高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第4课时二次函数(原卷版+解析)

第4课时二次函数编写：廖云波【回归教材】1.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.2.二次函数的单调性=1\*GB3①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；=2\*GB3②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.3.二次函数图像与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.4.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间或处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.5.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根【典例讲练】题型一二次函数的解析式【例1-1】若二次函数满足，，求.归纳总结：【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为____，f(2)＝____.题型二二次函数的图像与单调性【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是___________.【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(

)A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d归纳总结：【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（

）A． B．C． D．当时，或【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．题型三二次函数的值域与最值【例3-1】已知二次函数．(1)当时，求的最值；(2)当时，求的最值；(3)当时，求的最小值．【例3-2】已知函数．求在上的最小值；【例3-3】二次函数在区间上有最大值4，最小值0.(1)求函数的解析式；(2)设，且在的最小值为，求的值.归纳总结：【练习3-1】函数(1)当时，求函数的值域；(2)当时，求函数的最小值．【练习3-2】一次函数是R上的增函数，且，求；(2)当时，有最大值13，求实数m的值．题型四二次函数中的恒成立（有解）问题【例4-1】(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．(2)若函数的值域为，求实数a的取值范围．【例4-2】已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.(1)求，的值；(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.归纳总结：【练习4-1】已知函数.(1)若且的最小值为，求不等式的解集；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【练习4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.(1)求在区间上的解析式；(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.题型五一元二次方程根的分布【例5-1】函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.【例5-2】已知关于x的方程.(1)当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.【例5-3】设函数，其中.（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.【练习5-1】若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.【请完成课时作业（十）】

【课时作业（十）】A组基础题1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B． C． D．最小值是，无最大值2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（

）A．1 B．0 C． D．24．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．8．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．9．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．10．【多选题】二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．已知函数在上单调，则实数的取值范围是________12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.13．已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)求在上的最小值；(3)在区间上的最大值为，求实数的值．B组能力提升能1．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．2．设，若是的最小值，则的取值范围为______．3．已知，若有5个零点，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．4．已知函数.其中，且.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值.第4课时二次函数编写：廖云波【回归教材】1.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.2.二次函数的单调性=1\*GB3①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；=2\*GB3②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.3.二次函数图像与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.4.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.5.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根【典例讲练】题型一二次函数的解析式【例1-1】若二次函数满足，，求.【答案】.【解析】【分析】由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可.【详解】因为二次函数满足；所以设，则：；因为，所以；∴；∴；∴，；∴.故答案为：.归纳总结：【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为____，f(2)＝____.【答案】

f(x)＝＋2x＋1

7【解析】【分析】设二次函数解析式为f(x)＝a＋bx＋c(a≠0)，由f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1知c＝1，由f(x－2)＝f(－x－2)可得a和b的关系，设a＋bx＋c＝0的两根为，则根据已知条件知，结合韦达定理即可求得a和b.【详解】设f(x)＝a＋bx＋c(a≠0).由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0；①又∵，∴－4ac＝8；②又由已知得c＝1.③由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，∴f(x)＝＋2x＋1.∴f(2)＝＋2×2＋1＝2＋4＋1＝7.故答案为：f(x)＝＋2x＋1，7.题型二二次函数的图像与单调性【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】【分析】根据二次函数的对称轴可判断②；由对称性知图象过点可判断①；根据时，可判断③；根据开口向下可判断④；进而可得正确答案.【详解】因为的对称轴为，所以，即，所以②不正确；因为图象过点，对称轴为，所以图象过点，所以，故①正确；当时，，故③正确；因为二次函数开口向下，所以，所以，故④正确；故答案为：①③④.【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(

)A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d【答案】D【解析】【分析】根据题意画出二次函数的图像即可判断a、b、c、d的大小关系﹒【详解】，由解析式知，f(x)对称轴为x＝，∵c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，∴可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示：由图可知c＞a＞b＞d，故选：D．归纳总结：【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（

）A． B．C． D．当时，或【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确；当时，，故B正确；该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误.故选：ABC.【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】分类讨论，时根据二次函数的性质求解．【详解】时，满足题意；时，，解得，综上，故答案为：．题型三二次函数的值域与最值【例3-1】已知二次函数．(1)当时，求的最值；(2)当时，求的最值；(3)当时，求的最小值．【答案】(1)最小值为，最大值为(2)最小值为，最大值为(3)【解析】【分析】（1）根据二次函数对称轴情况求最值；（2）根据二次函数对称轴情况求最值；（3）分情况讨论函数最值的情况.(1)解：二次函数图象如图所示，函数的对称轴为，所以当时，取最小值为，当时，取最大值为；(2)解：由（1）得当时，取最小值为，当时，取最大值为；(3)解：由图象可知：当，即时，在上单调递减，故最小值；当，即时，在单调递减，在上单调递增，故最小值；当时，在上单调递增，故最小值，综上所述：.【例3-2】已知函数．求在上的最小值；【答案】(1)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.(3)或【解析】【分析】（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.的对称轴是，①当，即时，函数在上递增，当时，取到最小值；②当，即时，函数在上先递减后递增，当时，取到最小值；③当，即时，函数在上递减，当时，取到最小值，综上所得，当时，最小值；当时，取到最小值；当时，取到最小值.【例3-3】二次函数在区间上有最大值4，最小值0.(1)求函数的解析式；(2)设，且在的最小值为，求的值.【答案】(1)(2)的值为或【解析】【分析】（1）结合二次函数的性质求得的解析式.（2）求得的表达式，对进行分类讨论，结合在的最小值来求得的值.(1)依题意，二次函数，开口向上，对称轴，所以，所以.(2)，开口向上，对称轴，当时，.当时，（舍去）.当时，.综上所述，的值为或.归纳总结：【练习3-1】函数(1)当时，求函数的值域；(2)当时，求函数的最小值．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据函数的解析式，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.(1)解：由题意，函数，可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为，综上函数在上的值域为.(2)解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值为；③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.【练习3-2】一次函数是R上的增函数，且，(1)求；(2)当时，有最大值13，求实数m的值．【答案】(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）设，，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得的解析式；（2）求得的解析式和对称轴方程，再由单调性可得，解不等式即可得到所求范围；（3）由的图象可得的最大值只能在端点处取得，解方程，加以检验即可得到所求值．(1)解：∵一次函数是R上的增函数，设．则，，解得或不合题意，舍去．．(2)解：＝2x2+（1+2m）x+m，对称轴为x，当x∈[﹣1，3]时，g（x）有最大值13，由于的图象开口向上，则的最大值只能为端点处的函数值，若是最大值13，即有2﹣1﹣2m+m＝13，解得m＝﹣12，此时＝2x2﹣23x﹣12在[﹣1，3]上递减，符合题意；若是最大值13，即有18+3+6m+m＝13，解得m，此时＝2x2x在[﹣1，）递减，在（，3]递增，且13，符合题意．综上可得，m＝﹣12或m．题型四二次函数中的恒成立（有解）问题【例4-1】(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．(2)若函数的值域为，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)函数的定义域为R，则真数部分大于0恒成立；(2)的值域为，则值域包含.【详解】(1)函数的定义域为R，则对x∈R恒成立，①时，，符合题意；②时，，综上：；(2)由题可知，①，，不符题意；②时，，综上：.【例4-2】已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.(1)求，的值；(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）依题意，在,单调递减，及，联立可求得，的值；（2）方法一：分离参数，则,，恒成立，求当,时，可得实数的取值范围；方法二：问题转化为,，恒成立，利用二次函数的性质可求得，求的取值范围.(1)令，又，的开口向上，对称轴方程为，在,单调递减，，又，.(2)方法一：,，恒成立，∴,，恒成立，只需，,，因此，满足条件的实数的取值范围是.方法二：,，恒成立,∴在,上恒成立，只需使在,上恒成立，的开口向上，对称轴方程为，在,上单调递减，当时，取得最小值，即，解得，因此，满足条件的实数的取值范围是.归纳总结：【练习4-1】已知函数.(1)若且的最小值为，求不等式的解集；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.(1)解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，所以，，因为，解得，由得，即，得，因此，不等式的解集为.(2)解：由得，设函数，因为函数的图象是开口向上的抛物线，要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，则，可得，解得.【练习4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.(1)求在区间上的解析式；(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）设，由奇函数的定义可得出，即可得出函数在区间上的解析式；（2）求得函数在区间上的值域为，分析函数在区间上的单调性，可得出，即可求得实数的取值范围.(1)解：设，则，，即当时，.(2)解：当时，；当时，；又因为，所以，函数在上的值域为，在上单调递减，在上单调递增，当时，，，因为，则，使得成立，则，解得.题型五一元二次方程根的分布【例5-1】函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的零点分布求解.【详解】因为函数在区间和内各有一个零点，所以，解得.【例5-2】已知关于x的方程.(1)当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据，以及两根之和小于零，两根之积大于零列出不等式求解即可；（2）只需一元二次方程对应的二次函数在时的函数值小于零即可；(1)若关于的方程有两个负根，只需：，即；且两根之和，即；以及两根之积，即或.综上所述，，即实数的取值范围为.(2)关于x的方程有一个正根和一个负根时，只需其对应的二次函数满足，即，解得.故实数的取值范围为：.【例5-3】设函数，其中.（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.【答案】（1）或或；（2）或.【解析】【分析】根据函数性质：开口方向、判别式，讨论对称轴与给定区间的位置情况，结合区间零点个数列不等式组，求参数的取值范围.【详解】由题设，开口向上且对称轴为，，（1）当，即或时，在区间上有唯一零点；当，即或时，要使在上有唯一的零点，只需，解得或；综上，或或时在上有唯一的零点.（2）由题设，即或，∴或，可得或.综上，或时在上有两个零点.【练习5-1】若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】令，根据题意，由求解.【详解】令，因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：【请完成课时作业（十）】

【课时作业（十）】A组基础题1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B． C． D．最小值是，无最大值【答案】C【解析】【分析】根据二次函数在闭区间上的性质即可求解最大值和最小值.【详解】，抛物线的开口向上，对称轴为，在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．故选：C．2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.【详解】函数的对称轴为，由于在上是减函数，所以.故选：A3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【解析】【分析】根据二次函数性质求得最小值，由最小值得值，从而再求得最大值．【详解】∵在上单调递增，∴其最小值为，∴其最大值为.故选：A．4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由可得，令，由已知可得，解得，故选：A.5．若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可【详解】当时，当时，要使的值域为则，故选：C6．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.【详解】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得故实数a的取值范围是故选：C7．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根据，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.【详解】因为，所以二次函数的对称轴为，又因为，所以，又，所以.故选：B.8．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质并结合图象即可求出实数m的取值范围.【详解】函数的图象如图所示，因为当或时，；当时，，因为函数的定义域为，所以．故选：C．9．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，，再由二次函数的单调性即可求出的值域.【详解】因为，由题意可得，，，则在上单调递减，在上单调递增.所以，所以的值域为.故选：D.10．【多选题】二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案.【详解】解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故.又因为，所以.故选：ACD.11．已知函数在上单调，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据题意，分和，两种情况，结合一次、二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，此时函数在区间上为单调递增函数，符合题意；当时，的对称轴的方程为，要使得在上为单调函数，则满足或，解得或且，综上可得实数的取值范围是.故答案为：.12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，求其在上的最小值即可.【详解】对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，则其在上的最小值为，所以，得.故答案为：13．已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)求在上的最小值；(3)在区间上的最大值为，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值是(2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.(3)或【解析】【分析】（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.(1)时，，结合函数图像得：在上的最大值是，最小值是；(2)的对称轴是，①当，即时，函数在上递增，当时，取到最小值；②当，即时，函数在上先递减后递增，当时，取到最小值；③当，即时，函数