人教A版选择性必修第二册第二课时数列的递推公式

第二课时数列的递推公式

学习目标

1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式,培养数学抽象

的核心素养.

2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法，增强逻辑推理与

数学运算的核心素养.

历史上有一个有名的关于兔子的问题:假设有一对兔子(一雄一

雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，

生下来的兔子也都是长两个月就算成年,然后每个月也都会生出1对

兔子.这里假设兔子不会死,且每次都是只生1对兔子.

第一个月，只有1对兔子；

第二个月，小兔子还没长成年,还是只有1对兔子；

第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔

子；

第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔

子,共有3对兔子；

第五个月，成年兔子又生了1对兔子,第三个月生的小兔子现在

已经长成年了且生了1对小兔子,加上本身两只成年兔子及上月生的

小兔子,共5对兔子...

探究：⑴过了一年之后,会有多少对兔子？

(2)兔子的对数所组成的数列为1,1,2,3,5,8,13,…这个数列的第n

项an,第n+1项an+i,第n+2项有何关系？

提示：(1)我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到

一组数字：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.所以,过了一年之

后，总共会有233对兔子.

=

(2)an+an+ia.n+2.

［问题］某会议室有若干排座位,每一排的座位数构成的数列设为

｛aj.从第二排起,后一排都比前一排多2个座位(如图).

⑴第n排与第n-1排座位数有什么关系？

(2)若第一排有7个座位,数列｛%｝是怎样的一列数？

(3)观察以上两个问题中所涉及的一列数,说一说这列数的呈现有什

么特点？

提示：⑴an=an-i+2(n£N,且n22).

(2)7,9,11,13,15,

(3)每一列数中的数字都是按照确定的顺序排列的.

1.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,

那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

［思考1］利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？

提示：(1)“基础”，即第1项(或前几项)；⑵递推关系，即递推公式.

［思考2］数列的递推公式与其通项公式有何异同？

提示：

相同点不同点

通项公均可确定一个数列,求给出n的值,可求出数列中的第n项

式出数列中的任意一项an

递推公由前一项（或前几项），通过一次（或

式多次）运算,可求出第n项a.

［做一做1］（2022•湖南长沙第九中学高一期末）数列｛a#满足

ai=l,an=an_+3n（n为正整数，n与2）,则a3等于（C）

A.43B.28

C.16D.7

解析：因为ai=l,an=a„i+3n（n为正整数,n22）,

令n=2,所以a2=ai+3X2=7;

令n=3,所以a3=a2+3X3=7+9=16.故选C.

2.数列｛an｝的前n项和及其与a的关系

⑴数列⑸｝的前n项和:把数列瓜｝从第1项起到第n项止的各项之

,

和,称为数列｛aj的前n项和,记作Sn,即Sn=ai+a2+

⑵数列的前n项和公式:如果数列｛4｝的前n项和显与它的序号工之

间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的

前n项和公式.

⑶an与Sn的关系:

.Si，n=1,

3,1Sn-Sn-i，71之2.

______

［做一做2］已知数列瓜｝的前n项和S„=n2,则a产.

解析:当n22时，

22

an=Sn-S„-1=n-（n-1）=2n-1,

当n=l时,a,=Si=l,也适合a,=2n-l,

所以an=2n-l.

答案：2nT

依探究点一由递推公式求数列的项

［例1］已知数列｛%｝满足a,=l,an=a-+-7^?(n22),写出该数列的前

n\n-l)

5项,并归纳出它的一个通项公式.

解：ai=l,

113

02刊+——=1+--

2X122

13.15

a：i=a2+^=2+r?

azza+——1=一5+,1—=-7.

434X33124

17119

④-a」+-----+-----,

5X44205

故数列的前5项分别为

由于1:2X1-132X2-152X3-1

12233

72X4-192x5-1

4455

故数列｛&,｝的一个通项公式为a..=—=2--.

nn

(1)由递推关系写出数列的项并归纳通项公式的步骤:

①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).

②根据写出的前几项,观察归纳其特点，并把每一项统一形式.

③归纳总结写出一个通项公式.

⑵根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列的前几项的方

法:

①根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关

系,依次代入计算即可.

②若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项

的形式,如an=2a„tl+l.

③若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项

的形式，如an+1=^.

［针对训练］已知在数列｛aj中，ai=l,ai=-^a.

n+n+1n

(1)写出数列｛aj的前5项；

(2)猜想数列｛aj的通项公式.

解：⑴由a=1.尸言1a”,可得

a=——1ai-X11=-1

21+122

2_2V1_1

2+1323

Hi----------3-3—X---,

3+1434

a=——4a-4X,.-1=1-.

54+15445

(2)猜想:a”」.

n

e探究点二由递推公式求通项公式

［例2］⑴已知数列｛例满足aE,扁，求数列的通项

公式an;

(2)设在数列｛aj中，ai=l,a=(l--)a-i(n^2,nGN*),求通项公式a.

nnnn

解：⑴因为a+i-a=--,

nnnn+l

所以a2_ai=y--,

as-32=~ii

23

11

d4—

a「am尸二二(n》2),将以上n-1个式子相加，得

n-1n

---

(a2ai)+(a3a2)+(a4-a3)+…+(anan-i)=

即a-ai=l--(n^2,n£N*).

nn

所以a=ai+l~—=-l+l_—(n^2,n£N*),

nnnn

又当n=l时,aF-1也符合上式.

所以a=--,n£N*.

nn

(2)因为a1=l,a„=(1--)a-!(n22),

nn

所以2q,

an1n

an=P-><2x2义…义回义也Xai

an-lan-2an-3a2ai

=ZL2x—X—X-X-XiX1A

nn-1n-232n

又因为n=l时，ai=l,符合上式,

所以a"(nWN*).

n

由数列的递推公式求通项公式时,常常通过累加或累乘法求得，即

⑴累加法：当an=an-i+f(n)时，常用an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+…

+(a2-ai)+ai求通项公式.

⑵累乘法：当d=g(n)时，常用％=上....也・ai求通项公

an~ian-ian~2ai

式.

［针对训练］(1)已知数列｛a｝满足④=2,a+尸37(11£”),写出数列的前

5项，猜想％并加以证明.

(2)已知数列｛&,｝满足a,=1,+l(n^2),求数列｛aj的通项公式.

2a71-1

=

解：(1)由a产2,an+i3an,得

&二3@尸3X2,

2

a3=3a2=3X3X2=3X2,

23

a4=3a3=3X3X2=3X2,

31

a5=3a4=3X3X2-3X2,

・・♦

猜想:an=2X3"

证明如下：由am=3%得皿=3.

an

因此可得%=3,生=3,幺=3,…，工=3.

ala2a3an~i

将上面的n-1个式子相乘可得

亥•生・幺....an-3nH.

ala2a3an-l

即出二3T所以为二④•3nl,

Qi

=

又a，i=2,故an2•3ni.

(2)由已知得工-」一二1(n22).

anan-l

=—+(—_—)+(--—)+•••+(——^—)=2+1+1+・•・+l=n+l.

。20302。"一1j’'v—....，

个1

所以£n+l,所以an=-^-.

ann+1

aL：符合上式，所以an=—

2n+1

②探究点三an与Sn的关系

［例3］已知各数列｛aj的前n项和S.,的公式,求｛an｝的通项公式.

2

(1)Sn=2n-3n;

⑵S“=3n-2.

解：⑴当n=l时，ai=Si=2X12-3Xl=-1;

当n22时，Sn.,=2(n-1)-3(n-1)=2n-7n+5,

则an=Sn-Sn-i=(2n-3n)-(2n-7n+5)

=2n2-3n-2n2+7n-5

=4n-5.

止匕时若n=l,贝ijan=4n-5=4Xl-5=-l=ai,

故an=4n-5.

(2)当n=l时，ai=Si=31-2=l;

当n》2时,SV3,

则^Sn-Sn-F(3-2)-(3n-,-2)=3n-3n=3•3nL3""=2•3,

此时若n=l,则an=2・3F2X3i=2Wai,

故闻》帚

(2,3nL,n>2.

已知数列｛a“｝的前n项和公式Sn,求通项公式a”的步骤：

⑴当n=l时，ai=Si.

⑵当心2时，根据Sn写出Sn-„化简^Sn-Sn-L

(3)如果小也满足当n22时,an=S「SnT的通项公式,那么数列｛4｝的通

项公式为an=Sn-Sn-1；

如果af不满足当ne2时一,aKrSn—的通项公式,那么数列E｝的通项

公式要分段表示为a求二=1；>?

2

［针对训练］已知数列｛4｝的前n项和Sn=-|n+^n,求数列｛aj的通项

公式.

解：a1=S尸—|x「+学X1=101,

当n，2时,a11=S,-Sn-1=-3n+104,

因为n=l也适合上式，

所以数列｛an｝的通项公式为a„=-3n+104(n£N*).

［例1］在数列瓜｝中，已知ag,尸阚g求a2,a3,a”的值,并猜测数列

2an+3

｛4｝的通项公式.

解：因为ai=^,an+i=—

2an+3

3x-Q

所以当n=l时,a=j-^=~,

2尹37

t.3x-3

当n=2时，a3-3-^=~,

-7+3o

i3X—Q1

当n=3时t一,

8

所以a-1,a?芸,a尸;;

27o3

猜想a=-^-.

nn+5

［例2］已知数列瓜｝的通项公式是an=(n+l)•(音):试问该数列有没

有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.

解:法一an+-an

=(n+2)端严一(n+i)(沙

_(9-#熠)，

一11，

当n<9时，an+i-an>0,即an+i>an;

当n=9时,an+1-an=0,即an+i=an;

_

当n>9时，an+ian<0,即an+i<an.

贝ai<a2<a3<---<a9=a1o>ai1>ai2>---,

故数列｛a,J有最大项,为第9项和第10项，

且&9=&10=10X(―)9.

法二根据题意，令3n(n>l)

九—Qn+l，

nx(-)71T<(n+1)(-)n,

即11n(n>l)

g+1)端10)n>(n+2)端10)n+L

解得9WnW10.

又n£N*,贝！Jn=9或n=10.

故数列｛aj有最大项,为第9项和第10项，

且ag-aio-10X(号)：

[例3](2021•江苏徐州高二期中)已知柞是正项数列｛aj的前n项和,

且2Sn=an+an.

⑴求ai；

(2)求数列｛4｝的递推公式；

(3)求数列｛SJ的递推公式.

解：(1)当n=l时，2al=a：+a“即忧=ai,

解得ai=l或ai=0.

又因为aDO,所以a产L

⑵由已知2Sn=aJ+an,

当n22时，2Sn-i=cin-1+an-b

两式相减，得2Sn-2Sn-i=a^-aJ-1+an-an-i,

即2an=an-aJ-i+an-an-i,

W一忌-「(an+anT)=0,

(an+an-i)(a,-an-i-l)=0,

因为｛aj是正项数列，所以a「a*l,

=

即ana.n-i+1•

所以数列｛aj的递推公式为ai=l,an=an-i+l.

(3)由已知2Sn=c^+an,

得2Sn=(Sn-Sn-i)2+(Sn-Sri),

整理得(Sn-Sm)2=Sn+Se.

2

所以数列｛Sn｝的递推公式为S,=l,(sn-sn-1)=sr,+sn.l.

1.在数列｛aj中，a1=；,an=l-二一(ne2,n£N*),则a202i等于(C)

2ani

1

A.-B.1C.-1D.2

2

解析:a，2=l_—-1—2=—1