2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练31数列求和

课时规范练31数列求和基础巩固组1.已知函数f(n)=n2,n为奇数,-n2,n为偶数,且an=f(n)+f(n+1),则a1+aA.0 B.100 C.-100 D.102002.在数列{an}中,若an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前12项和等于()A.76 B.78 C.80 D.823.(多选)公差为d的等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则下面结论正确的有()A.d=2B.an=2n+1C.1aD.1an2-1的前4.(多选)数列{an}满足a1=1,且对随意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则()A.an=nB.数列1an的前100项和为200C.数列1an的前100项和为99D.数列{an}的第100项为500505.已知Tn为数列2n+12n的前n项和,若m>T10+1013恒成立,则整数m的最小值为(A.1026 B.1025 C.1024 D.10236.若f(x)+f(1-x)=4,an=f(0)+f1n+…+fn-1n+f(1)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.

7.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1+SnSn+1=0,则Sn=,数列{SnSn+1}的前n项和Tn为.

8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足a4+b4=9,且公比为q,从①q=2;②q=12;③q=-1这三个条件中任选一个作为题目的已知条件,求数列{an-bn}的前n项和Tn9.已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10,且a1,a2,a4是等比数列{bn}的前3项.(1)求an,bn;(2)设cn=bn+1an(an+1),求{c10.已知等比数列{an}满足a1,a2,a3-a1成等差数列,且a1a3=a4.等差数列{bn}的前n项和Sn=(n(1)求an,bn;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.综合提升组11.数列{an}满足a1=1,且对随意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+1A.20172018 B.C.40342018 D.12.(多选)已知曲线C:y2=2x+a在点Pn(n,2n+a)(a>0,n∈N)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴、y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且|x0|=|y0|.A.a=1 B.当n∈N+时,yn的最小值为2C.当n∈N+时,kn>2sin1D.当n∈N+时,记数列{kn}的前n项和为Sn,则Sn<2(n13.各项均为正数的数列{an}满足a1=1,a2=12,1an+1=1an·1an+2(n∈N*),那么a1·a3+a2·a4+a14.已知在数列{an}中,a1=12,其前n项和Sn满足Sn2-anSn+an=0(n≥2),则a2=,S201915.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.创新应用组16.(多选)已知函数f(x)=12(x2+a)的图像在点Pn(n,f(n))(n∈N*)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴,y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且y1=-1.以下结论中,正确的结论有(A.a=-1B.记函数g(n)=xn(n∈N*),则函数g(n)先减后增,且最小值为1C.当n∈N*时,yn+kn+12<ln(1+knD.当n∈N*时,记数列1|yn|·kn的前n项和为17.在①b1+b3=a2;②a4=b4;③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.问题:设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列,,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1参考答案课时规范练31数列求和1.B由题意,得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.故选B.2.B由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得(-1)nan+1+an=(-1)n(2n-1), ①an+2+(-1)n+1an+1=2n+1, ②①+②得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1).当n取奇数时,an+2+an=2,当n取偶数时,an+2+an=4n.取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=3×2+8+24+40=78.故选B.3.ABD∵{an}是等差数列,∴a6+a8=2a7=30,∴a7=15,∴a7-a2=5d,又a2=5,则d=2,故A正确;∴an=a2+(n-2)d=2n+1,故B正确;∴1a∴1an2-1的前n项和为141-12+12-13+…+1n-1n+1=141-1n4.AB因为an+1=an+n+1,所以an+1-an=n+1.又因为a1=1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)2,数列{an}的第100项为5050,故A正确,D错误;所以1an=2n(n+1)=21n-1n+1,所以数列1an的前100项和为21-12+12-13+…+5.C∵2n+12n=1+12n,∴Tn=n+1-12n,∴T10+1013=11-1210+1013=1024-12106.an=2(n+1)由f(x)+f(1-x)=4,可得f(0)+f(1)=4,…,f1n+fn-1n=4,所以2an=[f(0)+f(1)]+f1n+fn-1n+…+fn-1n+f1n+[f(1)+f(0)]=4(n+1),即an=2(n+1).7.1nnn+1∵an+1=Sn+1-Sn,an+1+SnSn+1=0,∴Sn+1-Sn+S∴1Sn又1S1=1a1=∴1Sn=n,∴Sn=1n.∴SnSn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,∴Tn=18.解(1)设等差数列{an}的公差为d,又因为Sn=na1+n(n且a1=2,所以S5=10+10d=20,故d=1,所以an=n+1;(2)由(1)可知,a4=5,又a4+b4=9,所以b4=4.若选择条件①q=2,可得b1=b4Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=n(a1+an)若选择条件②q=12,可得b1=b4Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=n(a1+an若选择条件③q=-1,可得b1=b4qTn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=n(a1+an)2-9.解(1)设数列{an}的公差为d,由题意知a1+a2+a3+a4=4a1+4×(4-1)2d=4a1又因为a1,a2,a4成等比数列,所以a22=a1·a即(a1+d)2=a1·(化简得d2=a1d,又因为d≠0,所以a1=d. ②由①②得a1=1,d=1,所以an=n.b1=a1=1,b2=a2=2,q=b2b所以bn=2n-1.(2)由(1)及cn=bn+1acn=2n-1+1n(n+1)=2n-1所以Sn=20+21+…+2n-1+1-12+12-1=1-2n1-2+1-1所以数列{cn}的前n项和Sn=2n-110.解(1)设{an}的公比为q,{bn}的公差为d.因为a1,a2,a3-a1成等差数列,所以2a2=a1+(a3-a1),即2a2=a3.因为a2≠0,所以q=a3a2因为a1a3=a4,所以a1=a4a3因此an=a1qn-1=2n.由题意,Sn=(n+1)log2ab1+b2=S2=3,从而b2=2.所以{bn}的公差d=b2-b1=2-1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.(2)令cn=anbn,则cn=n·2n.因此Tn=c1+c2+…+cn-1+cn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.又因为2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2-2n·21-2-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n所以Tn=(n-1)·2n+1+2.11.D因为a1=1,且对随意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,令m=1,则有an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,用累加法可得an=a1+(n所以1an=2n(所以1a1+1=21-12+12-13+…+12018-12019=2×1-12019=403612.ABD由y2=2x+a,当x>0时,y=2x+a,则kn=12n+a,切线方程为y-令x=0,则y=n+a2n+a,令y=0,则即有xn=-n-a,yn=n+由于|x0|=|y0|,则|a|=aa,解得a=1,故A正确;由于yn=n+12n+1,令2n则yn=1+t2-12t=12当n∈N+时,kn=12n+1,令u=12n+1设y=2sinu-u,则y'=2cosu-1.由于0<u≤13<π4,则12<cosu<1,即有y'>即有y>0,即有kn<2sin12当n∈N+时,记数列{kn}的前n项和为Sn,kn=12由于a+b22≤a2+则有12n+1<2n+n+1=2(n+1-n),则Sn=13+15+…+13.131-14n由1an+1=1an·1an∴数列{an}为等比数列.∵a1=1,a2=12,∴q=12,∴an=12n-1,∴an·an+2=12n-∴a1·a3+a2·a4+a3·a5+…+an·an+2=14+142+…+1414.-1612020由题意,知Sn2-anSn+an则S22-a2S2+a2=0,即(a2+12)2-a2a化简得32a2+14=0,所以a2=-16.因为Sn2-anSn+an=0(n≥2),an=Sn所以SnSn-1+Sn-Sn-1=0(n≥2),整理得1Sn-1Sn-所以1Sn是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以1Sn=n+1,所以Sn=1n+1,所以15.解(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2因为a1q2=8,所以a1=2.所以{an}的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.16.ACD由f(x)=12(x2+a),得f'(x)=x,则f'(n)=n,即kn=n∴曲线在点Pn(n,f(n))处的切线ln的切线方程为y-12(n2+a)=n(x-n),直线ln与y轴交于点Bn(0,yn则yn=12(n2+a)-n2且y1=-1,解得a=-1,故A正确直线ln与x轴交于An(xn,0),∴0-12(n2+a)=n(xn-n)整理得g(n)=xn=n2+12n,则x'n=12-12n当n>1时,x'n>0,∴函数g(n)为增函数,当n=1时,函数取最小值,且最小值为1.∴函数g(n)是单调递增的,且最小值为1,故B不正确.在ln中,令x=0,得yn=-n2+12(n2-1)=-12(n2∴yn+kn+12=-12n2当n=1时,y1+k1+12=12=lne<ln2=ln(1+1)=当n≥2时,yn+kn+12=-12n2+n≤0,而ln(1+kn)=ln(1+n)>ln1=∵1∴Sn<2112+122+132+…+1当n>1时,1n2<1n(n-1)=1n-1-1n,∴Sn<21+1-12+117.解依据题意,∵b2=3,b5=-81,{bn}是等比数列,∴b1=-1,q=-3,∴bn=-(-3)n∵b1=a5,∴a5=-1.若存在k,使得Sk>Sk+1,即Sk>Sk+ak+1,则ak+1<0;同理,若使S