高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题52正、余弦函数的单调性与最值专题(原卷版+解析)

专题52正、余弦函数的单调性与最值一．正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域[－1，1][－1，1]单调性增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))，k∈Zeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋2kπ，2π＋2kπ))，k∈Z减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z最值ymax＝1x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Zymin＝－1x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Zx＝π＋2kπ，k∈Z二．三角函数最值问题的求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．题型一正弦函数、余弦函数的单调性类型一求单调区间1．已知函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函数f(x)的单调递增区间．2．已知函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，则它的单调减区间为________．3．函数y＝1－sin2x的单调递增区间．4．求函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的单调递减区间．5．求下列函数的单调区间．(1)y＝cos2x；(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；(3)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))6．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为________．7．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(5π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))8．求函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的单调增区间．9．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[－π，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))10．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))11．求下列函数的单调递增区间．(1)y＝eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，x∈[0，π]；(2)y＝logeq\f(1,2)sinx.12．函数y＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))的单调递增区间是________．13．求下列函数的单调递增区间(3)y＝logeq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))；14．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|cosx|在[－π，π]上的单调递减区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))15．求函数y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))，x∈[－4π，4π]的单调减区间．16．下列函数中，周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))17．下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|18．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))) D．y＝－sineq\f(x,2)19．下列函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是增函数的是()A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin2x D．y＝cos2x20．设函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,4)))(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期为π，且是偶函数，则()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递减B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递减C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增21．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)，2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,8)，2kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)22．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，求f(x)的单调递增区间．类型二利用单调性求参1．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．2．若函数f(x)＝sinωx(0＜ω＜2)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于___．3．已知ω＞0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________．4．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)解不等式：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))≥eq\f(\r(3),2).5．若函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，且f(α)＝－2，f(β)＝0，|α－β|的最小值是eq\f(π,2)，则f(x)的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M(eq\f(3,4)π，0)对称，且在区间[0，eq\f(π,2)]上是单调函数，求φ和ω的值．题型二利用三角函数的单调性比较大小1．sin250°与sin260°；(2)coseq\f(15π,8)与coseq\f(14π,9).2．比较下列各组数的大小．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))与coseq\f(13π,7)；(2)sin194°与cos160°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,8)))与coseq\f(6π,7)3．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin196°与cos156°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).4．比较下列各组数的大小：①coseq\f(15π,8)，coseq\f(14π,9)；②cos1，sin1.5．比较下列各组数的大小．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,3)π))；(2)cos870°与sin980°.6．sineq\f(2π,7)________sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8)))(填“＞”或“＜”)．7．下列关系式中正确的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°8．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________．9．将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为_________．10．下列不等式中成立的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))) B．sin3>sin2C．sineq\f(7,5)π>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)π)) D．sin2>cos111．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()A．sinα＜sinβ B．cosα＜sinβC．cosα＜cosβ D．cosα＞cosβ12．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是________．题型三正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y＝1－2coseq\f(π,2)x的最小值，最大值分别是()A．－1,3 B．－1,1C．0,3 D．0,12．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值分别为()A．ymax＝3，x＝eq\f(π,2)B．ymax＝1，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)3．y＝2cosx2的值域是()A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．R4．y＝acosx＋1的最大值为5，则a＝________.5．设函数f(x)＝A＋Bsinx，当B<0时，f(x)的最大值是eq\f(3,2)，最小值是－eq\f(1,2)，则A＝________，B＝________.6．函数f(x)＝sin(eq\f(π,6)＋x)＋cos(eq\f(π,3)－x)的最大值为()A．1B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．27．函数f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值为()A.eq\f(6,5)B．1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)8．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))(x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1 D．－eq\r(5)9．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))10．求函数y＝3－4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))的最大值、最小值及相应的x值．11．求下列函数的最大值和最小值．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))12．求下列函数的值域：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；13．求函数y＝3＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最值．14．已知函数y＝a－bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(b>0)的最大值为eq\f(3,2)，最小值为－eq\f(1,2).(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)＝－4asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bx－\f(π,3)))的最小值并求出对应x的集合．15．已知函数f(x)＝asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋b(a＞0)．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq\r(3)，最小值是－2，求a和b的值．16．求下列函数的最值y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4).17．函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为________．18．求下列函数的最大值和最小值．y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))).19．求函数y＝cos2x－sinx在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．20．求函数y＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．21．求下列函数的值域：y＝cos2x－4cosx＋5.22．求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．23．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的最大值是eq\r(2)，则ω＝________.24．设函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,5))).若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为()A．4 B．2C．1 D．eq\f(1,2)25．已知函数y＝sineq\f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．26．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，则b－a的最大值是________．27．已知函数f(x)＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋b的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，值域是[－5,1]，求a，b的值．专题52正、余弦函数的单调性与最值一．正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域[－1，1][－1，1]单调性增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))，k∈Zeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋2kπ，2π＋2kπ))，k∈Z减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z最值ymax＝1x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Zymin＝－1x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Zx＝π＋2kπ，k∈Z二．三角函数最值问题的求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．题型一正弦函数、余弦函数的单调性类型一求单调区间1．已知函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函数f(x)的单调递增区间．[解析]令u＝eq\f(π,4)＋2x，函数y＝eq\r(2)sinu的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,4)＋2x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(π,8)＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))＋1的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))，k∈Z.2．已知函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，则它的单调减区间为________．[解析]y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，由2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．3．函数y＝1－sin2x的单调递增区间．[解析]求函数y＝1－sin2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin2x的单调递减区间，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．4．求函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的单调递减区间．[解析]∵y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))是增函数时，y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))是减函数．∵函数y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是增函数，∴－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，即－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ(k∈Z)．∴函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))(k∈Z).5．求下列函数的单调区间．(1)y＝cos2x；(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；(3)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))[解析](1)函数y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.∴kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴函数y＝cos2x的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，函数y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的单调递减、递增区间．令2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.即2kπ＋eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)，k∈Z，即函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))，k∈Z.令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.即2kπ－eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.即函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z.(3)当2kπ－π≤eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(8π,3)，4kπ－\f(2π,3)))，k∈Z.当2kπ≤eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(2π,3)，4kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.6．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为________．[解析]由eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq\f(π,9)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(4π,9)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，所以函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,9)，\f(π,3)))7．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(5π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))[解析]解法一：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，其单调递增区间为－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则－eq\f(π,6)＋2kπ≤x≤eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)).解法二：函数在eq\f(5π,6)取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－π，\f(5π,6)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)).8．求函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的单调增区间．[解析]设x＋eq\f(π,4)＝u，y＝|sinu|的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)时，函数y＝|sinu|递增．函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．9．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[－π，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))[解析]∵2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，∴2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z.令k＝0得eq\f(π,3)≤x≤eq\f(4π,3).又∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))∴函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).故选D.10．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))[解析]由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12))).11．求下列函数的单调递增区间．(1)y＝eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，x∈[0，π]；(2)y＝logeq\f(1,2)sinx.[解析](1)由y＝－eq\f(1,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的单调性，得eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，即eq\f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，故eq\f(2π,3)≤x≤π.即单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).(2)由sinx＞0，得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，∴函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．设u＝sinx，则0＜u≤1，又y＝logeq\f(1,2)u是减函数，∴函数的值域为(0，＋∞)．∵eq\f(1,2)＜1，∴函数y＝logeq\f(1,2)sinx的递增区间即为u＝sinx(sinx＞0)的递减区间，故函数y＝logeq\f(1,2)sinx的递增区间为2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π(k∈Z)．12．函数y＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))的单调递增区间是________．[解析]由题意，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))>0，所以2kπ<x＋eq\f(π,3)<π＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,3)＋2kπ<x<eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π＋2kπ，\f(π,6)＋2kπ))，k∈Z，所以函数y＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(π,6)＋2kπ))，k∈Z.13．求下列函数的单调递增区间(3)y＝logeq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))；[解析]由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))>0，,2kπ＋\f(π,2)≤2x＋\f(π,4)≤2kπ＋\f(3π,2)k∈Z，))解得2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)<2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋eq\f(π,8)≤x<kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)，故所求单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．14．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|cosx|在[－π，π]上的单调递减区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))[解析]在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知y＝|cosx|的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，而f(x)依|cosx|取值的递增而递减，故eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))为f(x)的单调递减区间．15．求函数y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))，x∈[－4π，4π]的单调减区间．[解析]y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋1.由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．解得4kπ－eq\f(π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)．∴k＝0时，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))，k＝1时，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)，\f(11π,2)))，k＝－1时，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9π,2)，－\f(5π,2))).又∵x∈[－4π，4π]，∴函数y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4π，－\f(5π,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)，4π)).16．下列函数中，周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))[解析]对于选项A，注意到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是减函数．17．下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|[解析]作出y＝sin|x|的图象如图1，知其不是周期函数，排除D；因为y＝cos|x|＝cosx，周期为2π，排除C；作出y＝|cos2x|的图象如图2，由图象知，其周期为eq\f(π,2)，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递增，A正确；作出y＝|sin2x|的图象如图3，由图象知，其周期为eq\f(π,2)，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))单调递减，排除B，故选A.图1图2图318．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))) D．y＝－sineq\f(x,2)[解析]y＝cos|x|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－cosx是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sineq\f(x,2)在(0，π)上是单调递减的．[答案]C19．下列函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是增函数的是()A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin2x D．y＝cos2x[解析]因为y＝sinx与y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上都是减函数，所以排除A、B.因为eq\f(π,2)≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.故选D.20．设函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ＋\f(π,4)))(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期为π，且是偶函数，则()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递减B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递减C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递增D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增[解析]由条件知ω＝2.∵f(x)是偶函数且|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，这时f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x∈(0，π)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减．21．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)，2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,8)，2kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)[解析]周期T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3,8)π≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.[答案]C22．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，求f(x)的单调递增区间．[解析]由f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立知，2·eq\f(π,6)＋φ＝2kπ±eq\f(π,2)(k∈Z)．∴φ＝2kπ＋eq\f(π,6)或φ＝2kπ－eq\f(5π,6)(k∈Z)．∵|φ|＜π，得φ＝eq\f(π,6)或φ＝－eq\f(5π,6)，又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＞f(π)，∴φ＝－eq\f(5π,6)，由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(5π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．类型二利用单调性求参1．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．[解析]因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．2．若函数f(x)＝sinωx(0＜ω＜2)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于___．[解析]根据题意知f(x)在x＝eq\f(π,3)处取得最大值1，∴sineq\f(ωπ,3)＝1，∴eq\f(ωπ,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即ω＝6k＋eq\f(3,2)，k∈Z.又0＜ω＜2，∴ω＝eq\f(3,2).3．已知ω＞0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________．[解析]依题意得eq\f(T,2)≥eq\f(π,2)⇒T≥π，又ω＞0，所以eq\f(2π,ω)≥π⇒0＜ω≤2.由eq\f(π,2)＜x＜π得eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,3)＜ωx＋eq\f(π,3)＜ωπ＋eq\f(π,3)，由f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,3)≥\f(π,2)，,ωπ＋\f(π,3)≤\f(3π,2)))⇒eq\f(1,3)≤ω≤eq\f(7,6).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,6)))4．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)解不等式：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))≥eq\f(\r(3),2).[解析](1)由2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以函数图象的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝sin2x≥eq\f(\r(3),2)，得2kπ＋eq\f(π,3)≤2x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，故不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)≤x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).5．若函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，且f(α)＝－2，f(β)＝0，|α－β|的最小值是eq\f(π,2)，则f(x)的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)[解析]由题意可知eq\f(1,4)T＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(5π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．故选A.6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M(eq\f(3,4)π，0)对称，且在区间[0，eq\f(π,2)]上是单调函数，求φ和ω的值．[解析]由f(x)是偶函数，得sinφ＝±1，所以φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.因为0≤φ≤π，所以φ＝eq\f(π,2).由f(x)的图象关于点M(eq\f(3π,4)，0)对称，得f(eq\f(3π,4))＝0.因为f(eq\f(3π,4))＝sin(eq\f(3ωπ,4)＋eq\f(π,2))＝coseq\f(3ωπ,4)，所以coseq\f(3ωπ,4)＝0.又因为ω>0，所以eq\f(3ωπ,4)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈N，即ω＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)k，k∈N.当k＝0时，ω＝eq\f(2,3)，此时f(x)＝sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,2))在[0，eq\f(π,2)]上是减函数；当k＝1时，ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,2))在[0，eq\f(π,2)]上是减函数；当k≥2时，ω≥eq\f(10,3)，此时f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,2))在[0，eq\f(π,2)]上不是单调函数．综上，ω＝eq\f(2,3)或ω＝2.题型二利用三角函数的单调性比较大小1．sin250°与sin260°；(2)coseq\f(15π,8)与coseq\f(14π,9).[解析](1)∵函数y＝sinx在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin250°>sin260°.(2)coseq\f(15π,8)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,8)))＝coseq\f(π,8)，coseq\f(14π,9)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(4π,9)))＝coseq\f(4π,9).∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0<eq\f(π,8)<eq\f(4π,9)<π，∴coseq\f(π,8)>coseq\f(4π,9)，∴coseq\f(15π,8)>coseq\f(14π,9).2．比较下列各组数的大小．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))与coseq\f(13π,7)；(2)sin194°与cos160°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,8)))与coseq\f(6π,7)[解析](1)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))＝coseq\f(π,8)，coseq\f(13π,7)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,7)))＝coseq\f(π,7)，而0<eq\f(π,8)<eq\f(π,7)<eq\f(π,2)，且y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减，∴coseq\f(π,8)>coseq\f(π,7).即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>coseq\f(13π,7).(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°，而0°<104°<160°<180°，且y＝cosx在[0，π]上单调递减．∴cos104°>cos160°.即sin194°>cos160°.(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,8)))＝coseq\f(7π,8)，因为0＜eq\f(6π,7)＜eq\f(7π,8)＜π，y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以coseq\f(7π,8)＜coseq\f(6π,7).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,8)))＜coseq\f(6π,7).3．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin196°与cos156°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).[解析](1)∵－eq\f(π,2)＜－eq\f(π,10)＜－eq\f(π,18)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16°＜sin66°，从而－sin16°＞－sin66°，即sin196°＞cos156°.(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＝coseq\f(23,5)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(3,5)π))＝coseq\f(3,5)π，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝coseq\f(17,4)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4).∵0＜eq\f(π,4)＜eq\f(3,5)π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴coseq\f(3,5)π＜coseq\f(π,4)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).4．比较下列各组数的大小：①coseq\f(15π,8)，coseq\f(14π,9)；②cos1，sin1.[解析]①coseq\f(15π,8)＝coseq\f(π,8)，coseq\f(14π,9)＝coseq\f(4π,9)，因为0＜eq\f(π,8)＜eq\f(4π,9)＜π，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，所以coseq\f(π,8)＞coseq\f(4π,9)，即coseq\f(15π,8)＞coseq\f(14π,9).②因为cos1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，而0＜eq\f(π,2)－1＜1＜eq\f(π,2)且y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))＜sin1，即cos1＜sin1.5．比较下列各组数的大小．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,3)π))；(2)cos870°与sin980°.[解析](1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,3)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)，因为y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＜sineq\f(π,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))＜sineq\f(49,3)π.(2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，因为0°＜150°＜170°＜180°，且y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，所以cos150°＞cos170°，即cos870°＞sin980°.6．sineq\f(2π,7)________sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8)))(填“＞”或“＜”)．[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs