广西崇左市大新县民族高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

崇左市大新县民族高中2024年春季学期月考试题高一数学（考试范围：必修二第六章､第七章）（试卷总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知与线的向量与长度相等的向量与长度相等，方向相反的向量，其中为非零向量，则下列命题错误的是（）A.B.C.D.2.设P为对角线的交点，为任意一点，则（）A.B.C.D.3.已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（）A.B.C.D.不存在这样的向量4.若复数是纯虚数，则（）A.B.且C.D.5.已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若，则B.实部为零的复数是纯虚数C.可能是实数D.复数的虚部是6.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点关于虚轴的对称点为，则向量对应的复数为（）A.B.C.D.7.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要，有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形，已知与为全等的正六边形，且，点P为线段（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知非零向量､，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知复数z满足，则（）A.B.C.D.11.设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则C.若，则的虚部为D.若，则点的集合所构成的图形的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量___________13.已知，则__________，__________.14.著名数学家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则___________；若，则___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量，求满足的和的值.16.（15分）已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点为中点，设与相交于点P.（1）请用､表示向量；（2）设和的夹角为，若，且，求证：.17.（15分）已知复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为1，且是实数，求.18.（17分）（1）在复平面上画出与以下复数，，，分别对应的点，，，.，，，.（2）求向量，，，的模.（3）点，，，中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？19.（17分）1707年4月15日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学.13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位.是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）.已知复数，，.（1）当时，求的值；（2）当时，若且，求的值.参考答案和评分标准高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【命题分析】根据题意得到是由与的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，即可得到答案.【解析】因为是由与共线且与的模相等的向量构成的集合，即由与的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以是错误的.2.【答案】D【命题分析】分别在△OAC和△OBD中，根据是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解.【解析】解：在△OAC中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以，即.在△OBD中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以，即.所以.3.【答案】A【命题分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.【解析】因为向量与是两个不平行的向量，且且，所以等于，4.【答案】A【命题分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.【解析】由题意可得：，解得或，又，所以.5.【答案】C【命题分析】根据复数的概念即可求解.【解析】A.，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当时，是实数，说法正确；D.复数的虚部是1，说法不正确.6.【答案】C【命题分析】由对称得点B的坐标，即可确定复数.【解析】由题意可知，点A的坐标为，则点B的坐标为，故向量对应的复数为.7.【答案】C【命题分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.【解析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则､，因为P为EF上的动点，设，.则所以，.显然在上单调增，所以即.8.【答案】B【命题分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件､必要条件求解.【解析】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，而成立推不出成立，，所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD【命题分析】利用向量､共线向量､相等向量等概念逐项判断.【解析】对于A，向量是具有方向的量，若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；对于B，若，则一定有，故B正确；对于C，若，则只能说明非零向量､共线，当､大小不同或方向相反时，都有，故C错误；对于D，若，则､共线且方向相同，所以，故D正确.10.AC【命题分析】根据复数定义求出复数，验证选项可得答案.【解析】设复数，由，得，所以解得所以，则.11.【答案】BD【命题分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p､q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D.【解析】A中，令，则，故A错误；B中，若点Z的坐标为，则，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正确；C中，易知的虚部为，故C错误；D中，记，则所以，圆的面积为，圆的面积为，所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【命题分析】利用平面向量基本定理即可求得结果.【解析】易知，显然；可得；13.【答案】611【命题分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解.【解析】因为（xi+x）+（yi+4）=（y-i）-（1-3xi），所以x+4+（x+y）i=（y-1）+（3x-1）i，∴，解得.14.【答案】2【命题分析】（1）直接代公式得原式为，化简即得解；（2）直接代公式化简得，解方程即得解.【解析】（1）；（2）.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）【命题分析】利用向量的线性坐标运算即可求解.【解析】由，得.即，解得，即16.（15分）【命题分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.（2）以､为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.【解析】（1）（2），，17.（15分）【命题分析】（1）利用复数的除法运算法则可求；（2）设，代入运算可得，结合已知可求得，可求.【解析】（1）.（2）复数的虚部为1，设，则.因为是实数，所以，解得，所以.18.（17分）【命题分析】（1）直接根据复数的几何意义作图即可；（2）根据复数的模长公式计算即可；（3）利用共轭复数的定义判断即可.【解析】解（1）由题意可得图3.3-3.（2）由于，，，的坐标分