2021-2022学年江苏省连云港市灌南某中学高二（上）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年江苏省连云港市灌南高级中学高二(上)期中数

学试卷

i.两数在+1与/一1的等比中项是()

A.1B.—1C.—1或1D.2

2.已知直线/的斜率为k,倾斜角为a,若45°<a<135。，则火的取值范围为()

A.(-1,1)B.(-0°,-1)U(1,4-oo)

C.[—1,1]D.(—oo,—l]U[1,+oo)

3.在等差数列｛即｝中，已知即=2,a3=8,则(14+(15+等于()

A.40B.42C.43D.45

4.圆心为B(2,-3),且经过点4(5,-7)的圆的标准方程为()

A.(x—2)2+(y+3)2=5B.(x+2)2+(y-3)2=5

C.(x-2)2+(y+3)2=25D.(%+2)2+(y-3)2=25

5.在等差数列｛an｝中，a2、是方程%2-3%—4=0的两根，则的值为()

A.2B.3C.±2D.|

6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点4(1,m)到其焦点的距离为3,则m=()

A.±V2B.±2V2C.±2D.±4

7.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为()

A注+g=1B史+火=1

9162516

C.卷+*=1或经+经=1D.以上都不对

251616Z5

8.已知圆G：/+y2+4ax+4a2—4=。和圆C2：%2+y2—2by4-b2—1=0只有一条公

切线，若a,匕6/?且必力0,则以+会的最小值为()

A.2B.4C.8D.9

9.如果4-C<0,且B-C<0,那么直线4x+By+C=0通过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.已知%为等差数列｛an｝的前〃项和，a3+S5=-18,a6=一。3，则()

22

A.an=2n—9B.an=2n—7C.Sn=n—8nD.Sn=n—6n

11.设数列｛an｝的前"项和为L，下列命题正确的是()

A.若｛即｝为等差数列，贝l"n，S2n-Sn,S3n—S2rt仍为等差数列

B.若｛0｝为等比数列，则Sn，S2n-Sn>S3n—S2n仍为等比数列

C.若｛an｝为等差数列，则｛。即｝缶为正常数)为等比数列

D.若｛册｝为等比数列，贝式但0｝为等差数列

12.已知曲线f=mQ2—a2),其中机为非零常数且a>0,则下列结论中正确的有()

A.当m=—1时，曲线C是一个圆

B.当巾=一2时，曲线C的离心率为孝

C.当m=2时，曲线C的渐近线方程为y=±孝x

D.当m>-1且?nH0时，曲线C的焦点坐标分别为(-a，l+?n,0)和(a，l+0)

13.已知直线/的倾斜角是135。.且过点(2,-5),则直线/在y轴上的截距是.

14.数列3｝满足%=2,On-Qn_i=3，则%=.

15.两等差数列｛即｝和｛%｝，前"项和分别为Sn，Tn,且,=篝，则等翳=____.

16.已知椭圆C：3+[=1的左、右焦点分别为片，尸2,M为椭圆C上任意一点，N为圆E：

(X-4>+(y—3产=1上任意一点，贝—|Ma|的最小值为.

17.已知A4BC的顶点坐标为4(-3,9)、8(2,2)、C(5,3).

(1)求AC边的长；

(2)求AC边上的中线所在直线的方程；

(3)求A/IBC的面积.

18.已知数列SKneN*)是公差不为0的等差数列，的=1,且微，高，嵩成等比数列.

(团)求数列｛即｝的通项公式；

(回)设数列的前〃项和为乙,求证：7；<1.

研41+1

19.已知以点4(-1,2)为圆心的圆与,过点8(—2,0)的动直线/与圆4相交于M,N两点、

从①直线x+2y+7=0相切；②圆(尤-3)2+y2=20关于直线2尤-y-1=0对称；③圆

(x-3)2+(y-2>=5的公切线长VTT这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并

回答下列问题.

(1)求圆4的方程；

(2)当|MN|=2内时，求直线/的方程.

20.已知等比数列｛a列的前〃项和为%,且%是％与2的等差中项,等差数列｛%｝中，瓦=2,

点P(bn,bn+1｝在一次函数y=%+2的图象上.

(1)求数列｛%｝,｛%｝的通项必和叶；

(2)设c”=an-bn,求数列｛7｝的前n项和7；.

21.已知椭圆C；各*l(a>b〉0)长轴长为4,且椭圆C的离心率苧.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率为1的直线/与椭圆C交于尸，。两点，。为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐

标轴原点，求直线/的方程.

22.在平面直角坐标系，中，己知椭圆C：9+y2=i.

(1)设椭圆C的左、右焦点分别为%，F2,7是椭圆C上的一个动点，求耐•成的取值范围；

(2)设4(0,-1),与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于8,。两点，若AABD是以A为直角顶

点的等腰直角三角形，求直线/的方程.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：设企+1与夜一1的等比中项是X,

则满足/=(V2+1)(72-1)=(V2)2-l=2-l,

则X=1或X=-1,

故选：C.

根据等比数列等比中项的公式进行求解即可.

本题主要考查等比中项的求解，比较基础.

2.【答案】B

【解析】解：由直线/的斜率为鼠倾斜角为a,若45°<a<135。，

则％的取值范围为k>tan45°=1,或k<tanl35°=-1,

•••k的取值范围为(—8,—I)U(1,+8),

故选：B.

利用斜率与倾斜角的关系、正切函数的单调性即可得出.

本题考查了斜率与倾斜角的关系、正切函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设等差数列｛an｝的公差为d,

由。3=。1+24,得8=2+2d,解得d=3,

所以+。6=3as=3(即+4d)=3x14=42.

故选：B.

设等差数列｛a*｝的公差为d,利用(I3=a1+2d可求出d值,最后根利用4+a5+a6=3a5=3(%+

4d)进行求解即可.

本题主要考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题可得圆的半径r=\AB\=J(2-5尸+(―3+7尸=5,

则圆的标准方程为:(x-2y+(y+3]=25,

故选：C.

由题可得圆的半径r=|4引，根据圆的标准方程即可求得答案.

本题考查圆的标准方程的求解，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：等差数列｛aj中，。2、是方程/一3刀一4=0的两根，

所以。2+。4=3,

所以CI3=g(d2+CI4)=

故选：D.

由一元二次方程根与系数的关系和等差数列中项的性质，即可求出的值.

本题考查了等差数列中项的性质以及一元二次方程根与系数的关系应用问题，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：因为抛物线方程为y2=2Px(p>0),

所以其准线方程为x=-导

因为抛物线y2=2Px(p>0)的上一点到其焦点的距离为3,

所以1+3=3,

所以p-4.m2-8.解答m—+2^2,

故选：B.

根据抛物线的定义得到1+与=3,求出p即可，把点4(1,rn)代入抛物线方程即可求解.

本题考查抛物线的定义，常利用该定义解决抛物线上到焦点的距离问题，是基础题.

7.【答案】C

【解析】解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为〃和江

则2(a+b)=18,即a+b=9①，

由焦距为6,得到c=3,则a?-炉=c2=9②，

由①得到a=9-b③,把③代入②得：

(9-b)2-b2=9,化简得：81-18b=9,解得b=4,把b=4代入①，解得a=5,

所以椭圆的方程为：叁+*=1或经+哈=L

25161625

故选：C.

设出椭圆的长半轴与短半轴分别为。和6,根据长轴与短轴的和为18列出关于“与6的方程记作

①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质42-加=c2,把c的值代入即可得到关于a

与6的另一关系式记作②，将①②联立即可求出。和b的值，然后利用。与6的值写出椭圆的方

程即可.

此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道

综合题.学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到

4a2+/=1是解题的关键和难点，属于基础题.

由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得4a2+炉=1,再利用“1”

的代换，使用基本不等式求得3+当的最小值.

Kh

【解答】

解：由题意可得两圆相内切，

两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-h)2=1,

圆心分别为(一2a,0),(0,b),

半径分别为2和1,故有44a2+炉=1,

4a2+b2=1,

,今+a=©+~2)(4a2+。2)=5+%+%25+4=9,

当且仅当马=警时，等号成立，

Kb

.弓+会的最小值为9.

故选：D.

9.【答案】ABD

【解析】解：:直线Ax+By+C=0,即丁=-《％-「，

DD

故它的斜率为在y轴上的截距为Y，

D■D

由4-C<0,SLB-C<0,可得A、B同号，B、C异号,

-^<o,_2>o,故直线经过第一、二、四象限，

DD

故选：ABD.

把直线的方程化为斜截式，求出斜率和它在y轴上的截距，根据斜率和它在y轴上的截距的符号，

得出结论.

本题主要考查确定直线位置关系的几何要素，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.

【解答】

解：设等差数列｛an｝的公差为d,•••。3+55=-18,a6=-a3,

5x4

**•a1+2d+5al4—~d=-18,%+5d=—+2d),

解得由=-7,d=2.

an=-7+2(n—1)=2n—9,

Sn=M-7/n-9)=/一8ri,

故选:AC.

11.【答案】AC

【解析】解：对于选项4设等差数列｛册｝的首项为由,公差为d,则1=%+&2+…+即，

S2n-Sn=Qn+i+an+2H---\-a2n=%+nd+g+nd-\---Fan+nd=Sn+n1d,同理：

aa2

S3n—S2n=2n+l+2n+2+…+j3九=S2n—Sn+nd,所以2(S2n—Sn)=+(S3n—S2n)9

所以%,S2n-5n，S3rl—S2rl仍为等差数列，故A正确；

对于选项&取数列｛an｝为：一1,1,一1,1,…，其中无可能为0,

因此Sn,S2n—Sn,S3n—S2n不能成等比数列，故3不正确；

对于选项C:设等差数列｛即｝的公差为d,则即+1-即=心于是，^-=a«n+1-an=ad,

所以也即｝俗为正常数)为等比数列，故C正确；

对于选项。取数列｛&J为：一1,1,-1,1,…，则炮即可能无意义，

所以｛也即｝为等差数列是不正确的，故。不正确.

故选：AC.

通过数列的前"项和公式推出2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-Szn)，进而判断选项A的正误；

通过取反例说明选项B是错误的如取数列｛斯｝为：-1,1,-1,1,其中Sn可能为0；

根据等差数列和等比数列的定义即可判断C项的正误；取数列｛an｝为：-1,1,一1,1,…，贝Ijlgan

可能无意义，

进而判断。项的正误.

本题考查等差数列和等比数列及其前“项和，考查学生的逻推理能力，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查曲线与方程，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

在已知，曲线方程中分别取巾=-1、-2、2,化简切线方程判断ABC；对机分类变形，求出焦点

坐标判断D

【解答】

解：当zn=-l时，曲线y2=一。2)化为/+丫2=>0),是一个圆，故A正确；

22F)

当m=-2时，曲线化为%+金=1,表示焦点在y轴上的椭圆，离心率为忌=苧，故8正确；

当巾=2时，曲线化为接-弓=1,表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为丫=士学x=±V2x,

故C错误；

当—1<m<0时，曲线化为+H--~~2=1,

aL—ma£

表示焦点在x轴上的椭圆，c=Va2+ma2=aVl+m,

焦点坐标为(一a41+m,0)和(CM/1+nt,0)；

当?n>0时，曲线化为与一上万=1,表示焦点在x轴上的双曲线，c=da2+ma?=周\+m,

ma£

焦点坐标为(-a,1+m,0)和(ajl+m,0).

综上所述，当m>-1且m00时，曲线C的焦点坐标分别为(-a"+m,0)和(all+m,0),故。

正确.

故选：ABD.

13.【答案】-3

【解析】解：设直线的表达式为y=kx+b,

••・直线的倾斜角为135。，

•••直线的斜率k=tan135°=-1,

又•••直线过点(2,-5),

•••-5=-2+b,即b=-3,

■■y=-x—3,

故答案为：—3.

现根据倾斜角求出斜率卜=-1,又过点(2,-5),即可求出结果.

本题主要考查了直线方程的求解，属于基础试题.

14.【答案】1-(1)n

【解析】解：,数列｛斯｝满足的=2,an-an_i=算，

••,an=(an-an-l)+(an-l一an-2)---^(@2-al)+al

111

H----y+2

/+产+22

期.3

+2

=>(护

故答案为|-©)n.

利用“累力口求和”和等比数列的前"项和公式即可得出.

本题考查了“累加求和”和等比数列的前〃项和公式，属于中档题.

15.【答案】爰

24

【解析】解：在｛an｝为等差数列中，当?n+九=p+q(m,珥p,qEN+)时，am-[-an=ap+aq.

所以。2+。20_21x(ai+a2i)x」_包，

匕7+比521x(b1+b2i)x|721'

又因为某=笔，

Tnn+3

所以詈引=移

匕7+。1524

故答案为：

在｛31｝为等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,qWN+)时，+an=即+%.所以结合此性质可

得：詈辞=也竺出盟=科，再根据题意得到答案.

匕7+比521、(％+匕21国r21

本题主要考查等差数列的性质，即在｛an｝为等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,qeN+)时，am+

an=ap+aq,此题属于基础题型•

16.【答案】3V2-5

【解析】解：如图，

M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(%-4产+(y-3)2=1上任意一点，

则|M&|+\MF2\=4,\MN\>\ME\-1(当且仅当M、N、E共线时取等号),

•••|MW|-IMF/=\MN\-(4-|MF2|)=\MN\+\MF2\-4>\ME\+\MF2\-5>\EF2\-5,

VF2(l,0),E(4,3),则IEF2I=J(4-1)2+(3—0)2=3VL

二|MN|-IMF/的最小值为3近-5.

故答案为：3企一5.

由题意画出图形,利用三角形两边之差小于第三边及椭圆定义转化，再由两点间的距离公式求解.

本题考查椭圆的几何性质，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)A4BC的顶点坐标为4(-3,9)、B(2,2)、C(5,3),

则AC=J(5+3尸+(3-9(=10；

(2)4C的中点M的坐标为(1,6),

所以AC边中线所在直线的方程为y-2=岩(％-2),

即4%+y—10=0；

(3)由题意可得，直线AC的方程为y-9=言3。+3),即3x+4y-27=0,

所以点B到直线AC的距离为h=Mx?g七27|=U

即5

则小ABC的面积为S=1x/lCxh=|xl0xy=13.

【解析】本题考查了直线方程的求解与应用，两点间距离公式、点到直线的距离公式的应用，中

点坐标公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

(1)利用两点间距离公式求解即可；

(2)求出AC的中点M的坐标，再求解方程即可；

(3)求出直线AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，由三角形的面积公式求解即

可.

18.【答案】解：(团)设｛即｝的公差为d.

因为〜A勰等比数列，所以。,与高

即(儡/=六1

出+7〃

2

化简得（即+3d）=（%+d）•（即+7d）,即d2=a1d.

又%=1,且dH0,解得d=1.

所以有an=%+（九一l）d=n.

⑻由⑻得：念？=心1___1_

n-n+l

所以7n=++…+：一击=1一系<1.

因此，7；<1.

【解析】(团)利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；

(团)利用(团)的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可.

本题考查了等差数列和等比数列性质、通项公式求法以及裂项求和的方法；求出通项公式正确裂

项求和是关键.

19.【答案】解：选①、

(1)由直线与圆相切知圆4的半径为点A到直线x+2y+7=0的距离，

即丁=匕雪1=2追，

V5

・••圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20；

(2)记线段MN的中点为。，依据AM=4N可得4Q1MN,

且|4M|=2遍，\MQ\=V19,则|AQ|=J|4M|2-|MQ|2=1,

即点A到直线/的距离为1,

若直线/的斜率存在，设为上直线/：y=k(x+2),即+2k=0,

,!/二2±2也=1,解得出二弓，直线/的方程为3x-4y+6=0.

庖4

若直线/的斜率不存在，直线/的方程为工=-2,符合题意.

综上直线/的方程为3x—4y+6=0或x=-2.

选②、

:与圆(x-3)2+y2=20关于直线2x—y—1=0对称知圆A的半径r=2遍,

・••圆A的方程为(x++⑶-2)2=20.

(2)记线段MN的中点为Q,依据=AN可得4Q1MN,

且14Ml=2V5,\MQ\=V19,贝iJ|AQ|=J\AM\2-\MQ\2=1,

即点A到直线/的距离为1,

若直线/的斜率存在，设为匕直线/：y=k(x+2),即kx-y+2k=0,

/12+2k|=i,解得卜=3直线/的方程为亚-4y+6=0.

庖4

若直线/的斜率不存在，直线/的方程为％=-2,符合题意.

综上直线I的方程为3x-4y+6=0或x=-2.

选③、

(1)与圆。-3)2+(y-2尸=5的公切线长3,设圆A的半径为r,

则(r—V5)2+11=42+02,解得r=2>/5

.,•圆A的方程为(x+I)2+(y-2产=20.

(2)记线段MN的中点为Q,依据AM=4N可得4Q1MN,

且14Ml=2V5,\MQ\=V19,则|4Q|=yJ\AM\2-\MQ\2=1,

即点A到直线/的距离为1,

若直线/的斜率存在，设为七直线/：y=k(x+2),GPfcx-y+2fc=0,

...|-k-2+2k|=],解得/£=:,直线/的方程为3x-4y+6=0.

庖4

若直线/的斜率不存在，直线/的方程为“=-2,符合题意.

综上直线/的方程为3x—4y+6=0或x=—2.

【解析】(1)选①、②、③，由已知求出圆A的半径，则圆A的方程可求；

(2)由已知弦长求出点A到直线/的距离，然后分直线的斜率存在与不存在结合点到直线的距离公

式求解.

本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)由2斯=Sn+2得：2%=Si+2；即2al=%+2,解得%=2.

同理可得：2a2=$2+2；2a1=%+。2+2,解得。2=4；

由2a；,=Sn+2--@得2an_i=Sn_3+2—®；(n>2)

将两式相减得：2即-2即_】=Sn-Sn-i；2an-2an_!=an；an=2an_i(n>2)

n2n

所以：当nN2时：an=a22~=2；n=l时也成立.

n

故：an=2；

又由等差数列｛bn｝中，瓦=2,点P(%,bn+i)在直线y=x+2上.

得：bn+1=bn+2,且瓦=2,所以：bn=2+2(n-1)=2n；(6分)

n+1

(2)cn=anbn=n2；

234n+1

数列｛cn｝的前n项和〃=2+2X2+3X2+-+n-2,

27^=23+2x24+-+(n-1)x2n+1+n-2n+2,

-T=22+7?+-+2n+1-n-2n+2="誓】--2n+2,

n“2—1n

可得：〃=(n-l)-2n+2+4.(12分)

【解析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式可得an,再利用等差数列的通项公式可得垢.

⑵利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查

了推理能力与计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为长轴长为4,所以a=2,

又因为椭圆C的离心率为苧，所以c=四，

:.b2=a2-c2,b2=2,

所以椭圆c的方程为：=+4=1.

42

(2)设POi'i),。(%2，%)，/的方程为y=%+m,

由/+2y2=4且y=%4-mW3x2+4mx+2m2—4=0,

令4=(4m)2—4•3•(2m2—4)>0(1),

4m2m2—4

・・・4+小=,Xi%2=~§—，

••・7172=(%1+m)(%2+m)=%1%2++%2)+=2?4_|_(_写)+2,

、m7n

由题意知OP1OQo所以%1%2+y，2=0，

2m2-42m2-4(4m、(\

-3-+-3-+巾(一y)+标2=0,

解得m=竽或瓶=一竿，验证知满足(1),

所以直线的方程为：y=%+竽或丫=%—竽.

【解析】(1)由题意求得。，。的值即可确定