ＝4，BC＝7.在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，∴AQ＝eq\r(AB2－BQ2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CG＝eq\f(1,2)BC·AQ，∴CG＝eq\f(BC·AQ,AB)＝eq\f(7×4\r(3),8)＝eq\f(7\r(3),2).第10题解图11.4【解析】由题图②得，若点P沿AC运动，则此时不能形成三角形ADP，三角形ADP的面积不存在，当点P在AB上运动时，S△ADP的面积随着点P的运动而增大，∵△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝AC，∠A＝60°，如解图，过点D作DH⊥AB于点H，则y＝eq\f(1,2)AP·DH＝eq\f(1,2)x·AD·sinA＝eq\f(1,2)x·AD·sin60°＝eq\f(\r(3),4)AD·x，由题图②可得，当点P在点B处，y取得最大值为2eq\r(3)，此时，x＝AB＝AC，∵AD＝eq\f(1,2)AC，∴eq\f(\r(3),4)×eq\f(1,2)(AC)2＝2eq\r(3)，解得AC＝4＝AB(负值已舍去).第11题解图问题二研究新函数1.解：(1)一，减小；【解法提示】当x≥1时，分段函数的解析式为y＝eq\f(2,x)(x≥1)，∴此时函数图象经过第一象限，且y随x的增大而减小．(2)1，eq\f(4,5)；函数图象如解图；第1题解图【解法提示】当x＝0时，∵0＜1，∴此时y＝|x|＋1＝1，当x＝eq\f(5,2)时，∵eq\f(5,2)＞1，∴此时y＝eq\f(2,x)＝eq\f(4,5).(3)①＞，＜；②x>2.2.解：(1)①补全该函数的图象如解图；第2题解图②根据图象以及周期性易知当t＝14时，s＝10；当s的值最大时，t＝7；(2)当0≤t≤7时，s随t的增大而增大；当7<t≤21时，s随t的增大而减小；当s的值最大时，t＝7；当s的值最小时，t＝21；变化周期是28(答案不唯一)；(3)观察发现，