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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.如图,一张矩形纸片ABCD的长AB=xcm,宽BC=ycm,把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折,对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似,则x:y的值为()A.2 B. C. D.2.如图,为线段上一动点(点不与点、重合),在线段的同侧分别作等边和等边,连结、,交点为.若,求动点运动路径的长为()A. B. C. D.3.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于()A.4 B.2 C. D.4.平面直角坐标系中,抛物线经变换后得到抛物线,则这个变换可以是()A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位5.如图,从一块直径为24cm的圆形纸片上,剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A,B,C都在圆周上,将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是()A.3cm B.2cm C.6cm D.12cm6.有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,共比赛了21场,则下列方程中符合题意的是()A.x(x﹣1)=21 B.x(x﹣1)=42C.x(x+1)=21 D.x(x+1)=427.若,相似比为1:2,则与的面积的比为()A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:18.如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,∠ACD=40°,则∠BAD的大小为()A.60º B.30º C.45º D.50º9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴是x=1,现有结论:①abc>0②9a﹣3b+c=0③b=﹣2a④(﹣1)b+c<0,其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.抛物线的顶点坐标是()A.(0,-1) B.(-1,1) C.(-1,0) D.(1,0)11.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C和D的坐标分别为()A.(2,2),(3,2) B.(2,4),(3,1)C.(2,2),(3,1) D.(3,1),(2,2)12.下列各点中,在反比例函数图像上的是()A. B. C. D.二、填空题(每题4分,共24分)13.四边形ABCD是☉O的内接四边形,,则的度数为____________.14.如图,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F分别为切点,已知∠C=90°,⊙O半径长为1cm,BC=3cm,则AD长度为__cm.15.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是_________.16.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020=0有一根为x=﹣1,则a+b=_____.17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点G是△ABC的重心,且AG⊥CG,CG的延长线交AB于H.则S△AGH:S△ABC的值为____.18.点向左平移两个单位后恰好位于双曲线上,则__________.三、解答题(共78分)19.(8分)已知关于的一元二次方程:.(1)求证:对于任意实数,方程都有实数根;(2)当为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.20.(8分)如图1,我们已经学过:点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某校的数学拓展性课程班,在进行知识拓展时,张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D.(1)证明点D是AB边上的黄金分割点;(2)证明直线CD是△ABC的黄金分割线.21.(8分)请阅读下面材料:问题:已知方程x1+x-3=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的一半.解:设所求方程的根为y,y=,所以x=1y把x=1y代入已知方程,得(1y)1+1y-3=0化简,得4y1+1y-3=0故所求方程为4y1+1y-3=0这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题:(1)已知方程1x1-x-15=0,求一个关于y的一元二次方程,使它的根是已知方程根的相反数,则所求方程为:_________.(1)已知方程ax1+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,求一个关于y的一元二次方程,使它的根比已知方程根的相反数的一半多1.22.(10分)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系。的顶点都在格点上,请解答下列问题:(1)作出关于原点对称的;(2)写出点、、的坐标。23.(10分)如图1,已知中,,,,它在平面直角坐标系中位置如图所示,点在轴的负半轴上(点在点的右侧),顶点在第二象限,将沿所在的直线翻折,点落在点位置(1)若点坐标为时,求点的坐标;(2)若点和点在同一个反比例函数的图象上,求点坐标;(3)如图2,将四边形向左平移,平移后的四边形记作四边形,过点的反比例函数的图象与的延长线交于点,则在平移过程中,是否存在这样的,使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由24.(10分)如图,△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,点A在第四象限,点P坐标为(8,0),抛物线y=ax2+bx+c经过原点O和A、P两点.(1)求抛物线的函数关系式.(2)点B是y轴正半轴上一点,连接AB,过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点,且BC=AB,求点B坐标;(3)在(2)的条件下,点M是线段BC上一点,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,求△CBN面积的最大值.25.(12分)解方程:.如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为.以点为位似中心画出的位似图形,使得与的位似比为,并写出点的坐标.
26.如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.(1)求证:△APM≌△BPN;(2)当MN=2BN时,求α的度数;(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、B【分析】根据相似多边形对应边的比相等,可得到一个方程,解方程即可求得.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,宽BC=ycm,
∴AD=BC=ycm,
由折叠的性质得:AE=AB=x,
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似,
∴,即,
∴x2=2y2,
∴x=y,
∴.
故选:B.【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质;根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键.2、B【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧,当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值,过点P作OP⊥AB,取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O,连接OA,设半径长为R,则根据勾股定列出方程求出R的值,再根据弧长计算公式l=求出l值即可.【详解】解:依题意可知,点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧,当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值,如图所示,连接PQ,取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O,连接OA,OB.∵P是AB的中点,∴PA=PB=AB=6=3.∵和是等边三角形,∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°,∴AP=PD,∠APD=120°.∴∠PAD=∠ADP=30°,同理可证:∠PBQ=∠BCP=30°,∴∠PAD=∠PBQ.∵AP=PB,∴PQ⊥AB.∴tan∠PAQ==∴PQ=.在Rt△AOP中,即解得:OA=.∵sin∠AOP===∴∠AOP=60°.∴∠AOB=120°.∴l===.故答案选B.【点睛】本题考查了弧长计算公式,等边三角形的性质,垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,三角函数等知识,综合性较强,明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.3、A【解析】试题分析:正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,故正六边形的半径等于1,则正六边形的边长是1.故选A.考点:正多边形和圆.4、B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.【详解】解:,顶点坐标是(-1,-4).
,顶点坐标是(1,-4).
所以将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线,
故选:B.【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律和变化特点.5、A【分析】圆的半径为12,求出AB的长度,用弧长公式可求得的长度,圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π.【详解】AB=cm,∴∴圆锥的底面圆的半径=÷(2π)=3cm.故选A.【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.6、B【分析】设这次有x队参加比赛,由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),则此次比赛的总场数为:x(x-1)场.根据题意可知:此次比赛的总场数=21场,依此等量关系列出方程即可.【详解】设这次有x队参加比赛,则此次比赛的总场数为x(x−1)场,根据题意列出方程得:x(x−1)=21,整理,得:x(x−1)=42,故答案为x(x−1)=42.故选B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,准确找到等量关系是解题的关键.7、C【解析】试题分析:直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论:∵,相似比为1:2,∴与的面积的比为1:4.故选C.考点:相似三角形的性质.8、D【分析】把∠DAB归到三角形中,所以连结BD,利用同弧所对的圆周角相等,求出∠A的度数,AB为直径,由直径所对圆周角为直角,可知∠DAB与∠B互余即可.【详解】连结BD,∵同弧所对的圆周角相等,∴∠B=∠C=40º,∵AB为直径,∴∠ADB=90º,∴∠DAB+∠B=90º,∴∠DAB=90º-40º=50º.故选择:D.【点睛】本题考查圆周角问题,关键利用同弧所对圆周角转化为三角形的内角,掌握直径所对圆周角为直角,会利用余角定义求角.9、C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置,顶点坐标,以及二次函数的增减性,逐个进行判断即可.【详解】解:∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上,对称轴是x=1,与y轴的交点在负半轴,∴a>0,b<0,c<0,∴abc>0,因此①正确;∵对称轴是x=1,即:=1,也就是:b=﹣2a,因此③正确;由抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴是x=1,可得与x轴另一个交点坐标为(3,0),∴9a+3b+c=0,而b≠0,因此②9a﹣3b+c=0是不正确的;∵(﹣1)b+c=b﹣b+c,b=﹣2a,∴(﹣1)b+c=2a+b+c,把x=代入y=ax2+bx+c得,y=2a+b+c,由函数的图象可得此时y<0,即:(﹣1)b+c<0,因此④是正确的,故正确的结论有3个,故选:C.【点睛】考查二次函数的图象和性质,掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键,将问题进行适当的转化,是解决此类问题的常用方法.10、C【解析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式,可确定顶点坐标.解答:解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,∴抛物线顶点坐标为(-1,0),故选C.11、C【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可.【详解】解:∵线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,∴端点的坐标为:(2,2),(3,1).故选C.【点睛】本题考查位似变换;坐标与图形性质,数形结合思想解题是本题的解题关键.12、C【分析】把每个点的坐标代入函数解析式,从而可得答案.【详解】解:当时,故A错误;当时,故B错误;当时,故C正确;当时,故D错误;故选C.【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点,掌握以上知识是解题的关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、130°【分析】根据圆内接四边形的对角互补,得∠ABC=180°-∠D=130°.【详解】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠ABC+∠D=180°,∵∠D=50°,∴∠ABC=180°-∠D=130°.故答案为:130°.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,圆内接四边形对角互补.14、3【分析】如图,连接OD、OE、OF,由切线的性质和切线长定理可得OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,AF=AD,BE=BD,接着证明四边形OECF为正方形,则CE=OE=CF=OF=1cm,所以BE=BD=2cm,由勾股定理可求AD的长.【详解】解:如图,连接OE,OF,OD,∵⊙O为△ABC内切圆,与三边分别相切于D、E、F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,AF=AD,BE=BD,∴四边形OECF为矩形而OF=OE,∴四边形OECF为正方形,∴CE=OE=CF=OF=1cm,∴BE=BD=2cm,∵AC2+BC2=AB2,∴(AD+1)2+9=(AD+2)2,∴AD=3cm,故答案为:3【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心,切线的性质,切线长定理,勾股定理,正方形的判定和性质,熟悉切线长定理是本题的关键.15、4∶1【解析】试题解析:∵两个相似三角形的周长比为2:3,∴这两个相似三角形的相似比为2:3,∴它们的面积比是4:1.考点:相似三角形的性质.16、1【分析】由方程有一根为﹣1,将x=﹣1代入方程,整理后即可得到a+b的值.【详解】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1=0得:a+b﹣1=0,即a+b=1.故答案为:1.【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,关键是把方程的解代入方程.17、1:6【分析】根据重心的性质得到,求得,根据CH为AB边上的中线,于是得到,从而得到结论.【详解】∵点G是△ABC的重心,∴,∴,∴,∵CH为AB边上的中线,∴,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了三角形的重心:三角形的重心是三角形三边中线的交点;重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.18、【分析】首先求出点P平移后的坐标,然后代入双曲线即可得解.【详解】点向左平移两个单位后的坐标为,代入双曲线,得∴故答案为-1.【点睛】此题主要考查坐标的平移以及双曲线的性质,熟练掌握,即可解题.三、解答题(共78分)19、(1)见解析;(2)1,理由见解析.【解析】试题分析:(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=(t﹣3)2≥0,由此可证出:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)设方程的两根分别为m、n,由方程的两根为相反数结合根与系数的关系,即可得出m+n=t﹣1=0,解之即可得出结论.试题解析:(1)证明:在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中,△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根;(2)解:设方程的两根分别为m、n,∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t﹣1=0,解得:t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.考点:根与系数的关系;根的判别式.20、(1)详见解析;(2)详见解析.【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;(2)证明,直线CD是△ABC的黄金分割线;【详解】解:(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.CD是角平分线,∠ACD=∠BCD=,∠A=∠ACD,AD=CD.∠CDB=180-∠B-∠BCD=,∠CDB=∠B,BC=CD.BC=AD.在△BCD与△BCA中,∠B=∠B,∠BCD=∠A=,△BCD∽△BCA,点D是AB边上的黄金分割点.(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设ABC中,AB边上的高为h,则,,,由(1)得点D是AB边上的黄金分割点,,直线CD是△ABC的黄金分割线【点睛】本题主要考查三角想相似及相似的性质,注意与题中黄金分割线定义相结合解题.21、(1)1y1+y-15=0;(1).【分析】(1)利用题中解法,设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y,然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果;(1)设所求方程的根为y,则y=(x≠0),于是x=4-1y(y≠0),代入方程ax1+bx+c=0整理即可得.【详解】解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y,把x=-y代入1x1-x-15=0,整理得,1y1+y-15=0,故答案为:1y1+y-15=0;(1)设所求方程的根为y,则y=(x≠0),所以,x=4-1y(y≠0),把x=4-1y代入方程ax1+bx+c=0,整理得:.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解,解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法.22、(1)详见解析;(2),,【分析】(1)根据平面直角坐标系中关于坐标原点对称的特征即可得到;(2)根据平面内任意一点关于坐标原点的对称点为,即可得解.【详解】(1)如下图所示,即为所求;(2)根据平面内任意一点关于坐标原点的对称点为,则、、.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的变换,熟练掌握关于原点对称的点坐标表示方法是解决本题的关键.23、(1);(2);(3)存在,或【分析】(1)过点作轴于点,利用三角函数值可得出,再根据翻折的性质可得出,,再解,得出,,最后结合点C的坐标即可得出答案;(2)设点坐标为(),则点的坐标是,利用(1)得出的结果作为已知条件,可得出点D的坐标为,再结合反比例函数求解即可;(3)首先存在这样的k值,分和两种情况讨论分析即可.【详解】解:(1)如图,过点作轴于点∵,∴∴由题意可知,.∴.∴在中,,∴,.∵点坐标为,∴.∴点的坐标是(2)设点坐标为(),则点的坐标是,由(1)可知:点的坐标是∵点和点在同一个反比例函数的图象上,∴.解得.∴点坐标为(3)存在这样的,使得以点,,为顶点的三角形是直角三角形解:①当时.如图所示,连接,,,与相交于点.则,,.∴∽∴∴又∵,∴∽.∴,,∴.∴,设(),则,∵,在同一反比例函数图象上,∴.解得:.∴∴②当时.如图所示,连接,,,∵,∴.在中,∵,,∴.在中,∵,∴.∴设(),则∵,在同一反比例函数图象上,∴.解得:,∴∴【点睛】本题是一道关于反比例函数的综合题目,具有一定的难度,涉及到的知识点有特殊角的三角函数值,翻折的性质,相似三角形的判定定理以及性质,反比例函数的性质等,充分考查了学生综合分析问题的能力.24、(1);(2);(3).【分析】(1)先根据是等腰直角三角形,和点P的坐标求出点A的坐标,再利用待定系数法即可求得;(2)设点,如图(见解析),过点C作CH垂直y轴于点H,过点A作AQ垂直y轴于点Q,易证明,可得,则点C坐标为,将其代入题(1)中的抛物线函数关系式即可得;(3)如图,延长NM交CH于点E,则,先通过点B、C求出直线BC的函数关系式,因点N在抛物线上,则设,则可得点M的坐标,再根据三角形的面积公式列出等式,利用二次函数的性质求最值即可.【详解】(1)是等腰直角三角形,,点P坐标为则点A的坐标为将点O、A、
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