高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)10.1.1有限样本空间与随机事件(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

10.1.1有限样本空间与随机事件（讲义+例题+小练）一．有限样本空间1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（samplespace).我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,...,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,...,ωn,}为有限样本空间.例1：1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。2.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？举一反三1.抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.2.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间二、随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（randomevent),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent).1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.例2：1．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨2．将一枚硬币向上抛掷4次,其中正面向上恰有2次是()A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．无法确定3．给出下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%.其中是随机事件的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列事件为确定事件的有()．(1)在一标准大气压下，20℃的纯水结冰(2)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分(3)抛一枚硬币，落下后正面朝上(4)边长为a，b的长方形面积为abA．1个 B．2个 C．3个 D．4个举一反三：1．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（）A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书2．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A．3件都是正品 B．3件都是次品C．至少有1件次品 D．至少有1件正品3．下列事件中，随机事件的个数为()①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签．A．0 B．1 C．2 D．34．下列说法正确的是()．A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件C．概率的大小与不确定事件有关D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生巩固提升一、单选题1．某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为．那么以下理解正确的是（

）A．某人抽奖100次，一定能中奖10次 B．某人消费1000元，至少能中奖1次C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖10次，可能1次也没中奖2．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（

）A．（男，女），（男，男），（女，女）B．（男，女），（女，男）C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D．（男，男），（女，女）3．下列事件中，随机事件的个数为（

）①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.A．1 B．2C．3 D．44．下列事件中，属于不确定的事件是（）A．常温下，锡会融化； B．水蒸气遇冷能够凝结；C．上海龙华古寺是一座千年古塔； D．电话铃声一响就被接听5．下列事件是必然事件的是（

）A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B．函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数C．平行于同一条直线的两条直线平行D．随机选取一个实数x，得2x<06．下列现象中，不可能事件是（

）A．三角形的内角和为180° B．a⊥α，b⊥α，a∥bC．锐角三角形中两内角和小于90° D．三角形中任意两边之和大于第三边二、多选题7．（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题：①若任取，则是必然事件：②若任取，则是不可能事件；③若任取，则是随机事件；④若任取，则是必然事件．其中正确的命题是（

）A．① B．② C．③ D．④8．（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（

）A．取出的两球标号为3和7B．取出的两球标号的和为4C．取出的两球标号都大于3D．取出的两球标号的和为8三、填空题9．必然事件的概率是________.10．将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.四、解答题11．抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.12．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．10.1.1有限样本空间与随机事件（讲义+例题+小练）一．有限样本空间1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（samplespace).我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,...,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,...,ωn,}为有限样本空间.例1：1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h,t}.2.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．举一反三1.抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i表示朝上面的“点数为i”，因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.2.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间解：如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便.二、随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（randomevent),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent).1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.例2：1．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨【答案】B【分析】根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.2．将一枚硬币向上抛掷4次,其中正面向上恰有2次是()A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．无法确定【答案】C【解析】由于抛掷硬币时，正面向上和向下是不确定的，故抛掷次，正面向上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷次，其中正面向上恰有次是随机事件。故答案选3．给出下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%.其中是随机事件的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据相关事件的概念对给出的每个结论进行分析、判断后可得结论．【详解】由题意易知①③是必然事件，②④是随机事件．故选B．【点睛】本题考查必然事件、随机事件的概念，解题的关键是根据相关概念分析求解，属于容易题．4．下列事件为确定事件的有()．(1)在一标准大气压下，20℃的纯水结冰(2)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分(3)抛一枚硬币，落下后正面朝上(4)边长为a，b的长方形面积为abA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，所以确定事件有（1）（2）（4）.【详解】是不可能事件，（2）是不可能事件，（3）是随机事件，（4）是必然事件，因为确定事件包括必然事件和不可能事件，所以确定事件有（1）（2）（4）.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查确定事件和随机事件的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)确定事件包括必然事件和不可能事件.举一反三：1．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（）A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书【答案】D【分析】由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可.【详解】因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书，故选：【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的含义，属于基本概念的考查.2．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A．3件都是正品 B．3件都是次品C．至少有1件次品 D．至少有1件正品【答案】D【分析】根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可.【详解】从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件:3件都是正品是随机事件，：3件都是次品不可能事件,:至少有1件次品是随机事件,：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D.【点睛】本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3．下列事件中，随机事件的个数为()①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用随机事件的定义直接求解．【详解】由随机事件的定义知：在①中，在学校明年召开的田径运动会上，学生张三获得100米短跑冠军，是随机事件，故①正确；在②中，在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李四，是随机事件，故②正确；在③中，王麻子从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件，故③正确．故选D．【点睛】本题考查随机事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意随机事件定义的合理运用．4．下列说法正确的是()．A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件C．概率的大小与不确定事件有关D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生【答案】C【分析】利用事件的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】A.如果一事件发生的概率为十万分之一，不能说明此事件不可能发生，只能说明此事件发生的可能性比较小，所以该选项是错误的；B.如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以该选项是错误的；C.概率的大小与不确定事件有关，该命题是真命题；D.如果一事件发生的概率为99.999％，不能说明此事件必然发生，因为它不是必然事件,所以该选项是错误的.故答案为C【点睛】本题主要考查事件及其概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.巩固提升一、单选题1．某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为．那么以下理解正确的是（

）A．某人抽奖100次，一定能中奖10次 B．某人消费1000元，至少能中奖1次C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖10次，可能1次也没中奖【答案】D【解析】【分析】对于概率的理解要到位，中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性，从而作出判断.【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有中奖的可能性，故D选项正确故选：D2．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（

）A．（男，女），（男，男），（女，女）B．（男，女），（女，男）C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D．（男，男），（女，女）【答案】C【解析】【分析】把所有的情况一一列出即可求解.【详解】把第一个孩子的性别写在前面，第一个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故选：C.3．下列事件中，随机事件的个数为（

）①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义判断即可【详解】①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.故选：B4．下列事件中，属于不确定的事件是（）A．常温下，锡会融化； B．水蒸气遇冷能够凝结；C．上海龙华古寺是一座千年古塔； D．电话铃声一响就被接听【答案】D【解析】【分析】根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义直接判断.【详解】对于A：“常温下，锡会融化”是不可能事件.故A错误；对于B：“水蒸气遇冷能够凝结”是必然事件.故B错误；对于C：“上海龙华古寺是一座千年古塔”是必然事件.故C错误；对于D：电话铃声一响后有可能被接听，也有可能不被接听，故“电话铃声一响就被接听”是随机事件.故选：D5．下列事件是必然事件的是（

）A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B．函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数C．平行于同一条直线的两条直线平行D．随机选取一个实数x，得2x<0【答案】C【解析】【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念逐项分析即可求解.【详解】A是随机事件，5张标签都可能被取到.B是随机事件，当a>1时,函数y＝logax为增函数，当0<a<l时,函数y＝logax为减函数.C是必然事件，实质是平行公理.D为不可能事件，根据指数函数的图像可得，对任意实数x,都有.选故：C6．下列现象中，不可能事件是（

）A．三角形的内角和为180° B．a⊥α，b⊥α，a∥bC．锐角三角形中两内角和小于90° D．三角形中任意两边之和大于第三边【答案】C【解析】【分析】三角形的内角和为180°是必然事件，根据线面垂直的性质可判断B；三个角均为锐角的在角形为锐角三角形，故两个角的和大于90°，可判断C；根据三角形的边长关系可判断D．【详解】若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．故选：C二、多选题7．（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题：①若任取，则是必然事件：②若任取，则是不可能事件；③若任取，则是随机事件；④若任取，则是必然事件．其中正确的命题是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】【分析】根据集合是集合的真子集，可知集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，再根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可求解.【详解】因为集合是集合的真子集，所以集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合是集合的真子集，集合中存在元素不是集合中的元素，集合中也存在集合中的元素，所以任取，则是随机事件，故③正确；对于④：因为集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然事件，故④正确；所以①③④正确，故选：ACD.8．（多