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文档简介
高中数学三角函数专题复习
考试要求
三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习,可以帮助学生在用锐角三角函数
刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会弓I入弧
度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称
性)、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三
角函数构建数学模型,解决实际问题。
内容包括:角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等
变换、三角函数应用。
(1)角与弧度
了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性。
(2)三角函数概念和性质
①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函
数的图象,了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值。借助单位圆的对称性,利用
兀
定义推导出诱导公式(a±-,a±n的正弦、余弦、正切)。
兀K
②借助图象理解正弦函数在、余弦函数[02兀]上、正切函数在(一一,一)上的性质。
22
③结合具体实例,了解J=%sin((ox+<p)的实际意义;能借助图象理解参数<匕
A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响。
(3)同角三角函数的基本关系式
一,.sinx
理解同角三角函数的基本关系式si"x+cos2=l,^_=tanx
XCOSx0
(4)三角恒等变换
①经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正
弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公
式,这三组公式不要求记忆)。
(5)三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模
第1页共21页
型
经典题型
一、求值化简型
这类问题常常用到的公式包括三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍公式、降
鬲公式、辅助角公式
1、公式运用
2
【例】(1)已知&a=3,求:_sin2a+J_cos2a的值。
34
(2)已知a+sina=m,tana-sinoFn(awGZ),
m-n
求证:COSa=-------
力+附
(1)解::sir)2a+'cos2a=-'(l-2sin2a)+'+'(2cos2a-l)+:=一!cos2a+;cos2a+''
34J3o83824
L.1
3Sin'a+4COS2x=-2(l-2sin2a)+14-i(2cos2a-l)+l=-lcos2a+lcos2a+H
33883824
sin2a)+1+(2cos2a-l)+1=-1cos2a1os2a11
+C+5cos2a-sin2a11=5besRift2-e(8in51
+=-----------------1----*一
388382424cos2a+sin2a2424LestMHSginZa24
(2)证明:两式相加,得tana=2之sina
2cosa
.m-n
两式相减,得sina
2
*22sinCCm-n
所以cosa=--------=-------
勿+nm+n
【举一反三】兀
兀1兀兀
【练】已知sin%+2a)•sin(_-2a)=—,ae(了,),求2sin2a+tana-cota-1的直
717r7T7U
解:由sin(_+2a)・sin(—-2a)=sin(_+2a)・cos(_+2a)
4444
1.71..11
=-sin(—+4a)=__cos4Aa=-
2224
1/.兀兀、匚匕r、[5兀
得COS4a=_・又ae(所以a=_.
242,12°c
sin2a-cos2a-2cos2a
于是2sin2a+tana-cota-1=-cos2a+-----------------=-cos2a+------------
sinacosasin2a
=-(cos2a+2cot2a)=-(cosj^+2cot=-(-且一2/)=1
6622
【练】如图,在直角坐标系乂3中,角a的顶点是原点,始边与'轴正半轴重合,终边交
7T兀7T
单位圆于点力,且ae(_」).将角a的终边按逆时针方向旋转_,交单位圆于点B.记
623
第2页共21页
/(X,)),B(X,j).
1122
(I)若X=_,求X;
132
(II)分别过力,B作4•轴的垂线,垂足依次为GD.记△AOC
的面积为S,△BOD的面积为S.若S=25,求角a的值
1212
(I)解:由三角函数定义,得x=COSa,x=COS(a+?
123
itn1
因为aCOSa=
623
所以sina=-cos2a=-----.
3
所以x=cos(a+[)=Jcosa-苏sina=1-2卡
23226
解:依题意得
(II)J=sina,7=sin(a+5.
123
111
所以S=_cosa•sina=_sin2a,
i2ii24
jITTT
S=_Ix\y=_[-cos(a+_)}sin(a七)=:sin(2a+?
222223343
依题意得sin2a=-2sin(2a+<),
3
整理得COs2a=0.
71TT71.
因为一<a<_,所以_<2a<7r,
623
71兀
所以2a=-即。=-
24
2、三角形中求值
【例】在ZiABC中,a=3,b=2遍,/B=2NA.
(I)求cosA的值;
(口)求c的值.
解:(1)因为a=3,b=2Jg,/B=2NA.所以在4ABC中,由正弦定理得_2_=-•所以
sinAsin2/
2sm二处故cos力=近.
sin^433
第3页共21页
⑴)由⑴知cos/=2^,所以sinA=JI_COS2A=正,又因为NB=2NA,所以
33
cos8=2cos2/-l=」.所以sinB=4一cos2B=2^.
33
在AABC中,sinC=sin(4+B)=sin4cosB+cosAsinB=—.
asinC.
所以c=-^-=5・
sinA
【举一反三】
【练】设A4BC的内角的B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
⑴求B
r_i
(Il)^sin>lsinC=-......,求C.
4
解:(I)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac
所以a2+C2-Z72=-ac
c(72+C2一切1
由余弦定理得cosB=--------=-
2ac2
因此B=120()
(ID由(D知,/+C=6Oo
所以cos(4-C)=cosAcosC+sinAsinC
=cosAcosC-sinAsinC+2sin4sinC
=cos(4+C)+2sinAsinC
―1+2x/T=百
242
所以4-C=±30()
所以C=15。或C=45。
③三角不等式
7t71X
【例】已知函数/(x)=sin(x-_)+cos(x-_),g(x)=2sin2一
632
第4页共21页
3万
⑴若a是第一象限角,且/(a)=羊.求以a)的值;
(II)求使/(M成立的x的取值集合.
解:⑷
/■(X)=2i2.sinx-J-cosx+Icos>r+2iAsinx=-J3sinx=>/(a)=%/3since=212..
22225
37i4a1
nsina=-,aG(0,-)=cosa=_,MXa)=2sin2_=1-cosa=_
52525
⑴)/(ME)="m-os-亭…#s……看)2;
=>x+ZLG[26兀+±,2/兀+nxw[2上兀,26兀+丝I,电eZ
6663
二、图像和性质型
1、求范围
①)=4in(co》+(p)+B型
【例】已知函数/(x)=sin2(ox+Osin8xsin|s=+—|(8>°)的最小正周期为几
(I)求①的值;
「2n一
(II)求函数/(*)在区间0,二[上的取值范围.
解:(I)/(')=1C°S28"+"3sin?3乂=抠sin2(0x-】ccs2t0x+1
22222
(、】
—(07t]1
sin|2__
\x-JI+
6712-
因为函数/(M的最小正周期为兀,且s>0,
2兀,
所以一=兀,解得3=1.
(II)由(1)得/(M=sin।2、一“।+
I6)2
eVv2兀
因为0工=丫&:_
3
第5页共21页
所以一[Wir—二W,,
666
1w,“'w
所以一29[2»5厂],
nVf吟1<3「31
因此°、sm(2x—即/⑴的取值范围为妙闰
【举一反三】
.717171
【练】已知函数/(X)=cos(2x-_)+2sin(x-_)sin(x+_J
344
(1)求函数/(x)的最小正周期和图象的对称轴方程
兀71
(II)求函数/(X)在区间[-豆,]]上的值域
71TI71
解:(1)v/(x)=cos(2x-_)+2sin(x-_)sin(%+_)
344
1
-R
2--sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)
1E
_cos2x+sin2x+sin2尢一cos2x
22
用sin2x-cos2x
=—cos2x+
2
=sin(2x-1)
,6
...周期T=4=7T
由匕一;=曲+T(AcZ),得x=?+eZ)
f兀
函数图象的对称轴方程为x=kn+,*wZ)
冗7T7T兀5兀
⑵•/xGH—-2x——e
122o5o
7C7C7TJU7C
因为/(x)=sin(2x—/)在区间[一石,5]上单调递增,在区间[]上单调递减,
012532
71
所以当元=_时,/(无)取最大值1
3
兀H兀1兀E
又;/(一一)=一±</(_)=_,当工=一一时,/(X)取最小值一X士
12222122
第6页共21页
所以函数/W在区间[-三,2]上的值域为[—立,1]
1222
②二次函数型
【例】求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x_4cos4x的最大值与最小值。
【解】:y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos
=7-2sin2x+4cos2xl-cos2尤
=7-2sin2x+4cos2%sin2x
=7-2sin2r+sin22x
=(1-sin2x)2+6
由于函数z=(〃-l)2+6在Ll中的最大值为z=(-1-1)2+6=10
max
最小值为z=(1-1)2+6=6
min
故当sin2x=T时),取得最大值10,当sin2x=l时y取得最小值6
2、求单调区间/
【例】已知函数_/W=&
sin(+—
⑴求共幻的单调递增区|,%a、Q
⑵若a是第二象限角,j4(cos2a,求cosa—sina的值.
ITJ=5COSC.]
解:(1)因为函数^=5布》的单调递增区间为1一"+2%"n2knLZCZ,
LY11'亍+J
JIJIJI
由--^+2女冗<3x+-+22n,
Ji2knn2k
得一不+刀一《普+丁kU.
所以,函数;(x)的单调递增区间为「n2knn2kn~\
「彳+丁i2+^rz-
(吟4A吟
⑵由已知,得sin^a+7J=^cos^a-F}J(cos2a—sin2Q),
所以sinacosacosa—sina(cos?a—sin2a),
即sina+cosa(cosa-sina)2(sina+cosa).
=5
当sina+cosa=0时,由a是第二象限角,
3n
得a=^~+2k^,kRZ,
第7页共21页
此时,cosa—sina=一5
当sina+cosaWO时,(cosa—sina)2'
=4'
§T
由a是第二象限角,得cosa—sina<0,此时cosa—sina=一上
综上所述,cosa—sina=——斗;
【举一反三】
【练】已知函数f(x)=6sin(3x+(p)-cos(3x+<p)(0<<p<兀,(0>0)为偶函数,且函数
7T
y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为二
2
it
(I)求f(3)的值;
n
(||)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长
到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
解:(I)f(x)=73sin((ox+(p)-cos(cox+(p)
=2|0sin((ox+(p)—cos(cox+(p)
[长2
7t
=2sin(3x+①-_)
6
因为f(x)为偶函数,
所以对*££仪-外二£6)恒成立,
717t
因此sin(+(p-_)=sin(COx+<p-J.
66
7t
即-sin①xcos(①-)+cos(0xsin(①-)=sinO)xcos(<P-)+cosO)xsin((P-),
6666
7TIt
整理得sin①力(:05(中-_)=0.因为①〉。,且xER,所以cos((p-_)=o.
不6
717t7t
又因为0<3<71,故中-_=_.所以f(x)=2sin(gx+_)=2cos3x.
622
Ojr.7T
—=21—,所以3=2.
由题意得(02
故f(x)=2cos2x.
7171
因为/(_)=2cos_=^,/2.
ren
(II)将f(x)的图象向右平移个7•个单位后,得到/(X-N)的图象,再将所得图象横坐标
66
第8页共21页
伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到/6一:)的图象♦
it46兀兀
所以/刈=/(兀一)=I兀—兀J=2cos/(一).
;72咒2(丁$J;;
兀兀
当2kTTW———W2kTT+n(kez),
23
2兀8兀
即4kn+这——wxw4kn+—(kGZ)时,g(x)单调递减.
33
.2兀/,8兀]
因此g(x)的单调递减区间为4左兀+—,44兀+_(kez)
L33」
3、图像型
【例】已知函数/(x)=,sin(x+(p)(/>0,0<Q<7r),xeR的最大值是1,其图像经过
点M
(1)求/(⑼的解析式;
(2)已知a邛/*,且/(a)=3,/(P)=12,求/(a—B)的值.
l°2j?U
兀1711
【解】⑴依题意有/=L贝iJ/(M=sin(x+(P),将点Af(耳,])代入得0上(1+中)=2,
兀571
而0<(p<7i,.-._+(p=_K,.-.<p=_,Sk/(x)=sin(x+^_)=cosx;
■J622
3O12n小兀、
(2)依题意有cosa=_,cosP=_,而a,pG(o,_),
5132
/(a-P)=cos(a-P)=cosacosP+sinasinP=2J△=?
51351365°
K举一反三)
【练】已知函数/3)=2cos2(0、+2sin3xcos8x+1(XGR,<O>0)的最小值正周期是
71
2-
(I)求8的值;
(II)求函数/(X)的最大值,并且求使/(M取得最大值的X的集合.
第9页共21页
解:(I)
/)c1+cos2coX.三.
f\x)—2-__________+sin2o)x+1
~T~
=sin0cox+cos2轮•+2m+2
co+cos2(oxsin
2xcos-
仔co£
、''2sin|2x+|
+2
由题设,函数/(D的最小正周期是“,2兀兀八
可得_=_,所以3=2.
22a)2
(II)由(I)知,人2=
sin4x2
V21+-
it兀兀kit屋工)时取得…,所以函数
当4x+—=—+2必兀'即乂=+——
42162I4;
/Q)的最大值是2+瓢,此时*的集合为卜IX=三+^71,kezj
16TJ
【练】已知函数/Q)=
(I)将函数化简成Zsin(8x+(P)+B(4>0,®>0,<pG[0,2?t))的形式;
(II)求函数g(M的值域.
1-sinx,.1-cosX
解:(I)g(x)=cosx.-------+sinx.
1+sinxl+COSX
f(l-sinx)2(1-COSx)2
cos----------4-sinx.
VC0S2Xsin2x
1-sinx..1-cosx
=cosx-------+sinx-----1.
|cos|sin乂
(17兀]
xG7t,cosx=-cosx,sinx=-sm
・・,〔mii।।
/、l-sinx1-cosx
/.g(2=cos“-------+sin--------
-cosx-sinx
=sinx+cosx-2
第10页共21页
=>/2sin|^x+—J-2.
//17n,5兀/n,5n
(II)由兀<x<_^导_<*+一K—・
(5兀3黯44(5兀]
smr在,上为减函数,在,上为增函数,
又5Vsm(》+?<聊牛(当x]阳等]),
即-1Wsin(x+$<--;.-亦-24"sin(x+^)-2<-3,
424
故g(x)的值域为卜点一2,召).
XXX
【练】已知函数/(x)=2sin-cos—-2jTsin2-+W.
444
(I)求函数/(x)的最小正周期及最值;
(兀、
(II)令8。)=/[工+可/判断函数仪的的奇偶性,并说明理由
XX
解:(I),.•/(幻=5m2+疯l—2sin2/=sin
2兀
/W的最小正周期T=一4兀.
1
/、2ZX
当sin*+=T时,/(x)取得最小值-2;当sin+=1时,/(x)取得最大值2.
b寸[25
(II)由(I)知,(x)=2sin:+।•又g(x)="r+兀
卜司I?
J/\~\^.(X7TX
•••g(x)=2sinf\=2sin||=2cos2.
g(-x)=2cos[=2cos:=g(x).
•,22
二函数g(x)是偶函数.
三'解三角形型
第11页共21页
1、求基本元素
54
【例】在△ABC中,cosB=-_,cosC=_
(I)求sinZ的值;(H)设△/BC的面积S=_,求BC的长•
△/1BC9
512
解:([)由cosB=__,得smB=_,
由cosC_,得sinC_.
55
所以sinA=sin(B+0=sinBcosC+cosBsinC二
33133
(II)由S=二得)、/3*力(;*6114三二,
△XBC222
.”33
由(I)知sinN=—.
OJ
故力BxNC=65,
AC=ABxsinB20.
▽----=—AB,
故—ABi=65AB=—.
132
BC=ABxsinA_n
所以F-,
K举一反三)
【练】在A4BC中,角力,B,C所对应的边分别为%〃,,,〃=2J',tan^++tan—=4,
22
2sinBcosC=sinN,求4,B及女,
tanA+BC=4得cot'+tan0=4
----+tan———
解:由2222
C.c1
cos戈sin2=4
+_____4,.
c~c
cos—sin—cos—
222
1兀、5兀
sinC=—,又Ce(0,兀)C=—,或。=——
266
由2sinBcosC=sin/得2sinBcosB=sin(B+。即sin(B-Q=0
B=C-3=C-
6
271
Z=九一(B+O=_
3
第12页共21页
1
bC得〃=c=sinB=
由正弦定理.命
sinCsinA
2
2、求范围
①均值定理型
3
【例】设△/BC的内角/»B,。所对的边长分别为〃、b,c,且〃cosB-灰:osN=专.
(I)求tanNcotB的值;
(II)求tan(N-B)的最大值.
3
蛹斤:(I)在△力BC中,由正弦定理及々cos3-〃cos/=_右
5
3333
可得sinAcosB-sinBcosA=_sinC=__sin(/+B)=_sin/cosB+cosAsinB
5555
即sin"cos3=4cosZsinB,则tanZcotB=4;
(II)由tanAcotB=4得tan力=4tanB>0
tan(4-B)=tan/-tan8_3tanB_3_3
1+tan/tan81+4tan2BcotB+4tanB4
当且仅当4tanB=cotB,tanB二一,tan/=2时,等号成立,
2
13
故当tan4=2,tanB=_时,tan(/-B)的最大值为二.
24
【举一反三】
【练】AABC的内角4,B,。所对的边分别为a,b,c.
(1)若mb,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小
值.16.解:⑴,・・〃,b,c成等差数列,・・・a+c
=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.
VsinB=sin[n-(A+C)]=sin(A+Q,
AsinA+sinC=2sin(A+C).
(2)Vd,b,c成等比数列,:・b2=ac.
a2+c2—bia2+c2—ac2ac-ac1
由余弦定理得cos8=-京一=—荻一—=5,当且仅当。=c时等号成立,
1
•e•cosB的最小值为零
②二次函数型
【例】在AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-y/3sinA)cosB-Q.
(1)求角3的大小;
(2)若求b的取值范围。
解:(1)由已知得一cos(N+3)+cos/cos3-JJsin^4cosB=0
即有sinylsinB-y/3sinAcosB=0
第13页共21页
因为sin/w0,所以sinB->/3cos8=0,又cos3w0,所以tan3=
又0<B<TI,所以B=_.
3
(2)由余弦定理,有。2=〃2+々-2〃CCOSB.
因为〃+,=l,cosB=1,有及=3(〃-I)2+L.
12124
又0<〃<l,于是有_W&<1,即有一w。<1.
42
3.求面积
7C
【例】在△4BC中,内角力,B,C对边的边长分别是小b,c,已知,=2,C=_.
3
(I)若△4BC的面积等于相,求小b;
(II)若sinC+sin(B-4)=2sin2N,求△■ABC的面积.
解(I)由余弦定理及已知条件得,〃2+。2=4,
又因为△/3C的面积等于。,所以1"〃sinC=/,得/=4.
2
[02+bi—ah=4,
联立方程组〈解得〃=2,0=2.
[ab—4,
(II)由题意得sin(B+/)+sin(B-/t)=4sin4cos/,
即sinBcos/=2sinAcosA,
当cos/=0时,N=0,B=-,〃=包,。=空,
2633
当cos0时,得sinB=2sin4,由正弦定理得〃=2〃,
\di+bi-ab=4,0r.r
联立方程组〈解得〃=之竺,。=匕”.
[b=2a,33
所以△/3C的面积S=」"sinC=RI.
23
四'与向量结合型
【例】已知向量片(s加4,cosA),〃=(6-1),机原=1,且A为锐角.
(I)求角A的大小;
(II)求函数/3)=cos2x+4cosNsinx(xGR)的值域.
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解:(I)由题意得=JIsinA-cos4=1,
71711
2sin(?l-_)=l,sin(i4-_)=_.
662
兀兀兀
由A为锐角得力__=_,A=_.
6613
(II)由(I)知cosA=一,
213
所以f(x)=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sins=-2(sinx——)2+_.
[24
因为XCR,所以sinxe[—I[],因此,当sinx=2寸,f(x)有最大值二
'「3]'
当sinx=-l时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是-3,.
【举一反三】
【练】已知向量4=(8$%-_1),》=(亦山乂,(:052乂)/€R,设函数/(x)=a力.
2
(I)求f(x)的最小正周期.
(II)求f(x)在「0,1上的最大值和最小值.
L2J
解.(I)f(x)=ab=cosx•sinx-£cos2x=212sin2x-£cos2x=sin(2x-1.).
,2226
2兀
最小正周期7=—=兀.
2
兀
所以f(x)=sin(2x--),最小正周期为兀.
6
(II)「「
71兀兀5兀兀5兀
当Xe[0,_]时,(2x由标准函数y=sinx在[-_,上的图像知,.
266666
7171711
/(x)=sin(②一_)
6622
所以,f(x)在「0,上的最大值和最小值分别为1,-L
I212
【举一反三】
,兀兀
【练】平面直角坐标系有点P(l,cosx),Q(cosx,l),xe[-_一]
44
(I)求向量泊和犷的夹角°的余弦用x表示的函数/(x);
(II)求cos。的最值.
解:(।)OP-OQ=2cosx|0P,0Q|=l+cos2x
第15页共21页
OP^OQ^2cosx
.,.COS0==f(x)
HR1+cos2x
(II)COS0=/(x)=.2
1+cos2XCOSx+——
cosx
1
2<cosx+
cosx
2f</(x)Vl即2f<cosO《l
2五
所以COS。的最大值为1,最小值为半
【练】已知S=(cosa,sina),5=(cosB,sinP),0<P<a<
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