山东省青岛市平度市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

2022－2023学年度第二学期第二学段模块检测高二数学试题2023.07本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.【详解】由得，则；当时，，所以；所以.故选：.2.已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别验证必要性与充分性即可得到结果.【详解】若，则，可得，反之，若，则可能为负数，推不出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C3.将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（）A.90种 B.150种 C.180种 D.250种【答案】B【解析】【分析】由题意可知将书可以分成1，2，2和1，1，3两种，然后分配给3人，再利用分类加法原理可求得结果.【详解】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种，①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有种分法，②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有种分法，所以由分类加法原理可知共有种分法，故选：B4.已知函数，则（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】先求出，再求的值即可.【详解】因为，所以，所以，故选：D5.若的展开式中常数项是10，则m＝（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由，利用的展开式的通项公式，分别求得和的常数项求解.【详解】解：，的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；令，解得，则的展开式的常数项为，因为的展开式中常数项是10，所以，解得，故选：D6.已知函数，则（）A.是奇函数，且在是增函数 B.是偶函数，且在是增函数C.是奇函数，且在是减函数 D.是偶函数，且在是减函数【答案】A【解析】【分析】由奇偶性定义可知为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数.【详解】由得：或，的定义域为；，是奇函数；，在上单调递增，在上单调递增，由复合函数单调性可知：在上是增函数.故选：A.7.已知正实数满足，则的最小值为（）A. B.16 C. D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】正实数满足，可得，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以的最小值为.故选：B.8.定义在R上的函数满足，且时，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，构造函数，利用其单调性求解.【详解】因为，令，则，所以在上递增，所以，所以，所以，故C错误；，因为定义在R上的函数满足，所以函数是奇函数，所以，即，故A正确；，即，B错误；，，D错误，故选：A二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知实数，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由指数函数的单调性即可判断A，令即可判断B，由不等式的性质即可判断CD.【详解】对于A，因为，由函数在上单调递减可知，，故正确；对于B，令，满足，则，所以不成立，故错误；对于C，因为，则，所以，故正确；对于D，因为，所以，即，所以，故错误；故选：AC10.已知函数，则（）A.的单调递增区间是B.在处取得极大值C.在点处的切线方程为D.若，则函数有两个零点【答案】BC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误；由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C;由方程的交点，可判断选项D的正误.【详解】由题意，，令，得，当时，，单调递增；当时，，取得极大值；当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确；在点处的切线斜率，所以切线方程为：，即，故选项C正确；当时，,当时，取得最大值；当时，,所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点，故选项D错误.故选：BC11.已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（）A.为偶函数 B.C.为极大值点 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数，且关于中心对称和对称，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由为奇函数，可得函数关于中心对称，即，又由为偶函数，可得关于对称，即，所以A不正确；因为且，令，可得，所以B正确；由时，，可得函数单调递增，因为关于对称，可得函数在单调递减，所以为的极大值点，所以C正确；由函数关于中心对称，可得，所以，因为且，可得，所以，所以函数是以项为周期的周期函数，可得，所以，所以，所以D正确.故选：BCD.12.设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据条件概率和全概率公式求解.【详解】对A，,A正确；对B，根据全概率公式可得，,B错误；对C，,C正确；对D，,,D正确；故选:ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量X服从正态分布，且，则______．【答案】0.68【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可.【详解】随机变量X服从正态分布，，.故答案为：0.6814.有3台机床加工统一型号的零件，加工的次品率分别为0.1，0.2，0.15，加工出来的零件混放在一起，3台机床加工的零件分别占总数的45%，25%，30%，则任取一个零件为次品的概率为______.【答案】0.14【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】记零件为三个机床加工的事件分别为，零件为次品的事件为，则，，所以故答案为：0.14.15.已知集合，，若，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】因式分解求二次不等式可得，再根据二次函数的值域可得，进而根据求解即可.【详解】，，又，则，即.故答案为：16.过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围.【详解】当时，，，当时，，，且，设两切点横坐标分别为，，且，因切线相互垂直，故，故，故两切点分别为，，切线方程分别为：，，即，，由题意为两切线的交点，故，，所以，得由得，即，故因，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为．（1）预测当A指标数为52时，B指标数估计值．（2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）．附：参考数据：．相关系数．【答案】（1）B指标数的估计值为103（2）0.88，y与x具有较强的线性相关关系【解析】【分析】（1）把代入求解即可；（2）由求得，再根据相关系数公式即可求解，从而可以判断y与x具有较强的线性相关关系.【小问1详解】当时，，当A指标数为52时，B指标数的估计值为103.【小问2详解】因为，所以，所以相关系数，因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系.18.已知函数在处有极值．（1）求的极值；（2）若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为（2）【解析】【分析】（1）利用导函数讨论单调性和极值；（2）利用函数的极值和函数的图象性质求解.【小问1详解】由条件知，得所以随x变化情况如下表：01＋0－0＋递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，极小值为.【小问2详解】因为，所以函数在区间上有三个零点，只需,所以.19.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者，部分统计数据如下表：疗法疗效合计未治愈治愈甲4860乙18合计100（1）请将上表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？附：，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，从这10人中选取3人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）表格见解析，疗法与疗效有关联（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题干数据完善列联表，计算与临界值比较得出结论；（2）分层抽样可知治愈的人数为，未治愈的人数为，确定随机变量的X的所以取值，再求出对应的概率，即可写出分布列，代入数学期望公式求解即可.【小问1详解】列联表补充完整如下：疗法疗效合计未治愈治愈甲481260乙221840合计7030100零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法没有差异；根据列联表中数据，经计算得到：，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为疗法与疗效有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01；【小问2详解】按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，其中治愈的人数为，未治愈的人数为，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为：X0123P.20.已知函数．（1）若在上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数在上存在零点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求导列出不等式，即可得到结果；（2）根据题意，分,,与讨论，即可得到结果.【小问1详解】由题得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以.【小问2详解】因，则，注意到：，，若，则，所以在上单调递增，所以，在上不存在零点，若，则，所以在上单调递减，所以，在上不存在零点，若，显然，在上不存在零点，若，显然存在，使得，且在上单调递增，注意到：，，所以在上小于零，在上大于零，所以在上单调递减，在上单调递增，注意到：，，且，所以存在唯一使得，综上，所以.【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题，难度较难，解答本题的关键在于，，然后分的范围进行讨论，即可得到结果.21.某种电子玩具启动后，屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯，在玩具启动前，用户可对P（0＜P＜1）赋值，且在第一次亮灯时，亮起绿灯的概率为P，亮起红灯的概率为1－P，随后若第n次亮起的是绿灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为，若第n次亮起的是红灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．（1）若输入，该玩具启动后，记前3次亮灯中亮绿灯的次数为X，求X的分布列与期望；（2）在玩具启动后，若某次亮灯为绿灯，且亮绿灯的概率在区间内，则玩具会自动播放歌曲，否则不播放，现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？【答案】（1）分布列见解析，期望为（2）5次【解析】【分析】（1）根据题意直接列出随机变量X的分布列，进而求出期望；（2）设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，然后根据数列知识构造等比数列求出，然后利用列出不等式并解出不等式，从而得解.【小问1详解】由题意知X的可能取值为0，1，2，3，；；；；所以X的分布列为：X0123P所以，.【小问2详解】设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，所以，所以是公比为，首项为的等比数列，所以，即，由得n为奇数且n＞9，又因为n≤20，所以n＝11，13，15，17，19，所以在前20次亮灯中，最多唱5次歌.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后分，，和四种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）要证，只需证，而，所以换元后构造函数，然后利用导数求其最大值小于等于即可.【小问1详解】由，得①时，，当，当，所以增区间为，减区间为，