集合的概念高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念与表示问题1:有一位牧民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我集合是什么？”由于集合是不定义的概念，数学家很难回答牧民的问题．刚好有一天，他来到牧场，看到牧民正往羊圈里赶羊，等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门，数学家灵机一动，高兴的告诉牧民；“你看这就是集合”．你能理解数学家的话吗？问题２:军训的时候，当教官一声口令：“高一（5）班集合”，高一（5）班的同学们就会从四面八方聚集到教官身边来，不是高一（25）班的同学就会自动走开，这时教官的一声“集合”就把“一些确定的不同对象集在一起了”，如果教官高喊：“高一（5）班的高个子同学集合”．高一（5）班的每个同学是否知道自己该不该过去？新课引入“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类．问题：3.在初中我们学过哪些集合?代数:整数的集合、实数的集合、有理数的集合、不等式（如x-7>3)的解集等；几何：点的集合等。4.在初中,我们用集合描述过什么?在初中几何中,如线段AB的中垂线是……圆是……。新课引入温故而知新“集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起。

在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言,我们怎样理解数学中的“集合”?康托尔(GeorgCantor,1845～1918)德国数学家,集合论创始人,他于1895年谈到“集合”一词.1.集合的概念(1)1～10之间所有偶数;(2)潮阳实验学校2023年8月入学的全体高一学生;(3)所有的正方形;(4)到直线l的距离等于定长d的所有点;(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根;(6)地球上的四大洋.

一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些(具有某种共同属性的)元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).集合的研究对象具有多样性.说明：

●集合是数学中最原始的概念之一,我们不能用其他的概念下定义,只能作描述性说明,是不定义概念,即原始概念,和点、直线、平面等基本概念及原理构成了整个数学大厦的基石,是从现实世界中总结出来的．●集合理论是由德国数学家康托尔发现的,他创造的集合论是近代许多数学分支的基础．

学习新知1、集合的含义：例1下列指定的对象,能构成一个集合的是()①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④

的近似值

⑤身材较高的人⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧全体正三角形A.②③④⑥⑦⑧B.②③⑥⑦⑧C.②③⑥⑦D.②③⑤⑥⑦⑧教材P5练习12.集合与元素的表示

集合常用大写拉丁字母A,B,C,…表示,元素常用小写拉丁字母a,b,c,…等表示.确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的.即任意一个元素x,它要么是这个集合A中的元素,要么不是这集合A中的元素,即x∈A与x

A二者必居其一.3.集合元素的性质

如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a

A.集合与元素的关系:3.集合元素的性质(2)互异性:一个给定集合中的元素必须是互不相同的.如方程x2-2x+1=0的解集为{1},而不能写成{1,1}.例2已知集合A由:a+2,(a+1)2,a2+3a+3三个元素构成且1∈A,求实数a的值.练习:若x∈R,则数集{1,x,x2}中元素x应满足什么条件?(3)无序性:集合中的元素是没有先后顺序的.如{1,2,3,5}与{2,1,5,3}为同一集合.相等集合:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.3.集合元素的性质想一想,集合{(1,2)},{(2,1)},{2,1}是否为相等集合?4.数学中一些常用的数集及其记法:自然数集(包含0)

或称非负整数;:正整数集(不包含0);:整数集;:有理数集;:实数集.5.集合的分类按照集合中元素个数是有限和无限的,集合可分为:有限集和无限集.教材P5练习26.集合的表示方法(1)自然语言表述:如中国的直辖市、地球四大洋.(2)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”

括起来表示集合的方法.例3用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x

的所有实数根组成的集合;(3)由1～20以内的所有素数(即质数)组成的集合.(3)描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为(1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?(2)你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?思考格式:{x|x∈P(x)},其中x是代表元素,表示这个集合的表述对象;P(x)表示该集合中元素所具有的共同特征.方法二:描述法——用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．①语言描述法：例：{正方形},{地球上的四大洋},②数学式子描述法:具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。学习新知5、集合的常用表示方法:例4试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2

-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.教材P5练习3(4)图表法:用韦恩(Veen)图或数轴等来表示集合.AVeen图:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Veen图.例1用描述法表示下列集合:(1)所有奇数组成的集合;(2)所有偶数组成的集合.例题选讲解:(1)记所有奇数组成的集合为A,则

A={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}={x|x=2k+1,k∈Z}也可写成{x|x=2k－1,k∈Z}或{x|x=4k±1,k∈Z}.(2)记所有偶数组成的集合为B,则

B={x|x=2k,k∈Z}.例2已知集合A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}有且只有一个元素,求a的值与这个元素.解:当a＝0时,x＝－1;

当a≠0时,

＝16－4×4a＝0,

则a＝1,此时x＝－2.

∴a＝1时这个元素为－2,

a＝0时这个元素为－1.例3设x∈R,y∈R,观察下面四个集合

A＝{y＝x2－1}B＝{x|y＝x2－1}C＝{y|y＝x2－1}D＝{(x,y)|y＝x2－1}它们表示的含义相同吗?解:A表示由二元一次方程组成的单元素集合;B表示函数y=x2－1定义域,即B={x|x∈R}=R;C表示函数y=x2－1的函数值组成的集合,即C={y|y≥－1};D表示函数y=x2－1的图象上所有点组成的集合,或二元二次方程y=x2－1的解组成的集合.例4若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集