高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如：①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）（5)三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)举一反三1．某人遥控一机器人，让机器人从点发向正北方向走了km到达点后，向右转，然后朝新方向走了km后到达点，结果发现机器人在点的东北方向，则为（）A． B． C． D．2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于，灯塔A在观测站C的北偏东，灯塔B在观测站C的南偏东，则灯塔A与之间B的距离为（）A． B． C． D．例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。举一反三1．如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为（）A． B．C． D．2．某人在A处向正东方向走后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好,那么x的值为A． B． C． D．3.例4、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)举一反三1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒2．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东的方向上，距离为海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西的方向上，距离为海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东的方向上，求（1）A、D间的距离；（2）C、D间的距离.3．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）求出隧道CD的长度.巩固提升一、单选题1．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（）A．北偏东； B．北偏东；C．北偏东； D．北偏东；2．如图，已知两座山高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为观测点，测得，则这两座山峰之间的距离是（）A．米 B．米 C．20000米 D．100000米3．在中，，，，D为边AB的中点，则（）A． B． C．2 D．84．在中，已知，则该三角形的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定二、多选题5．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）A．与 B．与 C．，与 D．，与6．在中，有如下命题，其中正确的有（）A．若，则是等边三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是钝角三角形D．若，则这样的有2个三、填空题7．已知A船在灯塔北偏东85°且A到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为__________．8．如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，测量者小张在岸边点A处测得塔顶D的仰角为，塔底C与A的连线同河岸成角，小张沿河岸向前走了200米到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成角，则电视塔CD的高度为___________米．四、解答题9．如图，在中，的垂直平分线交边于点．（1）求的长；（2）若，求的值．10．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D监控河流南岸相距150米的A、B两处（A在B的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为.A，B，C，D视为在同一个平面上，记的面积为S，.（1）求的长度；（2）试用表示S，并求S的最大值.6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如：①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）（5)三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得=AB====≈65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米举一反三1．某人遥控一机器人，让机器人从点发向正北方向走了km到达点后，向右转，然后朝新方向走了km后到达点，结果发现机器人在点的东北方向，则为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在三角形中，利用正弦定理直接求解即可【详解】由题意可知，，由正弦定理可得，即.故选：D2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于，灯塔A在观测站C的北偏东，灯塔B在观测站C的南偏东，则灯塔A与之间B的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意作出示意图，由余弦定理即可求解.【详解】解：由题意，作出示意图：则，，由余弦定理得，所以，即灯塔A与之间B的距离为.故选：C.例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC==BC==计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=举一反三1．如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在△ABC中，由已知的条件直接利用正定理求解即可【详解】在△ABC中，AC＝m，∠BAC＝α，∠BCA＝β.∴∠ABC＝π－α－β.∴sin∠ABC＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)．由正弦定理，得.故选：C2．某人在A处向正东方向走后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好,那么x的值为A． B． C． D．3【答案】AB【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.例4、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，AC==≈113.15根据正弦定理,=sinCAB==≈0.3255,所以CAB=19.075-CAB=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile举一反三1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【分析】根据题意可得，再除以时间即可得解.【详解】根据题意，由B处在山顶俯角为，所以，由A东偏南，B东偏南，所以，所以为等腰三角形，所以，由，所以速度为米/秒，故选：A2．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东的方向上，距离为海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西的方向上，距离为海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东的方向上，求（1）A、D间的距离；（2）C、D间的距离.【答案】（1）36海里（2）海里【分析】（1）利用方位角求出角B的大小,利用正弦定理直接解A、D间的距离；（2）利用余弦定理求出C、D间的距离即可.【详解】解：如图,,,AB=,AC=（1）在中,由正弦定理得=36海里（2）在中,由余弦定理得=海里【点睛】本题主要考查的是解三角形及其应用,解题的关键是根据题意结合方位角把实际问题归结为解三角形问题,再根据所给条件用正弦定理或余弦定理解答即可.3．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）求出隧道CD的长度.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，在△AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ABE中，，所以隧道长度．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．巩固提升一、单选题1．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（）A．北偏东； B．北偏东；C．北偏东； D．北偏东；【答案】C【解析】【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.【详解】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.故选：C2．如图，已知两座山高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为观测点，测得，则这两座山峰之间的距离是（）A．米 B．米 C．20000米 D．100000米【答案】B【解析】【分析】先根据和的性质，求解的长，再在中运用余弦定理求解.【详解】由题意可得米，米，则，故米.，即之间的距离为米.选项B正确.故选：B.3．在中，，，，D为边AB的中点，则（）A． B． C．2 D．8【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，证得，从而结合余弦定理即可求出结果.【详解】取中点E，有，因此,而,所以，在中，，，由余弦定理得，故选：B.4．在中，已知，则该三角形的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以为钝角，即该三角形的形状为钝角三角形，故选：C.二、多选题5．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）A．与 B．与 C．，与 D．，与【答案】ABC【解析】【分析】由A，C在河的同一侧，故可以测量，与，由此即可得答案【详解】因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，故选：ABC6．在中，有如下命题，其中正确的有（）A．若，则是等边三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是钝角三角形D．若，则这样的有2个【答案】ACD【解析】【分析】结合正弦定理、余弦定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A中由及得，所以是等边三角形，A正确.B选项中，如时，不是等腰三角形，所以B错误；C选项中，化简为，由正弦定理得，再由余弦定理得，所以是钝角三角形，C选项正确；D选项中知成立，所以这样的三角形有2个，D选项正确.故选：ACD三、填空题7．已知A船在灯塔北偏东85°且A到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图像，求出，根据余弦定理可得|AB|．【详解】解：依题意可得，在三角形中，由余弦定理可得：，．故答案为：8．如图，为了测量河对岸