集合（难点）-2021-2022学年高一数学期中考试好题汇编（苏教版2019必修第一册）（解析版）

专题01集合（难点）

经典基础题

一、单选题

1.（2020•河北沧州•高一期中）已知集合M={a,2“-若您加，则/中所有元素之和为（）

C.-3

【答案】C

【分析】

根据leM,依次令”={”,2“-1,2〃一1}中的三个元素分别等于1,根据集合中元素的互异性作出取舍，求得

结果.

【解析】

若a=l,则2a-1=1,矛盾；

若2a-1=1,则。=1,矛盾，故=

解得"=1（舍）或a=-1,

故/={-1,-3』，元素之和为-3,

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的

值进行取舍.

2.（2020■江西景德镇一中高■—期中）己知集合A={=〃/+〃2wN,72eN},且xeA,ytA,则下列

结论中正确的是（）

A.x+yeAB.尤一yeA

C.xyeA

【答案】C

【分析】

设％=/+〃2,y=〃2+62,加挝N,〃N,〃挝N,0N,再利用孙=（%+帅）2+（祖/?一九〃）2,可得解.

【解析】

由％wA,ytA,设x=+n2,y=〃2+/，加挝N,〃N,”挝N/N,

所以孙=(m2+“2)(02+b2)=m2a2+m2b2+n2a2+n2b2={ma+nb')2+(mb-na)2,

且ma+nbeN,mb—naeN,

所以孙eA,

故选：C.

【点睛】

关键点点睛，本题的解题关键是根%?+n^b1+n2a2+n2b2=（ma+nb）2+（mb-na）1,另外本题可以通过列举

法得到集合的一些元素，进而排除选项可得解.

x-1

3.（2020•湖北高三期中（理））已知全集为R,集合八={-2,-1,0,1,2},B=<0则An(ERB)

x+2

的子集个数为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【分析】

解不等式得集合8,由集合的运算求出An02）,根据集合中的元素可得子集个数.

【解析】

B=L|^4<O|={X|-2<X<1},02=1|无〈_2或彳31},所以4口（备8）={_2』,2},其子集个数为23=8.

〔尤+2J

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题.

4.（2021•全国高一期中）设所有被4除余数为M左=0,1,2,3）的整数组成的集合为人,即

Ak={x\x=4n+k,n^Z},则下列结论中错误的是（）

A.2020eAQB.a+b^,则ae4,

贝

C.-leA3D.Ua-beA

【答案】B

【分析】

首先根据题意，利用&的意义，再根据选项判断.

【解析】

A.2020=4x505+0,所以2020©正确;

B.若a+beAs，贝l]aeA，6e4，或aeeA或aeeA,或awA，be&,故B不正确；

C.—1=4x（—1）+3,所以一1€&,故C正确；

D.a=4”+左，b=4m+k,m,n&Z,贝l|a—6=4（〃一m）+0,机）eZ,故a-6e4，故D正确.

故选:B

【点睛】

关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解4的意义，再将选项中的数写出4中的形式，就容易判断

选项了.

5.（2020•海南高三期中）已知集合4={x]（x+2）（x-2）＜5},B={x|log2（x-a）＞l,«e2V},若4口3=0,

则。的可能取值组成的集合为（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.N*

【答案】D

【分析】

解不等式确定集合4,3,然后由交集的结果确定参数。的取值范围.

【解析】

A={x|（x+2）（x-2）＜5}={x|-3Vx＜3},

JB={x|log2（尤—a）＞l,aeN}={尤|尤＞“+2,aeN},

因为AP|3=0,所以a+223,a＞1.又awN,0aeN*.

故选：D.

【点睛】

本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结

论.

6.（2020•江苏扬州市■扬州中学高一期中）己知全集0=14,集合4=卜卜（彳+2）＜0},2=卜卜区1},则图中

阴影部分表示的集合是（)

A.(-2,1)B.[-1,0]U[1,2)C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

【答案】C

【分析】

由集合描述求集合A3,结合韦恩图知阴影部分为Co(AcB)c(AuB),分别求出C^AnB)、(AoB),然

后求交集即可.

【解析】

A={x|x(x+2)<。}={x|-2<尤<0},B=|x||x|<={x|-1<x<1},

由图知：阴影部分为Cu(Ac8)c(Au3),而Ac3={x|-lWx<0},AuB={x|-2<x<l},

^\Cu(Ar^B)={x\x<-l^lx>0]fgpCf/(AnB)n(AoB)={x|-2<x<-1^0<x<l},

故选：c

【点睛】

本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.

7.(2020・辽宁高一期中)已知集合尸={x|x=2左，左eZ},Q={x|x=2左+1,左eZ},M={x|x=4k+1,左eZ},

且a挝Q,则()

A.a+b?PB.a+blQ

C.a+blMD.a+Z?不属于P,Q,M中的任意一个

【答案】B

【分析】

设出。力的值，相加再判断得解.

【解析】

,/a£P,:.a=2kl，匕£Z.

,/beQ,:.b=2k2+1&《Z.

:.a+b=2(%+无2)+l=2左+1£QA，左2,左£Z).

故选：B

8.（2020•上海市嘉定区第一中学高一期中）当一个非空数集G满足"如果aleG,则。+"。-6,必€6,且

历4）时，feG"时，我们称G就是一个数域，以下四个数域的命题；

b

①0是任何数域的元素；

②若数域G有非零元素，则2020eG;

③集合P={x|x=2k,keZ}是一个数域

④有理数集是一个数域

其中假命题的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】

对于①，根据新定义，a,beF,当6到时，,取。=0,可判断出①，对于②，若数域尸中有非

b

零元素，歹可以取实数域，可取。=2020,b=l,可判断出②，对于③，由尸的元素知，%是3的倍数，

取。=6,6=3时可判断出③，对于④，若F是有理数，贝!J当beF,贝！Ja+6,a-b,abwF,且当

时，:e尸都成立，判断出④.

b

【解析】

解:对于①，根据新定义，。，bwF,当6W0时，yeF,对于。=0,可得0e尸，故正确，

b

对于②，若数域/中有非零元素，尸可以取实数域，可取a=2020,b=l,可得2021故正确，

对于③，由尸的元素知，x是3的倍数，当。=6,人=3时，£=2”,故错误，

对于④，若b是有理数，则当a,beF,则a+b,a-b,abeF,且当历4）时，fe尸都成立，故正确，

b

故假命题为③.

故选：C.

9.（2020•上海师范大学附属中学闵行分校）设集合4=卜卜2+2X-3>0},集合B=卜厂一？办一140〃>O},

若4口8中恰含有一个整数，则实数。的取值范围是（）

A.1°，：C.D.（1收）

【答案】A

【分析】

先化简集合A,再根据函数y=/(x)=x2-2ax-1的零点分布，结合AcB恰有一个整数求解.

【解析】

A={x［x<-3或x>l},

函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,

而/(-3)=6a+8>0,/(-1)=2a>0,f(0)<0,

故其中较小的零点为(-1,0)之间，另一个零点大于1,f(1)<0,

要使AnB恰有一个整数，

即这个整数解为2,

0/(2)40且/(3)>0,

f4-4tz-l<0

即V,，

［9-6^-1>0

解得：;4，

I3

即33《a<4一,

43

-34、

则a的取值范围为

故答案为：A.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，还考查了转化求解问题的能力，属于

中档题.

10.(2020•江西吉安三中高一期中)对于下列结论：

①已知0{xlx?+4x+a=0},则实数a的取值范围是(YO,4］；

②若函数y=/(x+1)的定义域为［一2,1)，则尸/(%)的定义域为［-3,0)；

③函数y=2_J*2_4x+5的值域是（-8,1];

④定义：设集合A是一个非空集合，若任意xeA,总有a-xeA,就称集合A为。的"闭集"，已知集合

A=l,2,3,4,5,6},且A为6的"闭集"，则这样的集合A共有7个.

其中结论正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

A.考虑方程有解的情况；B.根据抽象函数定义域求解方法进行分析；C.根据二次函数的取值情况分析函

数值域；D.根据定义采用列举法进行分析.

【解析】

①由0{》|—+4苫+。=0}可得彳2+4%+。=0有解，gpA=42-4a..0,解得aW4,故①正确；

②函数y=〃x+l）的定义域为12,1）,贝IJ-2?X1,故—”x+l<2,故y=/（x）的定义域为故

②错误；

③函数y=2-Jx」-4x+5=1-J（x-2）2+1,由于J（x-2）?+1e[l,+oo）,故y=2-_以+5,故

③正确；

④集合A=l,2,3,4,5,可且A为6的"闭集"，则这样的集合A共有⑶，{1,5},

{2,4},{1,3,5},{2,4,6},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7个,故④正确.

故正确的有①③④.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判定，考查集合之间的包含关系，考查函数的定义域与值域，考查集合的新定义，属

于中档题.

11.（2020•陕西西安中学高三期中（文））已知A={（尤,yXr+VwLxeZ.yeZ},

8={（x,y）|禺43,|y|43,xeZ,yeZ}.定义集合A㊉3={a+尤2，M+y2）|（Xl，yl）eA,|（x2，y2）e5},则A㊉8的

元素个数〃满足（）

A.n=77B.n<49C.n=64D.n>81

【答案】A

【分析】

先理解题意，然后分①当玉=±1,%=。时，②当当=0,%=±1时，③当士=0,%=。时,三种情况讨论即可.

【解析】

解：由A={(x,y)|Y+V41,无eZ,yeZ},B={(羽y)||x|<3,|j|<3,xeZ,yeZ|,

①当±=±1,X=。时，Xf+x2=-4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,

%+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,

此时A㊉3的元素个数为9x7=63个，

(2)当匕=0,X=±1时,为+无？=-3,-2,-1,0,1,2,3,

—

%+%=-4,3,—2,—1,0,1,2,3,4z

这种情况和第①种情况除X+%=-4,4外均相同,故新增7x2=14个，

③当占=0,%=0时，玉+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,

%+%=-3,0,1,2,3,这种情况与前面重复，新增0个，

综合①②③可得：

A㊉8的元素个数为63+14+0=77个，

故选:A.

【点睛】

本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.

12.(2021•全国高一课前预习)对于集合出二,,二--；/,工©%3©%},给出如下三个结论：①如果

P=[b\b=2n+\,n&7^,那么P=M；②如果c=4〃+2,aeZ,那么<?任"；③如果％sM,a2eM,那么0ta2cM.

其中正确结论的个数是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

①根据2w+l=(“+l)2-“2,得出2〃+leAf,即P=

②根据c=4〃+2,证明4w+2?M,即CEM；

③根据。|£刊，a2eM,证明

【解析】

解：集合”={。1。=12,xeZ,yeZ),

对于①，b=2n+l,〃eZ,

则恒有2〃+1=("+1)2-〃2,

.-.277+leM,即尸={“。=2〃+1,neZ},则「口”，①正确；

对于②，c=4n+2,n^Z,

若4〃+2?M,则存在x,yeZ使得/-=4»+2,

「.4〃+2=(%+y)(%—y),

又x+y和x-y同奇或同偶，

若x+y和x—y都是奇数，则(x+y)(x-y)为奇数，而4〃+2是偶数；

若x+y和x—y都是偶数，贝！J(x+y)(x-y)能被4整除，而4a+2不能被4整除，

4n+2iM,即ceM,②正确；

对于③，a{&M,a?eM,

可设q=%；-yf,a2=—y2jX-、y£Z；

则%%=(4-yt)(x2—£)

=(占%)2+(M)2-(占%)2-(%%)2

22

=(xlx2+yiy2)~(xiy2+x2yl')

那么01a2eM,③正确.

综上，正确的命题是①②③.

故选£).

【点睛】

本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题.

二、多选题

13.(2020,福建厦门一中)对任意A,B=R,记A㊉3={x|xeAU8,x史，并称A㊉3为集合A,B

的对称差.例如，若&={1，2,3},B={2,3,4},则A㊉3={1,4},下列命题中，为真命题的是()

A.若A,BqR且A㊉8=3,则4=0

B.若A,3=R且A㊉8=0,则A=B

C.若A,BqR且A㊉3aA,则A=B

D.存在A,B=R,使得A㊉8=瘠A㊉RB

【答案】ABD

【分析】

根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可.

【解析】

解：对于A选项，因为A㊉3=8,所以3={x|xeAu民尤芒AcB},

所以A=8,且B中的元素不能出现在4口8中，因此A=0,即选项A正确；

对于B选项，因为A㊉3=0,所以0={x|xeAcB},

即AU3与AA3是相同的，所以A=3，即选项B正确；

对于C选项，因为A㊉3=A,所以{尤|xeAc/?}=A,

所以即选项C错误；

对于D选项，设4=例尤<2},B={x|x>l},则aU3=R，ACB={X[1<JC<2},

所以A㊉3={xWl或x22},又伞4=例行2},砥8={小<1},

（廨M㈤―xN2},（瘵l）n（握）=0,

所以（椒）3M）={小41或X22},

因此A㊉3=寤4㊉RB,即。正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查新定义，考查了交、并、补集的混合运算，属于中档题.考查了学生的转化与化归能力，逻辑

推理能力.

14.（2020,宝山区•上海交大附中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪•直到1872年，德国数学家

戴德金从连续性的要求出发，用有理数的"分割"来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严

格的科学基础上，才结束了无理数被认为"无理"的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危

机•所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MuN=Q,McN=0,

M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（”,N）为戴德金分割•试判断，对于任一戴德金分割

（M,N）,下列选项中，可能成立的是（）

A.M没有最大元素，N有一个最小元素

B./W没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】ABD

【分析】

举特例根据定义分析判断，进而可得到结果.

【解析】

令“=印》<10,》©。},N={x|xN10,xe。},显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素,

即选项A可能；

☆M={x[x<VIxeQ},N={x\x>y[2,xeQ},显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，

即选项B可能；

假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；

令/={犬|》410,犬©0},N={Hx>10,xe。},显然集合M中有一个最大元素，集合/V中没有最小元素，

即选项D可能.

故选：ABD.

15.（2021•江苏省祁江中学高二期中）下列叙述正确的是（）

A.集合N中的最小数是1B.{x|x>l}={x|x21}

C.方程d-6x+9=0的解集是⑶D.{4,3,2}与{3,2,4}是相等的集合

【答案】BCD

【分析】

利用自然数集元素的大小判断A；利用集合的包含关系判断B；利用方程的解判断C；利用集合的基本性质

判断D.

【解析】

对于A,集合N中的最小数是0,不是1,故A错误；

对于B,{x|x>l}u{x|x21}满足集合的包含关系，故B正确；

对于C,方程/一6尤+9=0的解为国=彳2=3,故其解集是{3},故C正确；

对于D,{4,3,2}与{3,2,4}是相同的集合，满足集合的基本性质，故D正确.

故选：BCD

16.（2021・江苏）设非空集合满足：当X0S时，有x20S.给出如下命题，其中真命题是（）

A.若m=l,则5={%|%21}B.若"7=-；,则

C.若"=L则D.若n=l,则

22

【答案】BC

【分析】

先由非空集合5=卜忱4尤4〃}满足：当而S时，有x20S,判断出机2/或加<0,0<n<l,对照四个选项分

别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可

【解析】

团非空集合5=旧加VxV〃}满足：当X0S时，有*2蚯

回当时，有而回$,即疗2相，解得：〃让/或加40；

同理：当版S时，有。2型，即〃2«〃，解得：0<«<1,

对于A:m=1,必有m2=l回S,故必有八解得：m=n=\,所以S={1},故A错误；

[0<n<l

对于B:加=-小必有在二:血故必有<~,解得：-<n<l,故B正确；

24[0<n<14

m<—

2厂

对于C:若w=[，^\m<m2,解得：-在WmW0,故C正确；

2,12

m2<—

[2

m<1

对于D:若n=l,<<m<m2,解得：-"〃心0或M=1,故D不正确.

m2<1

故选：BC

【点睛】

方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.

事先尤选提升题

三、填空题

17.（2021・上海徐汇区•位育中学高一月考）已知aeR,集合A={x|ga-l<x<；a+l},设关于x的不等式

依</+『1的解集为B,若Au5,则实数“的取值范围为

【答案】（9,一4]51,内）

【分析】

求出集合B,根据AuB建立不等式求解即可.

【解析】

由方</+『1可得,

当“=1时，不等式无解，即2=。,不符合AuB.

当。>1时，由不等式解得x<a+l,即8={x|x<a+l},

由AuB则需3。+14。+1,解得a20,

所以”>1,

当a<l时，由不等式解得x>a+l,即2={x|尤>。+1}

由AuB则需。+14]。一1,解得。W-4.

综上，。<-4或。>1.

故答案为：(T»,-4]U(1,+(»)

18.(2021•凤城市第一中学高一月考)已知有限集4={4，%,…,%}(〃N2,〃eN*),如果A中的元素

%(i=1,2,3,…满足q.%...an=a}+a2+---+an,就称A为"复活集”,给出下列结论：

①集合，匚芸，^^仓>是“复活集"；

②若4，%eR,且{%%}是"复活集"，则％%>4；

③若01geN*,则{知%}不可能是“复活集".

其中所有正确结论的序号有.

【答案】①③

【分析】

根据新定义检验①，由新定义构造一元二次方程，利用判别式证明判断②，利用新定义，结合不等式的知

识判断③.

【解析】

①匚产=+曰黄=_1,故①正确.

②不妨设%+。2=。陷2=，，则由根与系数的关系知的，出是一元二次方程%2-比+/=0的两个不相等的实数

根，由A>0,可得/-4r>0,解得f<0或f>4,故②错误.

③根据集合中元素的互异性知4片的，不妨设4〈%(q,4©N*),由q%=q+g＜2外,可得弓＜2.

•rqeN*,；.%=1.于是1+%=卜生，无解，即不存在满足条件的“复活集"，故③正确.

故答案为：①③.

19.(2022•全国)已知集合A,8都含有12个元素,AnB含有4个元素，集合C含有3个元素，且满足电姐，

CnA血，Cn8血，则满足条件的集合C共有个.

【答案】1028

【分析】

按照C中含有AnB中元素个数分C0(AcB)、C中含有AaB中2个元素、C中含有AnB中1个元素、C中不

含ACB中元素4类计算可得.

【解析】

依题意设4={。1,。2,03,。4,05,06,07,08,Xl,X2,X3,X4),

B={bi,岳,加,九,bs,bs,by,优，Xi,X2,X3,X4},

当C0(AcB)时，集合C共有C：=4个；

当C中含有ACB中2个元素时，集合C共有C1C；6=96个；

当C中含有AnB中1个元素时，集合C共有=480个；

当C中不含ACB中元素时，集合C共有《＜；+2・隽=448个

故满足题意得C共有1028个.

故答案为：1028个

20.(2021•福建福州三中高一开学考试)已知集合Z»={aeR|(x-1)a2+7ax+x2+3x-4=0},{0}=4则x的值

为.

【答案】1或T.

【分析】

解方程7x0xx+x2+3x-4=0,即得％=1或％=Y,检验即得解.

【解析】

因为{0}=4

所以7x0x%+X2+3X-4=0,

所以％=1或x=-4.

当尤=1时，7a+l+3-4=0,所以。=0,集合上{0},满足题意；

当x=T■时，-5片—28。+16-12-4=0,/.Q=0或〃=—集合A二{。,——}»满足题意.

故答案为：1或Y.

21.（2021•福建省厦门第二中学高三月考）若尤eA,则就称A是伙伴关系集合，集合

X

〃=1T，0，；，；/，2,3,41的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为.

【答案】15

【分析】

首先确定具有伙伴集合的元素有1,T,"3和，”，"2和;''四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为

3乙

所求.

【解析】

因为leA,-=1EA；—1eA>~^=-1EA;

1—1

2EAf万£人；3GA,—GA；

这样所求集合即由1，-E"3和9,"2和卜‘这"四大"元素所组成的集合的非空子集.

3乙

所以满足条件的集合的个数为24-1=15,

故答案为：15.

22.（202”江苏高一专题练习）已知集合。={1,2,3,…,〃}（weN*,〃N2）,对于集合。的两个非空子集A,B,

若4口8=0,则称（A3）为集合U的一组"互斥子集记集合U的所有“互斥子集"的组数为/（〃）（当且仅

当A=3时，（AB）与（B,A）为同一组“互斥子集"），则/⑹=

【答案】602

【分析】

根据题设条件，集合。中的任一元素只能在集合A,B,加（AU3）之一中，求出"个元素的种数，再去掉A,

8为空集的种数可得八%取n=6即可得解.

【解析】

令C=d（Au3）,如图，全集。被划分成A,B,C三个部分，。中的任意一个元素只能在集合A,B,C之

一中，有3种方法,

则这。个元素在集合4B,C中，共有3"种，

其中4为空集的种数为2"，B为空集的种数为2",则A,B均为非空子集的种数为3"-2向+1,

因当且仅当A=3时，（A团与（氏A）为同一组"互斥子集"，而4口3=0,满足4口3=0的（A,B）与（B,A）不

是同一组“互斥子集"，

于是得集合U的所有“互斥子集"的组数为〃冷=3"-2"+1+1,

所以"6)=36-2m+1=602.

故答案为：602

23.（2021•江苏）设集合X是实数集R的子集，如果点吃eR满足：对任意a＞0,都存在xeX,使得

0＜|x-x0|＜a,称为为集合x的聚点，则在下列集合中:

①｛xeZ|x/0｝；②｛尤|尤cR,尤片0｝；（3）1x|x=—,weN*

以0为聚点的集合有.

【答案】②③

【分析】

根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解.

【解析】

由题意，集合X是实数集R的子集，如果点尤°eR满足：对任意。＞。，都存在xeX,使得0＜卜-/|＜4,

称％为集合X的聚点，

①对于某个。＞0,比如a=0.5,

此时对任意的尤e｛xeZ|x片0｝,都有q-%|=0或者＞1,

也就是说不可能0＜归-与卜0.5,从而。不是｛xeZ|x片0｝的聚点；

②集合｛xeR|xw。｝,对任意的。，都存在x=£（实际上任意比。小得数都可以）,

使得0<W="|<a,00是集合｛xcR|xwO｝的聚点;

,〃eN*中的元素是极限为0的数列,

对于任意的存在〃>—,使0<国=一<。,

00是集合x=上”N*的聚点;

④中，集合xx=—J,〃eN*中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大;,

In+1J2

回在的时候，不存在满足得。<N<。的X,

00不是集合的聚点.

故答案为：②③.

【点睛】

本题主要考查了集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义一一集合中聚点的含义,

结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于难题.

24.(2021•山东高考真题)集合N,S都是非空集合，现规定如下运算：M30=

{x[%£(MCN)5NCS)D(SCM)且％eMcNcS}.假设集合A={H〃vxvb},B=^x\c<x<d^,

C=[x\e<x<f],其中实数a,b,c,d,e,/满足：(1)ab<0,cd<0；ef<0；(2)b-a=d-c=f-e；

(3)b+a<d+c<f+e.计算AO5G)C=.

【答案】{x\c<x<e^b<x<d]

【分析】

由题设条件求a,b,c,d,*/的大小关系，再根据集合运算新定义求A9GC即可.

【解析】

a+Z?vc+d,。一c<d—b；a—h=c—d,—c=b—d；

^\b-d<d-b,b<d；同理d</,

⑦bed<f.由(1)(3)可得a<c<e<0<h<d</.

回Ac5={x|cvx<〃},BryC=^x\e<x<d^,CA=\^x\e<x<b^.

>1。50。={%]。<%<6或匕<%<2}.

故答案为：{%|c<x〈e或Z?<x<d}

四、解答题

25.(2020•上海市南洋模范中学高一期中)已知集合&={尤|f-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-l=0),

C=1^r|x2+2(m+V)x+m2-5=0}.

(1)若Au3=A,求实数a的值；

(2)若AC|C=C,求实数m的取值范围.

【答案】(1)a=2或3；(2)—3].

【分析】

(1)先求解出方程彳2.3尤+2=0的根，则集合A可知，再求解出Y一办+°一1=0的根，则可确定出集合8,

根据=A得到8=4,从而可求解出的可取值，贝I」。的值可求；

(2)根据ACC=C得到C=A,分别考虑当C为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出。的取值.

【解析】

(1)由尤2-3x+2=0得x=l或2,所以A={1,2},

由尤2—ax+a-1=0得x=l或。一1,所以leaa—leg,

因为=所以31A,

所以。一1=1或2,所以a=2或3；

(2)因为&nC=C,所以C=A,

当C=0的时，A=4(m+l)2-4(/7t2-5)<0,解得机<一3,

A=4(m+l)2-4(m2-5)=0

当°={1}时,无解,

1+2(m+l)+m2-5=0

,、A=4(m+l)2-4(m2-5)=0

当C={2}时，，、',1-解得根=一3,

4+4(/〃+1)+"—5=0

,、fl+2=-2(m+l)

当。={1,2时，无解，

[l-2=m-5

综上，实数m的取值范围是(f,-引.

【点睛】

结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系:

(1)若=则有8=A；

(2)若AH3=A,则有AuB.

26.(2020•邹城市第一中学)设全集是R,集合&={小2-2尤一3>。},B={x\l-a<x<2a+3}.

(1)若a=l,求@A)cB；

(2)问题：已知,求实数。的取值范围.

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

@AC[B=B(2)A\JB=R③Ap|8=0

【答案】⑴{x|0<x<3};(2)具体选择见解析.

【分析】

(1)解不等式苫2-2工-3>0得4={尤打<-1或%>3},进而根据集合运算求解即可得答案.

(2)选①：由An3=3得B=再分3=0和3W0时两种情况求解即可得答案；

f1—a<—1,、

选②：由41^=尺得2°+3>3'解得。>2.故所求实数。的取值范围是(2,e).

选③：由4口3=0,故分3=0和3工0两种情况讨论即可得答案.

【解析】

解:(1)解不等式•？一2无一3>0得4={尤|*<一1或彳>3},

所以("A)={HTVXW3}.

若a=l,贝lj8={x[0<x<5},

所以（54）03={乂0<%<3}.

（2）选①：A^}B=B,则BgA.

2

当3=0时，贝!）有1—a22a+3,BP«<——；

1—a<2a+31—a<2a+3

当时，则有或,此时两不等式组均无解.

2a+3«—11—a23

综上述，所求实数。的取值范围是

选②：A\JB=R,由于3={x|l-o<x<2a+3},

则有解得a>2.

2。+3>3’

故所求实数。的取值范围是(2,y).

选③：403=0，由于8={Hl—a<x<2a+3},所以

2

当3=0时，则有1一〃22〃+3,即。（一§；

1—。<2〃+3

2

当5W0时，则有1—42—1角犁得一一<a<0.

2。+3V3、'

综上述，所求实数。的取值范围是（y,。].

【点睛】

本题考查集合的交并补运算，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第二问如果选择①，③解

题，易错的点在于容易忽视3=0情况而出现错误，故解题时需考虑全面.

27.（2020•河北邢台•高一期中）在①3={X—2<x<3},@^B={X|-3<%<5）,（3）B={x|x>a2+6）>

AuB={x|x>a}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

问题：已知非空集合A={x|“<x<8-q},,若An3=0,求”的取值集合.

【答案】答案见解析.

【分析】

选①：本题首先可根据A是非空集合得出“<4,然后根据AC13=0得出或8-。4-2,最后通过计算

即可得出结果.

选②：本题首先可以根据A是非空集合得出“<4,然后根据\8={目-3Vx<5}求出集合8,最后根据

4口8=0列出不等式组，通过计算即可得出结果.

选③：本题首先可以根据A是非空集合得出。<4,然后根据题意得出"+6=8-°,最后通过计算即可得

出结果.

【解析】

选①：因为A是非空集合，所以解得。<4,

因为8={x[—2<x<3},AplB=0,

所以或8-aW-2,解得心3或。210,

综上所述，。的取值集合是{a|3Va<4}.

选②：因为A是非空集合，所以8-a>a,解得a<4,

因为\3={尤|一3<》<5},所以8={小4一3或让5},

a>-3

因为An5=0,所以8—aV5,解得3Wa<4,

〃<4

故。的取值集合是{中4a<4}.

选③：因为A是非空集合，所以8-a>a,解得a<4,

因为AC|3=0,B=|x|x>a2+6^,A'UB=^x\x>,

所以"+6=8-。，解得。=-2或1,

故。的取值集合是{-2』}.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据集合的运算结果求参数的取值范围，若两个集合的交集为空集，则这两个集合

没有相同的元素，考查集合的混合运算，考查计算能力，是中档题.

28.（2020•常州市北郊高级中学高一期中）已知集合4={刈工41或工35},集合3={尤|224xVa+l}

（1）若a=l,求4口8和AUB；

（2）若记符号A-8={xeA且尤任8},在图中把表示"集合A-3”的部分用阴影涂黑，并求当。=1时的A-此

（3）若ARB,求实数a的取值范围.

【答案】（1）An8={x|0<x<l},AUB={x|尤42或x35}；（2）阴影图形见解析，A-B=[x\x<O^x^5）；

（3）aVO或a>3.

【分析】

（1）当。=1时，求得集合B,根据交集、并集的运算法则，即可求得答案；

（2）阴影图形见解析，当"=1时，求得集合B,根据A-3的定义，即可求得答案；

（3）由题意得31A,分别讨论3=0和3工0两种情况，根据集合的包含关系，即可求得。的范围.

【解析】

（1）当a=1时，B={x|04x42},

所以An8={x[0<x<l},AUb={x|x42或无35）；

(2)A-B的部分如图所示:

当a=l时，A—5={%|xK0或x35}；

(3)因为4口5=5,所以B=A,

当3=0时，2a-2>a-\-l,角星得〃>3,

fa+l<l(2a-2>5

当3W0时，则或，

[2〃-2Wa+1[2a-2Wa+1

解得"VO或0,

综上：aVO或a>3.

【点睛】

易错点为：根据集合包含关系求参数时，当且集合B含有参数时，需要讨论集合B是否为空集,

再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

29.(2020•湖北)已知集合4=

(1)若加=3时，求API做8)；

(2)若473=4,求实数m的取值范围.

「197~

【答案】(1){x\-2<x<2];(2)-y,-.

【分析】

(1)依题意先求出集合A和集合8,再求出为8,然后按照交集的定义求出结果即可；

(2)由AuB=A可得出3三人,然后分8=。和8/。两种情况进行分类讨论，进而求出结果即可.

【解析】

(1)A={x卜2<x44},当m=3时，B={x|2<x<5},

E|CR3={X|XV2或x25},An(^B)=|x|-2<x<2}；

(2)团AD5=A,回3三A,

令/(x)=x2-(m+4)x+m+7,

①当3=。时，即〃%)20恒成立，所以A=(m+4/一4(m+7)W0,

解得：-6<m<2；

②当时，即/(x)<0有解，所以机<-6或加>2,

令〃力=0,解得：tj+4±J(",+4)2-4(加+7),

2

m+4±^(m+4)2-4(m+7)

>-2

所以__J__________

m+4±J(m+4)2-4(m+7)

<4

2

197

角军得一--<m<-6^2<m<—

综合①②得加的范围是

【点睛】

易错点点睛：由Au5=A可得出8三A,然后进行分类讨论，切记别漏掉5的情形，否则容易漏解.

30.(2020•肥东县综合高中高一期中)已知集合。=何—14x42,xeP},A={x|0<x<2,xeP),

(1)若「=11,求A/A中最大元素m与孰8中最小元素。的差s-"；

(2)若尸=Z,求和酬人中所有元素之和及疫(人可.

【答案】⑴3；(2)所求元素之和为1,瘠鼠为={-1,1,2}或飘/?)={-1,0,1,2}.

【分析】

(1)根据尸=R,然后利用补集的运算，分别求得乐4,再求解.

(2)根据P=Z,得到A={x|0<尤<2,xeZ}={0,l},B={1}或{0,1},进而得到十8={。}或=0求解.

【解析】

(1)因为尸=R,U={x|-l<x<2,xeP),

所以={尤|-14x<0或x=2},={x\-l<x<-a,1<x<2},

团根=2,n=—l,

0m—H=2—(—1)=3.

(2)回尸=Z,

0[7={%]-l<x<2,xeZ}={-l,O,l,2},

0A={x|0<x<2,xeZ}={0,1},B={1}或{0,1}.

回。3={0}或«B=0,即。B中元素之和为0.

又屯A={-1,2},其元素之和为-1+2=1.

故所求元素之和为0+1=1.

回«3={0}或«8=0,

0飘M)={-LL2}或十(dAB)=0,0=[/={-1,0,1,2).

【点睛】

本题主要考查集合的补集运算，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.

31.(2017•上海市川沙中学高一期中)符号卜]表示不大于x的最大整数(xeR)，例如：

[1.3]=1,[2]=2,[-1.2]=-2

(1)已知区=2,国=-2,分别求两方程的解集M、