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文档简介
2022-2023学年度第二学期第二学段模块检测高二数学试题2023.07本试卷共6页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,请将答题卡上交.一、单项选择题:本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设全集,集合,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数定义域求法可求得集合;根据指数函数值域求法可求得集合;根据交集定义可得结果.【详解】由得,则;当时,,所以;所以.故选:.2.已知a,b为实数,则“”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意,分别验证必要性与充分性即可得到结果.【详解】若,则,可得,反之,若,则可能为负数,推不出,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:C3.将五本不同的书全部分给甲,乙,丙三人,要求每人至少分得一本,则不同的分法有()A.90种 B.150种 C.180种 D.250种【答案】B【解析】【分析】由题意可知将书可以分成1,2,2和1,1,3两种,然后分配给3人,再利用分类加法原理可求得结果.【详解】由题意可知将5本书可以分成1,2,2和1,1,3两种,①若将书分成1,2,2三组,再分配给3人,则有种分法,②若将书分成1,1,3三组,再分配给3人,则有种分法,所以由分类加法原理可知共有种分法,故选:B4.已知函数,则()A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】先求出,再求的值即可.【详解】因为,所以,所以,故选:D5.若的展开式中常数项是10,则m=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由,利用的展开式的通项公式,分别求得和的常数项求解.【详解】解:,的展开式的通项公式为,令,解得,则的展开式的常数项为;令,解得,则的展开式的常数项为,因为的展开式中常数项是10,所以,解得,故选:D6.已知函数,则()A.是奇函数,且在是增函数 B.是偶函数,且在是增函数C.是奇函数,且在是减函数 D.是偶函数,且在是减函数【答案】A【解析】【分析】由奇偶性定义可知为奇函数;利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数.【详解】由得:或,的定义域为;,是奇函数;,在上单调递增,在上单调递增,由复合函数单调性可知:在上是增函数.故选:A.7.已知正实数满足,则的最小值为()A. B.16 C. D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】正实数满足,可得,当且仅当时,等号成立,即,解得,所以的最小值为.故选:B.8.定义在R上的函数满足,且时,,则()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由,构造函数,利用其单调性求解.【详解】因为,令,则,所以在上递增,所以,所以,所以,故C错误;,因为定义在R上的函数满足,所以函数是奇函数,所以,即,故A正确;,即,B错误;,,D错误,故选:A二、多项选择题:本大题共4小题.每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.已知实数,则下列结论正确的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意,由指数函数的单调性即可判断A,令即可判断B,由不等式的性质即可判断CD.【详解】对于A,因为,由函数在上单调递减可知,,故正确;对于B,令,满足,则,所以不成立,故错误;对于C,因为,则,所以,故正确;对于D,因为,所以,即,所以,故错误;故选:AC10.已知函数,则()A.的单调递增区间是B.在处取得极大值C.在点处的切线方程为D.若,则函数有两个零点【答案】BC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性和极值,可判断选项A、B的正误;由导数的几何意义可求在点处的切线方程,可判断选项C;由方程的交点,可判断选项D的正误.【详解】由题意,,令,得,当时,,单调递增;当时,,取得极大值;当时,,单调递减;故选项A错误,选项B正确;在点处的切线斜率,所以切线方程为:,即,故选项C正确;当时,,当时,取得最大值;当时,,所以当,方程有两个交点,则函数有两个零点,故选项D错误.故选:BC11.已知连续函数的定义域为R,且满足为奇函数,为偶函数,,当时,,则()A.为偶函数 B.C.为极大值点 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数,且关于中心对称和对称,结合选项,逐项判定,即可求解.【详解】由为奇函数,可得函数关于中心对称,即,又由为偶函数,可得关于对称,即,所以A不正确;因为且,令,可得,所以B正确;由时,,可得函数单调递增,因为关于对称,可得函数在单调递减,所以为的极大值点,所以C正确;由函数关于中心对称,可得,所以,因为且,可得,所以,所以函数是以项为周期的周期函数,可得,所以,所以,所以D正确.故选:BCD.12.设A,B为同一随机试验的两个随机事件,若,则()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据条件概率和全概率公式求解.【详解】对A,,A正确;对B,根据全概率公式可得,,B错误;对C,,C正确;对D,,,D正确;故选:ACD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知随机变量X服从正态分布,且,则______.【答案】0.68【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可.【详解】随机变量X服从正态分布,,.故答案为:0.6814.有3台机床加工统一型号的零件,加工的次品率分别为0.1,0.2,0.15,加工出来的零件混放在一起,3台机床加工的零件分别占总数的45%,25%,30%,则任取一个零件为次品的概率为______.【答案】0.14【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】记零件为三个机床加工的事件分别为,零件为次品的事件为,则,,所以故答案为:0.14.15.已知集合,,若,则m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】因式分解求二次不等式可得,再根据二次函数的值域可得,进而根据求解即可.【详解】,,又,则,即.故答案为:16.过点可以作函数两条互相垂直的切线,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先把函数转化为分段函数,由切线相互垂直转化为斜率之积为,得到两切点的范围,,且,根据在两切线上可用表示出,结合的范围可求的取值范围.【详解】当时,,,当时,,,且,设两切点横坐标分别为,,且,因切线相互垂直,故,故,故两切点分别为,,切线方程分别为:,,即,,由题意为两切线的交点,故,,所以,得由得,即,故因,所以,当且仅当,即时等号成立,所以,故答案为:【点睛】关键点睛:本题的关键是设出切点横坐标为,再写出切线方程,再解出切线方程的交点横坐标,根据切线斜率乘积为得,化简得,再利用基本不等式即可得到的范围.四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.近年来,各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展,为人们出行提供了便利,但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在某地的发展情况,某调查机构从该地抽取了6个城市,分别收集和分析了网约车的A,B两项指标数x,y,经过统计分析,它们满足最小二乘法,且y关于x的经验回归方程为.(1)预测当A指标数为52时,B指标数估计值.(2)试求y与x之间的相关系数r,并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若,则线性相关程度较强).附:参考数据:.相关系数.【答案】(1)B指标数的估计值为103(2)0.88,y与x具有较强的线性相关关系【解析】【分析】(1)把代入求解即可;(2)由求得,再根据相关系数公式即可求解,从而可以判断y与x具有较强的线性相关关系.【小问1详解】当时,,当A指标数为52时,B指标数的估计值为103.【小问2详解】因为,所以,所以相关系数,因为r>0.75,所以y与x具有较强的线性相关关系.18.已知函数在处有极值.(1)求的极值;(2)若在区间上有三个零点,求实数b的取值范围.【答案】(1)极大值为,极小值为(2)【解析】【分析】(1)利用导函数讨论单调性和极值;(2)利用函数的极值和函数的图象性质求解.【小问1详解】由条件知,得所以随x变化情况如下表:01+0-0+递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为,极小值为.【小问2详解】因为,所以函数在区间上有三个零点,只需,所以.19.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良,为了检验甲、乙两种疗法的效果差异,采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者,部分统计数据如下表:疗法疗效合计未治愈治愈甲4860乙18合计100(1)请将上表补充完整,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析疗法与疗效是否有关联?附:,其中n=a+b+c+d.临界值表:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名,从这10人中选取3人参加免费体检,设免费体检者中治愈的人数为X,求X的分布列与数学期望.【答案】(1)表格见解析,疗法与疗效有关联(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)根据题干数据完善列联表,计算与临界值比较得出结论;(2)分层抽样可知治愈的人数为,未治愈的人数为,确定随机变量的X的所以取值,再求出对应的概率,即可写出分布列,代入数学期望公式求解即可.【小问1详解】列联表补充完整如下:疗法疗效合计未治愈治愈甲481260乙221840合计7030100零假设为:疗法与疗效独立,即两种疗法没有差异;根据列联表中数据,经计算得到:,依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为疗法与疗效有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01;【小问2详解】按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名,其中治愈的人数为,未治愈的人数为,X的可能取值为0,1,2,3,,,,,所以X的分布列为:X0123P.20.已知函数.(1)若在上单调递增,求a的取值范围;(2)若函数在上存在零点,求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意,求导列出不等式,即可得到结果;(2)根据题意,分,,与讨论,即可得到结果.【小问1详解】由题得,因为在上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,因为,所以.【小问2详解】因,则,注意到:,,若,则,所以在上单调递增,所以,在上不存在零点,若,则,所以在上单调递减,所以,在上不存在零点,若,显然,在上不存在零点,若,显然存在,使得,且在上单调递增,注意到:,,所以在上小于零,在上大于零,所以在上单调递减,在上单调递增,注意到:,,且,所以存在唯一使得,综上,所以.【点睛】关键点睛:本题主要考查了利用导数研究函数零点问题,难度较难,解答本题的关键在于,,然后分的范围进行讨论,即可得到结果.21.某种电子玩具启动后,屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯,在玩具启动前,用户可对P(0<P<1)赋值,且在第一次亮灯时,亮起绿灯的概率为P,亮起红灯的概率为1-P,随后若第n次亮起的是绿灯,则第n+1次亮起红灯的概率为,亮起绿灯的概率为,若第n次亮起的是红灯,则第n+1次亮起红灯的概率为,亮起绿灯的概率为.(1)若输入,该玩具启动后,记前3次亮灯中亮绿灯的次数为X,求X的分布列与期望;(2)在玩具启动后,若某次亮灯为绿灯,且亮绿灯的概率在区间内,则玩具会自动播放歌曲,否则不播放,现输入,则在前20次亮灯中,该玩具最多唱几次歌?【答案】(1)分布列见解析,期望为(2)5次【解析】【分析】(1)根据题意直接列出随机变量X的分布列,进而求出期望;(2)设第n次亮灯时,亮绿灯的概率为,则,然后根据数列知识构造等比数列求出,然后利用列出不等式并解出不等式,从而得解.【小问1详解】由题意知X的可能取值为0,1,2,3,;;;;所以X的分布列为:X0123P所以,.【小问2详解】设第n次亮灯时,亮绿灯的概率为,则,所以,所以是公比为,首项为的等比数列,所以,即,由得n为奇数且n>9,又因为n≤20,所以n=11,13,15,17,19,所以在前20次亮灯中,最多唱5次歌.22.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,证明:当时,.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后分,,和四种情况讨论导数的正负,从而可求出函数的单调区间;(2)要证,只需证,而,所以换元后构造函数,然后利用导数求其最大值小于等于即可.【小问1详解】由,得①时,,当,当,所以增区间为,减区间为,
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