高中数学三角函数经典例题及详解

高中数学三角函数专题复习

考试要求

三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数

刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会弓I入弧

度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称

性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三

角函数构建数学模型，解决实际问题。

内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等

变换、三角函数应用。

（1）角与弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。

（2）三角函数概念和性质

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函

数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用

兀

定义推导出诱导公式（a±-,a±n的正弦、余弦、正切）。

兀K

②借助图象理解正弦函数在、余弦函数［02兀］上、正切函数在（一一，一）上的性质。

22

③结合具体实例，了解J=%sin（（ox+<p）的实际意义；能借助图象理解参数<匕

A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

（3）同角三角函数的基本关系式

一,.sinx

理解同角三角函数的基本关系式si"x+cos2=l,^_=tanx

XCOSx0

（4）三角恒等变换

①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正

弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公

式，这三组公式不要求记忆）。

（5）三角函数应用

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模

第1页共21页

型

经典题型

一、求值化简型

这类问题常常用到的公式包括三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍公式、降

鬲公式、辅助角公式

1、公式运用

2

【例】(1)已知&a=3,求：_sin2a+J_cos2a的值。

34

(2)已知a+sina=m,tana-sinoFn(awGZ),

m-n

求证：COSa=-------

力+附

(1)解：：sir)2a+'cos2a=-'(l-2sin2a)+'+'(2cos2a-l)+:=一!cos2a+；cos2a+''

34J3o83824

L.1

3Sin'a+4COS2x=-2(l-2sin2a)+14-i(2cos2a-l)+l=-lcos2a+lcos2a+H

33883824

sin2a)+1+(2cos2a-l)+1=-1cos2a1os2a11

+C+5cos2a-sin2a11=5besRift2-e(8in51

+=-----------------1----*一

388382424cos2a+sin2a2424LestMHSginZa24

(2)证明：两式相加，得tana=2之sina

2cosa

.m-n

两式相减，得sina

2

*22sinCCm-n

所以cosa=--------=-------

勿+nm+n

【举一反三】兀

兀1兀兀

【练】已知sin%+2a)•sin(_-2a)=—,ae(了,),求2sin2a+tana-cota-1的直

717r7T7U

解：由sin(_+2a)・sin(—-2a)=sin(_+2a)・cos(_+2a)

4444

1.71..11

=-sin(—+4a)=__cos4Aa=-

2224

1/.兀兀、匚匕r、［5兀

得COS4a=_・又ae(所以a=_.

242,12°c

sin2a-cos2a-2cos2a

于是2sin2a+tana-cota-1=-cos2a+-----------------=-cos2a+------------

sinacosasin2a

=-(cos2a+2cot2a)=-(cosj^+2cot=-(-且一2/)=1

6622

【练】如图，在直角坐标系乂3中，角a的顶点是原点，始边与'轴正半轴重合，终边交

7T兀7T

单位圆于点力，且ae(_」).将角a的终边按逆时针方向旋转_,交单位圆于点B.记

623

第2页共21页

/(X,)),B(X,j).

1122

(I)若X=_,求X；

132

(II)分别过力,B作4•轴的垂线，垂足依次为GD.记△AOC

的面积为S,△BOD的面积为S.若S=25,求角a的值

1212

(I)解：由三角函数定义，得x=COSa,x=COS(a+?

123

itn1

因为aCOSa=

623

所以sina=-cos2a=-----.

3

所以x=cos(a+[)=Jcosa-苏sina=1-2卡

23226

解：依题意得

(II)J=sina,7=sin(a+5.

123

111

所以S=_cosa•sina=_sin2a,

i2ii24

jITTT

S=_Ix\y=_[-cos(a+_)}sin(a七)=:sin(2a+?

222223343

依题意得sin2a=-2sin(2a+<),

3

整理得COs2a=0.

71TT71.

因为一<a<_,所以_<2a<7r,

623

71兀

所以2a=-即。=-

24

2、三角形中求值

【例】在ZiABC中,a=3,b=2遍，/B=2NA.

(I)求cosA的值；

(口)求c的值.

解：(1)因为a=3,b=2Jg,/B=2NA.所以在4ABC中，由正弦定理得_2_=-•所以

sinAsin2/

2sm二处故cos力=近.

sin^433

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⑴)由⑴知cos/=2^,所以sinA=JI_COS2A=正,又因为NB=2NA,所以

33

cos8=2cos2/-l=」.所以sinB=4一cos2B=2^.

33

在AABC中,sinC=sin(4+B)=sin4cosB+cosAsinB=—.

asinC.

所以c=-^-=5・

sinA

【举一反三】

【练】设A4BC的内角的B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.

⑴求B

r_i

(Il)^sin>lsinC=-......,求C.

4

解：(I)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac

所以a2+C2-Z72=-ac

c(72+C2一切1

由余弦定理得cosB=--------=-

2ac2

因此B=120()

(ID由(D知，/+C=6Oo

所以cos(4-C)=cosAcosC+sinAsinC

=cosAcosC-sinAsinC+2sin4sinC

=cos(4+C)+2sinAsinC

―1+2x/T=百

242

所以4-C=±30()

所以C=15。或C=45。

③三角不等式

7t71X

【例】已知函数/(x)=sin(x-_)+cos(x-_),g(x)=2sin2一

632

第4页共21页

3万

⑴若a是第一象限角，且/(a)=羊.求以a)的值；

(II)求使/(M成立的x的取值集合.

解：⑷

/■(X)=2i2.sinx-J-cosx+Icos>r+2iAsinx=-J3sinx=>/(a)=%/3since=212..

22225

37i4a1

nsina=-，aG(0,-)=cosa=_,MXa)=2sin2_=1-cosa=_

52525

⑴)/(ME)="m-os-亭…#s……看)2；

=>x+ZLG[26兀+±,2/兀+nxw[2上兀,26兀+丝I,电eZ

6663

二、图像和性质型

1、求范围

①)=4in(co》+(p)+B型

【例】已知函数/(x)=sin2(ox+Osin8xsin|s=+—|(8>°)的最小正周期为几

(I)求①的值；

「2n一

(II)求函数/(*)在区间0,二[上的取值范围.

解：(I)/(')=1C°S28"+"3sin?3乂=抠sin2(0x-】ccs2t0x+1

22222

(、】

—(07t]1

sin|2__

\x-JI+

6712-

因为函数/(M的最小正周期为兀,且s>0,

2兀,

所以一=兀，解得3=1.

(II)由(1)得/(M=sin।2、一“।+

I6)2

eVv2兀

因为0工=丫&：_

3

第5页共21页

所以一［Wir—二W，，

666

1w,“'w

所以一29［2»5厂］,

nVf吟1<3「31

因此°、sm(2x—即/⑴的取值范围为妙闰

【举一反三】

.717171

【练】已知函数/(X)=cos(2x-_)+2sin(x-_)sin(x+_J

344

(1)求函数/(x)的最小正周期和图象的对称轴方程

兀71

(II)求函数/(X)在区间［-豆,］］上的值域

71TI71

解：(1)v/(x)=cos(2x-_)+2sin(x-_)sin(%+_)

344

1

-R

2--sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)

1E

_cos2x+sin2x+sin2尢一cos2x

22

用sin2x-cos2x

=—cos2x+

2

=sin(2x-1)

,6

...周期T=4=7T

由匕一；=曲+T(AcZ),得x=?+eZ)

f兀

函数图象的对称轴方程为x=kn+,*wZ)

冗7T7T兀5兀

⑵•/xGH—-2x——e

122o5o

7C7C7TJU7C

因为/(x)=sin(2x—/)在区间［一石，5］上单调递增，在区间［］上单调递减,

012532

71

所以当元=_时，/(无)取最大值1

3

兀H兀1兀E

又；/(一一)=一±</(_)=_，当工=一一时，/(X)取最小值一X士

12222122

第6页共21页

所以函数/W在区间［-三,2］上的值域为［—立,1］

1222

②二次函数型

【例】求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x_4cos4x的最大值与最小值。

【解】：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos

=7-2sin2x+4cos2xl-cos2尤

=7-2sin2x+4cos2%sin2x

=7-2sin2r+sin22x

=(1-sin2x)2+6

由于函数z=(〃-l)2+6在Ll中的最大值为z=(-1-1)2+6=10

max

最小值为z=(1-1)2+6=6

min

故当sin2x=T时），取得最大值10,当sin2x=l时y取得最小值6

2、求单调区间/

【例】已知函数_/W=&

sin（+—

⑴求共幻的单调递增区|,%a、Q

⑵若a是第二象限角，j4（cos2a,求cosa—sina的值.

ITJ=5COSC.］

解：（1）因为函数^=5布》的单调递增区间为1一"+2%"n2knLZCZ,

LY11'亍+J

JIJIJI

由--^+2女冗<3x+-+22n,

Ji2knn2k

得一不+刀一《普+丁kU.

所以，函数;(x)的单调递增区间为「n2knn2kn~\

「彳+丁i2+^rz-

(吟4A吟

⑵由已知，得sin^a+7J=^cos^a-F}J(cos2a—sin2Q),

所以sinacosacosa—sina(cos?a—sin2a),

即sina+cosa(cosa-sina)2(sina+cosa).

=5

当sina+cosa=0时，由a是第二象限角，

3n

得a=^~+2k^,kRZ,

第7页共21页

此时，cosa—sina=一5

当sina+cosaWO时，(cosa—sina)2'

=4'

§T

由a是第二象限角，得cosa—sina<0,此时cosa—sina=一上

综上所述，cosa—sina=——斗；

【举一反三】

【练】已知函数f(x)=6sin(3x+(p)-cos(3x+<p)(0<<p<兀,(0>0)为偶函数，且函数

7T

y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为二

2

it

(I)求f(3)的值；

n

(||)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长

到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解：(I)f(x)=73sin((ox+(p)-cos(cox+(p)

=2|0sin((ox+(p)—cos(cox+(p)

［长2

7t

=2sin(3x+①-_)

6

因为f(x)为偶函数，

所以对*££仪-外二£6)恒成立，

717t

因此sin(+(p-_)=sin(COx+<p-J.

66

7t

即-sin①xcos(①-)+cos(0xsin(①-)=sinO)xcos(<P-)+cosO)xsin((P-),

6666

7TIt

整理得sin①力(：05(中-_)=0.因为①〉。，且xER,所以cos((p-_)=o.

不6

717t7t

又因为0<3<71,故中-_=_.所以f(x)=2sin(gx+_)=2cos3x.

622

Ojr.7T

—=21—,所以3=2.

由题意得(02

故f(x)=2cos2x.

7171

因为/(_)=2cos_=^,/2.

ren

(II)将f(x)的图象向右平移个7•个单位后，得到/(X-N)的图象，再将所得图象横坐标

66

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伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到/6一：)的图象♦

it46兀兀

所以/刈=/(兀一)=I兀—兀J=2cos/(一).

；72咒2(丁$J；；

兀兀

当2kTTW———W2kTT+n(kez),

23

2兀8兀

即4kn+这——wxw4kn+—(kGZ)时，g(x)单调递减.

33

.2兀/,8兀］

因此g(x)的单调递减区间为4左兀+—,44兀+_(kez)

L33」

3、图像型

【例】已知函数/(x)=，sin(x+(p)(/>0,0<Q<7r),xeR的最大值是1,其图像经过

点M

(1)求/(⑼的解析式；

(2)已知a邛/*，且/(a)=3,/(P)=12,求/(a—B)的值.

l°2j?U

兀1711

【解】⑴依题意有/=L贝iJ/(M=sin(x+(P),将点Af(耳,])代入得0上(1+中)=2,

兀571

而0<(p<7i,.-._+(p=_K,.-.<p=_,Sk/(x)=sin(x+^_)=cosx；

■J622

3O12n小兀、

(2)依题意有cosa=_,cosP=_,而a,pG(o,_),

5132

/(a-P)=cos(a-P)=cosacosP+sinasinP=2J△=?

51351365°

K举一反三)

【练】已知函数/3)=2cos2(0、+2sin3xcos8x+1(XGR,<O>0)的最小值正周期是

71

2-

(I)求8的值；

(II)求函数/(X)的最大值，并且求使/(M取得最大值的X的集合.

第9页共21页

解：(I)

/)c1+cos2coX.三.

f\x)—2-__________+sin2o)x+1

~T~

=sin0cox+cos2轮•+2m+2

co+cos2(oxsin

2xcos-

仔co£

、''2sin|2x+|

+2

由题设，函数/(D的最小正周期是“，2兀兀八

可得_=_,所以3=2.

22a)2

(II)由(I)知,人2=

sin4x2

V21+-

it兀兀kit屋工)时取得…，所以函数

当4x+—=—+2必兀'即乂=+——

42162I4；

/Q)的最大值是2+瓢，此时*的集合为卜IX=三+^71,kezj

16TJ

【练】已知函数/Q)=

(I)将函数化简成Zsin(8x+(P)+B(4>0,®>0,<pG[0,2?t))的形式；

(II)求函数g(M的值域.

1-sinx,.1-cosX

解：(I)g(x)=cosx.-------+sinx.

1+sinxl+COSX

f(l-sinx)2(1-COSx)2

cos----------4-sinx.

VC0S2Xsin2x

1-sinx..1-cosx

=cosx-------+sinx-----1.

|cos|sin乂

(17兀]

xG7t,cosx=-cosx,sinx=-sm

・・,〔mii।।

/、l-sinx1-cosx

/.g(2=cos“-------+sin--------

-cosx-sinx

=sinx+cosx-2

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=>/2sin|^x+—J-2.

//17n,5兀/n,5n

(II)由兀<x<_^导_<*+一K—・

(5兀3黯44(5兀］

smr在，上为减函数，在，上为增函数，

又5Vsm(》+?<聊牛(当x］阳等］)，

即-1Wsin(x+$<--；.-亦-24"sin(x+^)-2<-3,

424

故g(x)的值域为卜点一2,召).

XXX

【练】已知函数/(x)=2sin-cos—-2jTsin2-+W.

444

(I)求函数/(x)的最小正周期及最值；

(兀、

(II)令8。)=/［工+可/判断函数仪的的奇偶性，并说明理由

XX

解：(I),.•/(幻=5m2+疯l—2sin2/=sin

2兀

/W的最小正周期T=一4兀.

1

/、2ZX

当sin*+=T时，/(x)取得最小值-2;当sin+=1时，/(x)取得最大值2.

b寸［25

(II)由(I)知，(x)=2sin:+।•又g(x)="r+兀

卜司I?

J/\~\^.(X7TX

•••g(x)=2sinf\=2sin||=2cos2.

g(-x)=2cos［=2cos:=g(x).

•,22

二函数g(x)是偶函数.

三'解三角形型

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1、求基本元素

54

【例】在△ABC中，cosB=-_,cosC=_

（I）求sinZ的值；（H）设△/BC的面积S=_,求BC的长•

△/1BC9

512

解：（［）由cosB=__,得smB=_,

由cosC_,得sinC_.

55

所以sinA=sin（B+0=sinBcosC+cosBsinC二

33133

（II）由S=二得）、/3*力（；*6114三二，

△XBC222

.”33

由（I）知sinN=—.

OJ

故力BxNC=65,

AC=ABxsinB20.

▽----=—AB,

故—ABi=65AB=—.

132

BC=ABxsinA_n

所以F-，

K举一反三）

【练】在A4BC中，角力,B,C所对应的边分别为％〃,，，〃=2J',tan^++tan—=4,

22

2sinBcosC=sinN,求4,B及女，

tanA+BC=4得cot'+tan0=4

----+tan———

解：由2222

C.c1

cos戈sin2=4

+_____4，.

c~c

cos—sin—cos—

222

1兀、5兀

sinC=—,又Ce（0,兀）C=—，或。=——

266

由2sinBcosC=sin/得2sinBcosB=sin（B+。即sin（B-Q=0

B=C-3=C-

6

271

Z=九一（B+O=_

3

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1

bC得〃=c=sinB=

由正弦定理.命

sinCsinA

2

2、求范围

①均值定理型

3

【例】设△/BC的内角/»B，。所对的边长分别为〃、b，c，且〃cosB-灰:osN=专.

(I)求tanNcotB的值；

(II)求tan(N-B)的最大值.

3

蛹斤：(I)在△力BC中，由正弦定理及々cos3-〃cos/=_右

5

3333

可得sinAcosB-sinBcosA=_sinC=__sin(/+B)=_sin/cosB+cosAsinB

5555

即sin"cos3=4cosZsinB,则tanZcotB=4；

(II)由tanAcotB=4得tan力=4tanB>0

tan(4-B)=tan/-tan8_3tanB_3_3

1+tan/tan81+4tan2BcotB+4tanB4

当且仅当4tanB=cotB,tanB二一，tan/=2时，等号成立，

2

13

故当tan4=2,tanB=_时，tan(/-B)的最大值为二.

24

【举一反三】

【练】AABC的内角4,B,。所对的边分别为a,b,c.

(1)若mb,c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；

(2)若a,b,c成等比数列，求cosB的最小

值.16.解：⑴,・・〃,b,c成等差数列，・・・a+c

=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

VsinB=sin[n-(A+C)]=sin(A+Q,

AsinA+sinC=2sin(A+C).

(2)Vd,b,c成等比数列,:・b2=ac.

a2+c2—bia2+c2—ac2ac-ac1

由余弦定理得cos8=-京一=—荻一—=5,当且仅当。=c时等号成立,

1

•e•cosB的最小值为零

②二次函数型

【例】在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-y/3sinA)cosB-Q.

(1)求角3的大小；

(2)若求b的取值范围。

解：(1)由已知得一cos(N+3)+cos/cos3-JJsin^4cosB=0

即有sinylsinB-y/3sinAcosB=0

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因为sin/w0,所以sinB->/3cos8=0,又cos3w0,所以tan3=

又0<B<TI，所以B=_.

3

(2)由余弦定理,有。2=〃2+々-2〃CCOSB.

因为〃+,=l,cosB=1,有及=3(〃-I)2+L.

12124

又0<〃<l,于是有_W&<1,即有一w。<1.

42

3.求面积

7C

【例】在△4BC中，内角力，B,C对边的边长分别是小b,c,已知，=2,C=_.

3

(I)若△4BC的面积等于相，求小b;

(II)若sinC+sin(B-4)=2sin2N,求△■ABC的面积.

解(I)由余弦定理及已知条件得，〃2+。2=4,

又因为△/3C的面积等于。，所以1"〃sinC=/,得/=4.

2

[02+bi—ah=4,

联立方程组〈解得〃=2,0=2.

[ab—4,

(II)由题意得sin(B+/)+sin(B-/t)=4sin4cos/,

即sinBcos/=2sinAcosA,

当cos/=0时，N=0，B=-，〃=包，。=空，

2633

当cos0时，得sinB=2sin4,由正弦定理得〃=2〃，

\di+bi-ab=4,0r.r

联立方程组〈解得〃=之竺，。=匕”.

[b=2a,33

所以△/3C的面积S=」"sinC=RI.

23

四'与向量结合型

【例】已知向量片(s加4,cosA),〃=(6-1),机原=1,且A为锐角.

(I)求角A的大小；

(II)求函数/3)=cos2x+4cosNsinx(xGR)的值域.

第14页共21页

解：(I)由题意得=JIsinA-cos4=1,

71711

2sin(?l-_)=l,sin(i4-_)=_.

662

兀兀兀

由A为锐角得力__=_,A=_.

6613

(II)由(I)知cosA=一，

213

所以f(x)=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sins=-2(sinx——)2+_.

[24

因为XCR,所以sinxe[—I[],因此，当sinx=2寸，f(x)有最大值二

'「3]'

当sinx=-l时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是-3,.

【举一反三】

【练】已知向量4=(8$%-_1),》=(亦山乂,(：052乂)/€R，设函数/(x)=a力.

2

(I)求f(x)的最小正周期.

(II)求f(x)在「0,1上的最大值和最小值.

L2J

解.(I)f(x)=ab=cosx•sinx-£cos2x=212sin2x-£cos2x=sin(2x-1.).

,2226

2兀

最小正周期7=—=兀.

2

兀

所以f(x)=sin(2x--),最小正周期为兀.

6

(II)「「

71兀兀5兀兀5兀

当Xe［0,_］时,(2x由标准函数y=sinx在［-_,上的图像知,.

266666

7171711

/(x)=sin(②一_)

6622

所以,f(x)在「0,上的最大值和最小值分别为1,-L

I212

【举一反三】

,兀兀

【练】平面直角坐标系有点P(l,cosx)，Q(cosx,l)，xe［-_一］

44

(I)求向量泊和犷的夹角°的余弦用x表示的函数/(x)；

(II)求cos。的最值.

解：(।)OP-OQ=2cosx|0P,0Q|=l+cos2x

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OP^OQ^2cosx

.,.COS0==f(x)

HR1+cos2x

(II)COS0=/(x)=.2

1+cos2XCOSx+——

cosx

1

2<cosx+

cosx

2f</(x)Vl即2f<cosO《l

2五

所以COS。的最大值为1,最小值为半

【练】已知S=(cosa,sina),5=(cosB,sinP),0<P<a<