2025版高考数学一轮总复习知识梳理第3章导数及其应用第2讲导数在研究函数中的应用第2课时导数与函数的极值最值

其次课时导数与函数的极值、最值知识梳理学问点一函数的极值1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0旁边有定义，假如对x0旁边的全部的点，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；假如对x0旁边的全部的点，都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个微小值，记作f(x)微小值＝f(x0)．极大值与微小值统称为极值．(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：假如x<x0有f′(x)>0，x>x0有f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．假如x<x0有f′(x)<0，x>x0有f′(x)>0，那么f(x0)是微小值．2．求可导函数f(x)极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，假如在根的左侧旁边为正，右侧旁边为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；假如在根的左侧旁边为负，右侧旁边为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得微小值.学问点二函数的最值1．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．2．连续函数在闭区间[a，b]上确定有最大值和最小值．3．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．归纳拓展1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．2．极大值(或微小值)可能不止一个，可能没有，极大值不愿定大于微小值．3．极值与最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不愿定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，特殊数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．4．定义在开区间(a，b)内的函数不愿定存在最大(小)值．双基自测题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)(2)函数的微小值不愿定比极大值小．(√)(3)导数等于0的点不愿定是函数的极值点．(√)(4)函数的最大值不愿定是极大值，函数的最小值也不愿定是微小值．(√)(5)单调函数确定没有极值．(√)[解析](1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点旁边的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较．(2)如图，在x1处的极大值比在x2处的微小值小．(3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．(4)如图知正确．题组二走进教材2．(选修2P92T1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的微小值点的个数为(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．3．(选修2P98T6改编)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(B)A．1－e B．－1C．－e D．0[解析]因为f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故选B．4．(选修2P98T5改编)已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)在其定义域的一个子区间(e，e2)上有极值，则实数a的取值范围是(A)A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(0,2)[解析]求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可．f′(x)＝eq\f(1－lnx－a,x2)，令f′(x)＝0，即1－lnx－a＝0，解得x＝e1－a，且0<x<e1－a，f′(x)>0；x>e1－a，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e1－a)上单调递增，在(e1－a，＋∞)上单调递减，∴f(x)有极大值f(e1－a)＝eq\f(lne1－a＋a,e1－a)＝ea－1，∴e<e1－a<e2，∴－1<a<0，故选A．题组三走向高考5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的微小值为(A)A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1[解析]由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)微小值＝f(1)＝－1.故选A．6．(2024·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)＝(B)A．－1 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1[解析]由题意知，f(1)＝aln1＋b＝b＝－2