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文档简介
专题01集合(难点)
经典基础题
一、单选题
1.(2020•河北沧州•高一期中)已知集合M={a,2“-若您加,则/中所有元素之和为()
C.-3
【答案】C
【分析】
根据leM,依次令”={”,2“-1,2〃一1}中的三个元素分别等于1,根据集合中元素的互异性作出取舍,求得
结果.
【解析】
若a=l,则2a-1=1,矛盾;
若2a-1=1,则。=1,矛盾,故=
解得"=1(舍)或a=-1,
故/={-1,-3』,元素之和为-3,
故选:C.
【点睛】
关键点点睛:该题考查的是有关集合的问题,在解题的过程中,关键是用好集合中元素的互异性对参数的
值进行取舍.
2.(2020■江西景德镇一中高■—期中)己知集合A={=〃/+〃2wN,72eN},且xeA,ytA,则下列
结论中正确的是()
A.x+yeAB.尤一yeA
C.xyeA
【答案】C
【分析】
设%=/+〃2,y=〃2+62,加挝N,〃N,〃挝N,0N,再利用孙=(%+帅)2+(祖/?一九〃)2,可得解.
【解析】
由%wA,ytA,设x=+n2,y=〃2+/,加挝N,〃N,”挝N/N,
所以孙=(m2+“2)(02+b2)=m2a2+m2b2+n2a2+n2b2={ma+nb')2+(mb-na)2,
且ma+nbeN,mb—naeN,
所以孙eA,
故选:C.
【点睛】
关键点点睛,本题的解题关键是根%?+n^b1+n2a2+n2b2=(ma+nb)2+(mb-na)1,另外本题可以通过列举
法得到集合的一些元素,进而排除选项可得解.
x-1
3.(2020•湖北高三期中(理))已知全集为R,集合八={-2,-1,0,1,2},B=<0则An(ERB)
x+2
的子集个数为()
A.2B.3C.4D.8
【答案】D
【分析】
解不等式得集合8,由集合的运算求出An02),根据集合中的元素可得子集个数.
【解析】
B=L|^4<O|={X|-2<X<1},02=1|无〈_2或彳31},所以4口(备8)={_2』,2},其子集个数为23=8.
〔尤+2J
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的综合运算,考查子集的个数问题,属于基础题.
4.(2021•全国高一期中)设所有被4除余数为M左=0,1,2,3)的整数组成的集合为人,即
Ak={x\x=4n+k,n^Z},则下列结论中错误的是()
A.2020eAQB.a+b^,则ae4,
贝
C.-leA3D.Ua-beA
【答案】B
【分析】
首先根据题意,利用&的意义,再根据选项判断.
【解析】
A.2020=4x505+0,所以2020©正确;
B.若a+beAs,贝l]aeA,6e4,或aeeA或aeeA,或awA,be&,故B不正确;
C.—1=4x(—1)+3,所以一1€&,故C正确;
D.a=4”+左,b=4m+k,m,n&Z,贝l|a—6=4(〃一m)+0,机)eZ,故a-6e4,故D正确.
故选:B
【点睛】
关键点点睛:本题考查集合新定义,关键是理解4的意义,再将选项中的数写出4中的形式,就容易判断
选项了.
5.(2020•海南高三期中)已知集合4={x](x+2)(x-2)<5},B={x|log2(x-a)>l,«e2V},若4口3=0,
则。的可能取值组成的集合为()
A.{0}B.{1}C.{0,1}D.N*
【答案】D
【分析】
解不等式确定集合4,3,然后由交集的结果确定参数。的取值范围.
【解析】
A={x|(x+2)(x-2)<5}={x|-3Vx<3},
JB={x|log2(尤—a)>l,aeN}={尤|尤>“+2,aeN},
因为AP|3=0,所以a+223,a>1.又awN,0aeN*.
故选:D.
【点睛】
本题考查由集合交集的结果求参数范围,解题时可先确定两个集合中的元素,然后分析交集的结果得出结
论.
6.(2020•江苏扬州市■扬州中学高一期中)己知全集0=14,集合4=卜卜(彳+2)<0},2=卜卜区1},则图中
阴影部分表示的集合是()
A.(-2,1)B.[-1,0]U[1,2)C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]
【答案】C
【分析】
由集合描述求集合A3,结合韦恩图知阴影部分为Co(AcB)c(AuB),分别求出C^AnB)、(AoB),然
后求交集即可.
【解析】
A={x|x(x+2)<。}={x|-2<尤<0},B=|x||x|<={x|-1<x<1},
由图知:阴影部分为Cu(Ac8)c(Au3),而Ac3={x|-lWx<0},AuB={x|-2<x<l},
^\Cu(Ar^B)={x\x<-l^lx>0]fgpCf/(AnB)n(AoB)={x|-2<x<-1^0<x<l},
故选:c
【点睛】
本题考查了集合的基本运算,结合韦恩图得到阴影部分的表达式,应用集合的交并补混合运算求集合.
7.(2020・辽宁高一期中)已知集合尸={x|x=2左,左eZ},Q={x|x=2左+1,左eZ},M={x|x=4k+1,左eZ},
且a挝Q,则()
A.a+b?PB.a+blQ
C.a+blMD.a+Z?不属于P,Q,M中的任意一个
【答案】B
【分析】
设出。力的值,相加再判断得解.
【解析】
,/a£P,:.a=2kl,匕£Z.
,/beQ,:.b=2k2+1&《Z.
:.a+b=2(%+无2)+l=2左+1£QA,左2,左£Z).
故选:B
8.(2020•上海市嘉定区第一中学高一期中)当一个非空数集G满足"如果aleG,则。+"。-6,必€6,且
历4)时,feG"时,我们称G就是一个数域,以下四个数域的命题;
b
①0是任何数域的元素;
②若数域G有非零元素,则2020eG;
③集合P={x|x=2k,keZ}是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是()
A.①B.②C.③D.④
【答案】C
【分析】
对于①,根据新定义,a,beF,当6到时,,取。=0,可判断出①,对于②,若数域尸中有非
b
零元素,歹可以取实数域,可取。=2020,b=l,可判断出②,对于③,由尸的元素知,%是3的倍数,
取。=6,6=3时可判断出③,对于④,若F是有理数,贝!J当beF,贝!Ja+6,a-b,abwF,且当
时,:e尸都成立,判断出④.
b
【解析】
解:对于①,根据新定义,。,bwF,当6W0时,yeF,对于。=0,可得0e尸,故正确,
b
对于②,若数域/中有非零元素,尸可以取实数域,可取a=2020,b=l,可得2021故正确,
对于③,由尸的元素知,x是3的倍数,当。=6,人=3时,£=2”,故错误,
对于④,若b是有理数,则当a,beF,则a+b,a-b,abeF,且当历4)时,fe尸都成立,故正确,
b
故假命题为③.
故选:C.
9.(2020•上海师范大学附属中学闵行分校)设集合4=卜卜2+2X-3>0},集合B=卜厂一?办一140〃>O},
若4口8中恰含有一个整数,则实数。的取值范围是()
A.1°,:C.D.(1收)
【答案】A
【分析】
先化简集合A,再根据函数y=/(x)=x2-2ax-1的零点分布,结合AcB恰有一个整数求解.
【解析】
A={x[x<-3或x>l},
函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,
而/(-3)=6a+8>0,/(-1)=2a>0,f(0)<0,
故其中较小的零点为(-1,0)之间,另一个零点大于1,f(1)<0,
要使AnB恰有一个整数,
即这个整数解为2,
0/(2)40且/(3)>0,
f4-4tz-l<0
即V,,
[9-6^-1>0
解得:;4,
I3
即33《a<4一,
43
-34、
则a的取值范围为
故答案为:A.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题,还考查了转化求解问题的能力,属于
中档题.
10.(2020•江西吉安三中高一期中)对于下列结论:
①已知0{xlx?+4x+a=0},则实数a的取值范围是(YO,4];
②若函数y=/(x+1)的定义域为[一2,1),则尸/(%)的定义域为[-3,0);
③函数y=2_J*2_4x+5的值域是(-8,1];
④定义:设集合A是一个非空集合,若任意xeA,总有a-xeA,就称集合A为。的"闭集",已知集合
A=l,2,3,4,5,6},且A为6的"闭集",则这样的集合A共有7个.
其中结论正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【分析】
A.考虑方程有解的情况;B.根据抽象函数定义域求解方法进行分析;C.根据二次函数的取值情况分析函
数值域;D.根据定义采用列举法进行分析.
【解析】
①由0{》|—+4苫+。=0}可得彳2+4%+。=0有解,gpA=42-4a..0,解得aW4,故①正确;
②函数y=〃x+l)的定义域为12,1),贝IJ-2?X1,故—”x+l<2,故y=/(x)的定义域为故
②错误;
③函数y=2-Jx」-4x+5=1-J(x-2)2+1,由于J(x-2)?+1e[l,+oo),故y=2-_以+5,故
③正确;
④集合A=l,2,3,4,5,可且A为6的"闭集",则这样的集合A共有⑶,{1,5},
{2,4},{1,3,5},{2,4,6},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7个,故④正确.
故正确的有①③④.
故选:D.
【点睛】
本题考查命题真假的判定,考查集合之间的包含关系,考查函数的定义域与值域,考查集合的新定义,属
于中档题.
11.(2020•陕西西安中学高三期中(文))已知A={(尤,yXr+VwLxeZ.yeZ},
8={(x,y)|禺43,|y|43,xeZ,yeZ}.定义集合A㊉3={a+尤2,M+y2)|(Xl,yl)eA,|(x2,y2)e5},则A㊉8的
元素个数〃满足()
A.n=77B.n<49C.n=64D.n>81
【答案】A
【分析】
先理解题意,然后分①当玉=±1,%=。时,②当当=0,%=±1时,③当士=0,%=。时,三种情况讨论即可.
【解析】
解:由A={(x,y)|Y+V41,无eZ,yeZ},B={(羽y)||x|<3,|j|<3,xeZ,yeZ|,
①当±=±1,X=。时,Xf+x2=-4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,
%+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,
此时A㊉3的元素个数为9x7=63个,
(2)当匕=0,X=±1时,为+无?=-3,-2,-1,0,1,2,3,
—
%+%=-4,3,—2,—1,0,1,2,3,4z
这种情况和第①种情况除X+%=-4,4外均相同,故新增7x2=14个,
③当占=0,%=0时,玉+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,
%+%=-3,0,1,2,3,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
A㊉8的元素个数为63+14+0=77个,
故选:A.
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断,重点考查了计数原理的应用,属中档题.
12.(2021•全国高一课前预习)对于集合出二,,二--;/,工©%3©%},给出如下三个结论:①如果
P=[b\b=2n+\,n&7^,那么P=M;②如果c=4〃+2,aeZ,那么<?任";③如果%sM,a2eM,那么0ta2cM.
其中正确结论的个数是
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【分析】
①根据2w+l=(“+l)2-“2,得出2〃+leAf,即P=
②根据c=4〃+2,证明4w+2?M,即CEM;
③根据。|£刊,a2eM,证明
【解析】
解:集合”={。1。=12,xeZ,yeZ),
对于①,b=2n+l,〃eZ,
则恒有2〃+1=("+1)2-〃2,
.-.277+leM,即尸={“。=2〃+1,neZ},则「口”,①正确;
对于②,c=4n+2,n^Z,
若4〃+2?M,则存在x,yeZ使得/-=4»+2,
「.4〃+2=(%+y)(%—y),
又x+y和x-y同奇或同偶,
若x+y和x—y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4〃+2是偶数;
若x+y和x—y都是偶数,贝!J(x+y)(x-y)能被4整除,而4a+2不能被4整除,
4n+2iM,即ceM,②正确;
对于③,a{&M,a?eM,
可设q=%;-yf,a2=—y2jX-、y£Z;
则%%=(4-yt)(x2—£)
=(占%)2+(M)2-(占%)2-(%%)2
22
=(xlx2+yiy2)~(xiy2+x2yl')
那么01a2eM,③正确.
综上,正确的命题是①②③.
故选£).
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想,是难题.
二、多选题
13.(2020,福建厦门一中)对任意A,B=R,记A㊉3={x|xeAU8,x史,并称A㊉3为集合A,B
的对称差.例如,若&={1,2,3},B={2,3,4},则A㊉3={1,4},下列命题中,为真命题的是()
A.若A,BqR且A㊉8=3,则4=0
B.若A,3=R且A㊉8=0,则A=B
C.若A,BqR且A㊉3aA,则A=B
D.存在A,B=R,使得A㊉8=瘠A㊉RB
【答案】ABD
【分析】
根据新定义及交、并、补集运算,逐一判断即可.
【解析】
解:对于A选项,因为A㊉3=8,所以3={x|xeAu民尤芒AcB},
所以A=8,且B中的元素不能出现在4口8中,因此A=0,即选项A正确;
对于B选项,因为A㊉3=0,所以0={x|xeAcB},
即AU3与AA3是相同的,所以A=3,即选项B正确;
对于C选项,因为A㊉3=A,所以{尤|xeAc/?}=A,
所以即选项C错误;
对于D选项,设4=例尤<2},B={x|x>l},则aU3=R,ACB={X[1<JC<2},
所以A㊉3={xWl或x22},又伞4=例行2},砥8={小<1},
(廨M㈤―xN2},(瘵l)n(握)=0,
所以(椒)3M)={小41或X22},
因此A㊉3=寤4㊉RB,即。正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题主要考查新定义,考查了交、并、补集的混合运算,属于中档题.考查了学生的转化与化归能力,逻辑
推理能力.
14.(2020,宝山区•上海交大附中)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪•直到1872年,德国数学家
戴德金从连续性的要求出发,用有理数的"分割"来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严
格的科学基础上,才结束了无理数被认为"无理"的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危
机•所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MuN=Q,McN=0,
M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(”,N)为戴德金分割•试判断,对于任一戴德金分割
(M,N),下列选项中,可能成立的是()
A.M没有最大元素,N有一个最小元素
B./W没有最大元素,N也没有最小元素
C.M有一个最大元素,N有一个最小元素
D.M有一个最大元素,N没有最小元素
【答案】ABD
【分析】
举特例根据定义分析判断,进而可得到结果.
【解析】
令“=印》<10,》©。},N={x|xN10,xe。},显然集合M中没有最大元素,集合N中有一个最小元素,
即选项A可能;
☆M={x[x<VIxeQ},N={x\x>y[2,xeQ},显然集合M中没有最大元素,集合N中也没有最小元素,
即选项B可能;
假设答案C可能,即集合M、N中存在两个相邻的有理数,显然这是不可能的;
令/={犬|》410,犬©0},N={Hx>10,xe。},显然集合M中有一个最大元素,集合/V中没有最小元素,
即选项D可能.
故选:ABD.
15.(2021•江苏省祁江中学高二期中)下列叙述正确的是()
A.集合N中的最小数是1B.{x|x>l}={x|x21}
C.方程d-6x+9=0的解集是⑶D.{4,3,2}与{3,2,4}是相等的集合
【答案】BCD
【分析】
利用自然数集元素的大小判断A;利用集合的包含关系判断B;利用方程的解判断C;利用集合的基本性质
判断D.
【解析】
对于A,集合N中的最小数是0,不是1,故A错误;
对于B,{x|x>l}u{x|x21}满足集合的包含关系,故B正确;
对于C,方程/一6尤+9=0的解为国=彳2=3,故其解集是{3},故C正确;
对于D,{4,3,2}与{3,2,4}是相同的集合,满足集合的基本性质,故D正确.
故选:BCD
16.(2021・江苏)设非空集合满足:当X0S时,有x20S.给出如下命题,其中真命题是()
A.若m=l,则5={%|%21}B.若"7=-;,则
C.若"=L则D.若n=l,则
22
【答案】BC
【分析】
先由非空集合5=卜忱4尤4〃}满足:当而S时,有x20S,判断出机2/或加<0,0<n<l,对照四个选项分
别列不等式组,解出不等式进行一一验证即可
【解析】
团非空集合5=旧加VxV〃}满足:当X0S时,有*2蚯
回当时,有而回$,即疗2相,解得:〃让/或加40;
同理:当版S时,有。2型,即〃2«〃,解得:0<«<1,
对于A:m=1,必有m2=l回S,故必有八解得:m=n=\,所以S={1},故A错误;
[0<n<l
对于B:加=-小必有在二:血故必有<~,解得:-<n<l,故B正确;
24[0<n<14
m<—
2厂
对于C:若w=[,^\m<m2,解得:-在WmW0,故C正确;
2,12
m2<—
[2
m<1
对于D:若n=l,<<m<m2,解得:-"〃心0或M=1,故D不正确.
m2<1
故选:BC
【点睛】
方法点睛:新定义题(创新题)解答的关键:对新定义的正确理解.
事先尤选提升题
三、填空题
17.(2021・上海徐汇区•位育中学高一月考)已知aeR,集合A={x|ga-l<x<;a+l},设关于x的不等式
依</+『1的解集为B,若Au5,则实数“的取值范围为
【答案】(9,一4]51,内)
【分析】
求出集合B,根据AuB建立不等式求解即可.
【解析】
由方</+『1可得,
当“=1时,不等式无解,即2=。,不符合AuB.
当。>1时,由不等式解得x<a+l,即8={x|x<a+l},
由AuB则需3。+14。+1,解得a20,
所以”>1,
当a<l时,由不等式解得x>a+l,即2={x|尤>。+1}
由AuB则需。+14]。一1,解得。W-4.
综上,。<-4或。>1.
故答案为:(T»,-4]U(1,+(»)
18.(2021•凤城市第一中学高一月考)已知有限集4={4,%,…,%}(〃N2,〃eN*),如果A中的元素
%(i=1,2,3,…满足q.%...an=a}+a2+---+an,就称A为"复活集”,给出下列结论:
①集合,匚芸,^^仓>是“复活集";
②若4,%eR,且{%%}是"复活集",则%%>4;
③若01geN*,则{知%}不可能是“复活集".
其中所有正确结论的序号有.
【答案】①③
【分析】
根据新定义检验①,由新定义构造一元二次方程,利用判别式证明判断②,利用新定义,结合不等式的知
识判断③.
【解析】
①匚产=+曰黄=_1,故①正确.
②不妨设%+。2=。陷2=,,则由根与系数的关系知的,出是一元二次方程%2-比+/=0的两个不相等的实数
根,由A>0,可得/-4r>0,解得f<0或f>4,故②错误.
③根据集合中元素的互异性知4片的,不妨设4〈%(q,4©N*),由q%=q+g<2外,可得弓<2.
•rqeN*,;.%=1.于是1+%=卜生,无解,即不存在满足条件的“复活集",故③正确.
故答案为:①③.
19.(2022•全国)已知集合A,8都含有12个元素,AnB含有4个元素,集合C含有3个元素,且满足电姐,
CnA血,Cn8血,则满足条件的集合C共有个.
【答案】1028
【分析】
按照C中含有AnB中元素个数分C0(AcB)、C中含有AaB中2个元素、C中含有AnB中1个元素、C中不
含ACB中元素4类计算可得.
【解析】
依题意设4={。1,。2,03,。4,05,06,07,08,Xl,X2,X3,X4),
B={bi,岳,加,九,bs,bs,by,优,Xi,X2,X3,X4},
当C0(AcB)时,集合C共有C:=4个;
当C中含有ACB中2个元素时,集合C共有C1C;6=96个;
当C中含有AnB中1个元素时,集合C共有=480个;
当C中不含ACB中元素时,集合C共有《<;+2・隽=448个
故满足题意得C共有1028个.
故答案为:1028个
20.(2021•福建福州三中高一开学考试)已知集合Z»={aeR|(x-1)a2+7ax+x2+3x-4=0},{0}=4则x的值
为.
【答案】1或T.
【分析】
解方程7x0xx+x2+3x-4=0,即得%=1或%=Y,检验即得解.
【解析】
因为{0}=4
所以7x0x%+X2+3X-4=0,
所以%=1或x=-4.
当尤=1时,7a+l+3-4=0,所以。=0,集合上{0},满足题意;
当x=T■时,-5片—28。+16-12-4=0,/.Q=0或〃=—集合A二{。,——}»满足题意.
故答案为:1或Y.
21.(2021•福建省厦门第二中学高三月考)若尤eA,则就称A是伙伴关系集合,集合
X
〃=1T,0,;,;/,2,3,41的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数为.
【答案】15
【分析】
首先确定具有伙伴集合的元素有1,T,"3和,”,"2和;''四种可能,它们组成的非空子集的个数为即为
3乙
所求.
【解析】
因为leA,-=1EA;—1eA>~^=-1EA;
1—1
2EAf万£人;3GA,—GA;
这样所求集合即由1,-E"3和9,"2和卜‘这"四大"元素所组成的集合的非空子集.
3乙
所以满足条件的集合的个数为24-1=15,
故答案为:15.
22.(202”江苏高一专题练习)已知集合。={1,2,3,…,〃}(weN*,〃N2),对于集合。的两个非空子集A,B,
若4口8=0,则称(A3)为集合U的一组"互斥子集记集合U的所有“互斥子集"的组数为/(〃)(当且仅
当A=3时,(AB)与(B,A)为同一组“互斥子集"),则/⑹=
【答案】602
【分析】
根据题设条件,集合。中的任一元素只能在集合A,B,加(AU3)之一中,求出"个元素的种数,再去掉A,
8为空集的种数可得八%取n=6即可得解.
【解析】
令C=d(Au3),如图,全集。被划分成A,B,C三个部分,。中的任意一个元素只能在集合A,B,C之
一中,有3种方法,
则这。个元素在集合4B,C中,共有3"种,
其中4为空集的种数为2",B为空集的种数为2",则A,B均为非空子集的种数为3"-2向+1,
因当且仅当A=3时,(A团与(氏A)为同一组"互斥子集",而4口3=0,满足4口3=0的(A,B)与(B,A)不
是同一组“互斥子集",
于是得集合U的所有“互斥子集"的组数为〃冷=3"-2"+1+1,
所以"6)=36-2m+1=602.
故答案为:602
23.(2021•江苏)设集合X是实数集R的子集,如果点吃eR满足:对任意a>0,都存在xeX,使得
0<|x-x0|<a,称为为集合x的聚点,则在下列集合中:
①{xeZ|x/0};②{尤|尤cR,尤片0};(3)1x|x=—,weN*
以0为聚点的集合有.
【答案】②③
【分析】
根据集合聚点的新定义,结合集合的表示及集合中元素的性质,逐项判定,即可求解.
【解析】
由题意,集合X是实数集R的子集,如果点尤°eR满足:对任意。>。,都存在xeX,使得0<卜-/|<4,
称%为集合X的聚点,
①对于某个。>0,比如a=0.5,
此时对任意的尤e{xeZ|x片0},都有q-%|=0或者>1,
也就是说不可能0<归-与卜0.5,从而。不是{xeZ|x片0}的聚点;
②集合{xeR|xw。},对任意的。,都存在x=£(实际上任意比。小得数都可以),
使得0<W="|<a,00是集合{xcR|xwO}的聚点;
,〃eN*中的元素是极限为0的数列,
对于任意的存在〃>—,使0<国=一<。,
00是集合x=上”N*的聚点;
④中,集合xx=—J,〃eN*中的元素是极限为1的数列,除了第一项0之外,其余的都至少比0大;,
In+1J2
回在的时候,不存在满足得。<N<。的X,
00不是集合的聚点.
故答案为:②③.
【点睛】
本题主要考查了集合新定义的应用,其中解答中认真审题,正确理解集合的新定义一一集合中聚点的含义,
结合集合的表示及集合中元素的性质,逐项判定是解答的关键,着重考查推理与论证能力,属于难题.
24.(2021•山东高考真题)集合N,S都是非空集合,现规定如下运算:M30=
{x[%£(MCN)5NCS)D(SCM)且%eMcNcS}.假设集合A={H〃vxvb},B=^x\c<x<d^,
C=[x\e<x<f],其中实数a,b,c,d,e,/满足:(1)ab<0,cd<0;ef<0;(2)b-a=d-c=f-e;
(3)b+a<d+c<f+e.计算AO5G)C=.
【答案】{x\c<x<e^b<x<d]
【分析】
由题设条件求a,b,c,d,*/的大小关系,再根据集合运算新定义求A9GC即可.
【解析】
a+Z?vc+d,。一c<d—b;a—h=c—d,—c=b—d;
^\b-d<d-b,b<d;同理d</,
⑦bed<f.由(1)(3)可得a<c<e<0<h<d</.
回Ac5={x|cvx<〃},BryC=^x\e<x<d^,CA=\^x\e<x<b^.
>1。50。={%]。<%<6或匕<%<2}.
故答案为:{%|c<x〈e或Z?<x<d}
四、解答题
25.(2020•上海市南洋模范中学高一期中)已知集合&={尤|f-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-l=0),
C=1^r|x2+2(m+V)x+m2-5=0}.
(1)若Au3=A,求实数a的值;
(2)若AC|C=C,求实数m的取值范围.
【答案】(1)a=2或3;(2)—3].
【分析】
(1)先求解出方程彳2.3尤+2=0的根,则集合A可知,再求解出Y一办+°一1=0的根,则可确定出集合8,
根据=A得到8=4,从而可求解出的可取值,贝I」。的值可求;
(2)根据ACC=C得到C=A,分别考虑当C为空集、单元素集、双元素集的情况,由此确定出。的取值.
【解析】
(1)由尤2-3x+2=0得x=l或2,所以A={1,2},
由尤2—ax+a-1=0得x=l或。一1,所以leaa—leg,
因为=所以31A,
所以。一1=1或2,所以a=2或3;
(2)因为&nC=C,所以C=A,
当C=0的时,A=4(m+l)2-4(/7t2-5)<0,解得机<一3,
A=4(m+l)2-4(m2-5)=0
当°={1}时,无解,
1+2(m+l)+m2-5=0
,、A=4(m+l)2-4(m2-5)=0
当C={2}时,,、',1-解得根=一3,
4+4(/〃+1)+"—5=0
,、fl+2=-2(m+l)
当。={1,2时,无解,
[l-2=m-5
综上,实数m的取值范围是(f,-引.
【点睛】
结论点睛:根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系:
(1)若=则有8=A;
(2)若AH3=A,则有AuB.
26.(2020•邹城市第一中学)设全集是R,集合&={小2-2尤一3>。},B={x\l-a<x<2a+3}.
(1)若a=l,求@A)cB;
(2)问题:已知,求实数。的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并进行解答.
@AC[B=B(2)A\JB=R③Ap|8=0
【答案】⑴{x|0<x<3};(2)具体选择见解析.
【分析】
(1)解不等式苫2-2工-3>0得4={尤打<-1或%>3},进而根据集合运算求解即可得答案.
(2)选①:由An3=3得B=再分3=0和3W0时两种情况求解即可得答案;
f1—a<—1,、
选②:由41^=尺得2°+3>3'解得。>2.故所求实数。的取值范围是(2,e).
选③:由4口3=0,故分3=0和3工0两种情况讨论即可得答案.
【解析】
解:(1)解不等式•?一2无一3>0得4={尤|*<一1或彳>3},
所以("A)={HTVXW3}.
若a=l,贝lj8={x[0<x<5},
所以(54)03={乂0<%<3}.
(2)选①:A^}B=B,则BgA.
2
当3=0时,贝!)有1—a22a+3,BP«<——;
1—a<2a+31—a<2a+3
当时,则有或,此时两不等式组均无解.
2a+3«—11—a23
综上述,所求实数。的取值范围是
选②:A\JB=R,由于3={x|l-o<x<2a+3},
则有解得a>2.
2。+3>3’
故所求实数。的取值范围是(2,y).
选③:403=0,由于8={Hl—a<x<2a+3},所以
2
当3=0时,则有1一〃22〃+3,即。(一§;
1—。<2〃+3
2
当5W0时,则有1—42—1角犁得一一<a<0.
2。+3V3、'
综上述,所求实数。的取值范围是(y,。].
【点睛】
本题考查集合的交并补运算,考查分类讨论思想与运算求解能力,是中档题.本题第二问如果选择①,③解
题,易错的点在于容易忽视3=0情况而出现错误,故解题时需考虑全面.
27.(2020•河北邢台•高一期中)在①3={X—2<x<3},@^B={X|-3<%<5),(3)B={x|x>a2+6)>
AuB={x|x>a}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
问题:已知非空集合A={x|“<x<8-q},,若An3=0,求”的取值集合.
【答案】答案见解析.
【分析】
选①:本题首先可根据A是非空集合得出“<4,然后根据AC13=0得出或8-。4-2,最后通过计算
即可得出结果.
选②:本题首先可以根据A是非空集合得出“<4,然后根据\8={目-3Vx<5}求出集合8,最后根据
4口8=0列出不等式组,通过计算即可得出结果.
选③:本题首先可以根据A是非空集合得出。<4,然后根据题意得出"+6=8-°,最后通过计算即可得
出结果.
【解析】
选①:因为A是非空集合,所以解得。<4,
因为8={x[—2<x<3},AplB=0,
所以或8-aW-2,解得心3或。210,
综上所述,。的取值集合是{a|3Va<4}.
选②:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4,
因为\3={尤|一3<》<5},所以8={小4一3或让5},
a>-3
因为An5=0,所以8—aV5,解得3Wa<4,
〃<4
故。的取值集合是{中4a<4}.
选③:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4,
因为AC|3=0,B=|x|x>a2+6^,A'UB=^x\x>,
所以"+6=8-。,解得。=-2或1,
故。的取值集合是{-2』}.
【点睛】
关键点点睛:本题考查根据集合的运算结果求参数的取值范围,若两个集合的交集为空集,则这两个集合
没有相同的元素,考查集合的混合运算,考查计算能力,是中档题.
28.(2020•常州市北郊高级中学高一期中)已知集合4={刈工41或工35},集合3={尤|224xVa+l}
(1)若a=l,求4口8和AUB;
(2)若记符号A-8={xeA且尤任8},在图中把表示"集合A-3”的部分用阴影涂黑,并求当。=1时的A-此
(3)若ARB,求实数a的取值范围.
【答案】(1)An8={x|0<x<l},AUB={x|尤42或x35};(2)阴影图形见解析,A-B=[x\x<O^x^5);
(3)aVO或a>3.
【分析】
(1)当。=1时,求得集合B,根据交集、并集的运算法则,即可求得答案;
(2)阴影图形见解析,当"=1时,求得集合B,根据A-3的定义,即可求得答案;
(3)由题意得31A,分别讨论3=0和3工0两种情况,根据集合的包含关系,即可求得。的范围.
【解析】
(1)当a=1时,B={x|04x42},
所以An8={x[0<x<l},AUb={x|x42或无35);
(2)A-B的部分如图所示:
当a=l时,A—5={%|xK0或x35};
(3)因为4口5=5,所以B=A,
当3=0时,2a-2>a-\-l,角星得〃>3,
fa+l<l(2a-2>5
当3W0时,则或,
[2〃-2Wa+1[2a-2Wa+1
解得"VO或0,
综上:aVO或a>3.
【点睛】
易错点为:根据集合包含关系求参数时,当且集合B含有参数时,需要讨论集合B是否为空集,
再进行求解,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.
29.(2020•湖北)已知集合4=
(1)若加=3时,求API做8);
(2)若473=4,求实数m的取值范围.
「197~
【答案】(1){x\-2<x<2];(2)-y,-.
【分析】
(1)依题意先求出集合A和集合8,再求出为8,然后按照交集的定义求出结果即可;
(2)由AuB=A可得出3三人,然后分8=。和8/。两种情况进行分类讨论,进而求出结果即可.
【解析】
(1)A={x卜2<x44},当m=3时,B={x|2<x<5},
E|CR3={X|XV2或x25},An(^B)=|x|-2<x<2};
(2)团AD5=A,回3三A,
令/(x)=x2-(m+4)x+m+7,
①当3=。时,即〃%)20恒成立,所以A=(m+4/一4(m+7)W0,
解得:-6<m<2;
②当时,即/(x)<0有解,所以机<-6或加>2,
令〃力=0,解得:tj+4±J(",+4)2-4(加+7),
2
m+4±^(m+4)2-4(m+7)
>-2
所以__J__________
m+4±J(m+4)2-4(m+7)
<4
2
197
角军得一--<m<-6^2<m<—
综合①②得加的范围是
【点睛】
易错点点睛:由Au5=A可得出8三A,然后进行分类讨论,切记别漏掉5的情形,否则容易漏解.
30.(2020•肥东县综合高中高一期中)已知集合。=何—14x42,xeP},A={x|0<x<2,xeP),
(1)若「=11,求A/A中最大元素m与孰8中最小元素。的差s-";
(2)若尸=Z,求和酬人中所有元素之和及疫(人可.
【答案】⑴3;(2)所求元素之和为1,瘠鼠为={-1,1,2}或飘/?)={-1,0,1,2}.
【分析】
(1)根据尸=R,然后利用补集的运算,分别求得乐4,再求解.
(2)根据P=Z,得到A={x|0<尤<2,xeZ}={0,l},B={1}或{0,1},进而得到十8={。}或=0求解.
【解析】
(1)因为尸=R,U={x|-l<x<2,xeP),
所以={尤|-14x<0或x=2},={x\-l<x<-a,1<x<2},
团根=2,n=—l,
0m—H=2—(—1)=3.
(2)回尸=Z,
0[7={%]-l<x<2,xeZ}={-l,O,l,2},
0A={x|0<x<2,xeZ}={0,1},B={1}或{0,1}.
回。3={0}或«B=0,即。B中元素之和为0.
又屯A={-1,2},其元素之和为-1+2=1.
故所求元素之和为0+1=1.
回«3={0}或«8=0,
0飘M)={-LL2}或十(dAB)=0,0=[/={-1,0,1,2).
【点睛】
本题主要考查集合的补集运算,还考查了分析求解问题的能力,属于中档题.
31.(2017•上海市川沙中学高一期中)符号卜]表示不大于x的最大整数(xeR),例如:
[1.3]=1,[2]=2,[-1.2]=-2
(1)已知区=2,国=-2,分别求两方程的解集M、
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