2024河南中考数学复习 二次函数的对称性、增减性及最值 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习二次函数的对称性、增减性及最值强化精练1.已知抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0).(1)求抛物线的对称轴；(2)当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7，求t的值．【解题关键点】根据当t≤x≤t＋1时,抛物线的最小值为7判断出t与t＋1在抛物线对称轴的同侧是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1(a≠0)经过点(1，2m－4).(1)求a的值；(2)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；(3)点(－m，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)点M是抛物线上一点，且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标yM的取值范围；(3)若M(3n－4，y1)，N(5n＋6，y2)分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．第3题图【解题关键点】分类讨论点M(或点N)在对称轴左侧或点M(或点N)在对称轴右侧．4.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，OC＝OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若D(m，y1)，E(n，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)上两点(m＜n)，M为抛物线上点D和点E之间的动点(含点D，E)，点M的纵坐标的取值范围为－eq\f(9,4)≤yM≤3，求m＋n的值．第4题图参考答案与解析1.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0)，∴(－1)2－b－5＝0，解得b＝－4，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5，∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(－4,2×1)＝2；(2)将x＝2代入抛物线y＝x2－4x－5中，得y＝22－4×2－5＝－9，∵当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7,∴t与t＋1在对称轴同侧，①当t＜t＋1＜2时，即t＜1，抛物线在t＋1处取得最小值，将x＝t＋1，代入y＝x2－4x－5中，得7＝(t＋1)2－4(t＋1)－5，解得t＝5(舍)或t＝－3，②当2＜t＜t＋1时，t＞2，∴在t处取得最小值，代入y＝x2－4x－5中，得7＝t2－4t－5，解得t＝6或t＝－2(舍)，综上所述，t的值为－3或6.2.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1经过点(1，2m－4)，∴a＋(2m－6)＋1＝2m－4，解得a＝1；(2)∵a＝1，∴y＝x2＋(2m－6)x＋1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(2m－6,2×1)＝3－m；(3)当m＞0时，可知－m<m<m＋2，∵y2＜y3≤y1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m＜\f(m＋m＋2,2),3－m≥\f(－m＋m＋2,2)))，解得1＜m≤2；当m≤0时，∴m≤－m＜3－m，即(－m，y1)，(m，y2)皆在对称轴左侧，∴y2≥y1，不合题意，综上，m的取值范围是1＜m≤2.3.解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－b＋c＝0,－9＋3b＋c＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝3))，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴y＝－(x－1)2＋4,∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；(2)∵点M到y轴的距离小于4，∴－4＜x＜4，∵－1＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线的开口向下，∴当x＝1时，抛物线y＝－x2＋2x＋3取得最大值，最大值为4；当x＝－4时，y＝－21；当x＝4时，y＝－5，∴点M的纵坐标yM的取值范围是－21＜yM≤4；(3)0＜n＜eq\f(5,3).【解法提示】当点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－4＜1,5n＋6＞1))，解得－1＜n＜eq\f(5,3)，∵y1＞y2，∴1－(3n－4)＜5n＋6－1，解得n＞0，∴0＜n＜eq\f(5,3)；当点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－4＞1,5n＋6＜1))，该不等式组无解．综上所述，n的取值范围为0＜n＜eq\f(5,3).4.解：(1)∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，3)，∵OC＝OB，∴B(－3，0)，将点B(－3，0)，A(1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a－3b＋3＝0,a＋b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2))，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)∵点M纵坐标的取值范围为－eq\f(9,4)≤yM≤3，∴将y＝－eq\f(9,4)代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝－eq\f(9,4)，解得x1＝－eq\f(7,2)，x2＝eq\f(3,2)，得点(－eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，－eq\f(9,4))，将y＝3代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝3，解得x3＝－2，x4＝0，得点(－2，3)，(0，3)，如解图①，∵m＜n，－eq\f(9,4)≤yM≤3，∴m＝0，n＝eq\f(3,2)，∴m＋n＝0＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)，如解图②，∵m＜n，－eq\f(9,4)