2024年高中数学专题7-3重难点题型培优精讲复数的四则运算教师版新人教A版必修第二册

专题7.3复数的四则运算1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是随意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对随意,,∈C，有

①交换律：+=+；

②结合律：(+)+=+(+).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面对量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

依据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.假如作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以依据向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是随意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于随意,,∈C，有

①交换律：=；

②结合律：()=()；

③支配律：(+)=+.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律照旧成立.即对于随意复数z，,和正整数m,n，有=，=，=.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义

设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则|​​​​​​​|=，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.

故|​​​​​​​|=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.6．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根，=；

当=0时，方程有两个相等的实根==-；

当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.7．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【题型1复数的加、减运算】【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的全部实部相加(减)，所有虚部相加(减).【例1】（2024秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知z1=1+i，z2=2A．4 B．5+3i C．4-【解题思路】依据复数加法法则，实部和虚部分别相加即可得出结果.【解答过程】由z1=1+iz1故选：D.【变式1-1】（2024秋·陕西延安·高三阶段练习）若z-3+5i=8-A．5-3i B．11-【解题思路】设复数z=a+bia,【解答过程】设z=则z-所以a-得a=11所以z=11故选：B.【变式1-2】（2024春·广西桂林·高一期末）1+i+-A．-1+3i B．1+i C．【解题思路】利用复数的加法运算干脆计算作答.【解答过程】1+i故选：A.【变式1-3】（2024·山西大同·大同市模拟预料）若复数z满足2z+z+3A．12+C．2+2i D．【解题思路】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可【解答过程】设z=a+所以z+z-所以2z所以a=故选：A.【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.【例2】（2024春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解题思路】依据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1所以由复数加法的几何意义可得，z2故选：C.【变式2-1】（2024·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（

）A．5 B．5 C．25 D．10【解题思路】依据复数减法的几何意义求出向量AC对应的复数，再依据复数的模的计算公式即可求出．【解答过程】依题意，AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选：B．【变式2-2】（2024·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-A．3+i B．3-i C．【解题思路】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【解答过程】∵OC＝∴OC对应的复数为：1+2i∴点C对应的复数为-1+3故选D．【变式2-3】（2024春·高一课时练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解题思路】由向量PQ+QP=【解答过程】由题图可知，PQ+QP=∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.【题型3复数的乘除运算】【方法点拨】(1)复数的乘法可以依据多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不便利运用，一般将除法写成分式形式，接受分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.【例3】（2024·辽宁·辽宁模拟预料）已知z1+i=7+5i，则A．6-i B．6+i C．【解题思路】依据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.【解答过程】因为z=所以z=6+故选：B.【变式3-1】（2024·湖北·校联考模拟预料）在复平面内，复数z对应的点为(-1,1)，则z1+A．-1+i B．-1-【解题思路】由复数z对应的点的坐标得到z=【解答过程】由题意可知z=-1+故选：C.【变式3-2】（2024春·陕西榆林·高二期中）已知复数z=-1+2i（i为虚数单位）的共轭复数为z，则A．-2-i B．-2+i C．2-i【解题思路】先得到z=【解答过程】由题意得：z=-1故选：C.【变式3-3】（2024秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数z满足z-i=4+3iA．3+3i B．3-3i【解题思路】依据复数的运算法则，以及共轭复数的定义进行求解即可.【解答过程】因为z-所以z=则z=3+3故选：A.【题型4虚数单位i的幂运算的周期性】【方法点拨】依据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.【例4】（2024·云南红河·校考模拟预料）已知i为虚数单位，则i20231-A．-12+12i【解题思路】利用复数的除法运算和乘方运算，进行化简、整理，即可得答案．【解答过程】i2023故选：B．【变式4-1】（2024春·湖北十堰·高一阶段练习）i2022=（A．-1 B．1 C．-i【解题思路】依据i的周期性，计算即可得到结果.【解答过程】因为i则i故选:A.【变式4-2】（2024·全国·高一假期作业）设i是虚数单位，则i+i2A．i+1 B．i-1【解题思路】利用in【解答过程】i+i2+i故选:B.【变式4-3】1+i1-A．i B．-i C．22005【解题思路】先利用复数除法化简1+i1-【解答过程】1+i故选：A.【题型5解复数方程】【方法点拨】实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.【例5】（2024·重庆江北·校考一模）已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0A．-2 B．2 C．-【解题思路】依据1+i是关于x的方程x【解答过程】因为1+i是关于x的方程x所以(1+i)2+m解得：m=故选：A.【变式5-1】（2024秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数1+i（i为虚数单位）为实系数方程x2+px+qA．4 B．2 C．0 D．-【解题思路】将1+i代入方程中，依据复数相等的充要条件即可求解.【解答过程】因为1+i是方程x2+px∵p,q∈R故选：C.【变式5-2】（2024·全国·高三专题练习）已知ω是方程x2+x+1=0的虚数根，则A．0 B．±1 C．12【解题思路】由题设有ω2+ω+1=0且【解答过程】由题设ω2+ω而1+ω所以原式等于12故选：C.【变式5-3】（2024秋·上海宝山·高二阶段练习）若1+2i是关于x的实系数方程x2A．b=2，c=3 B．bC．b=-2，c=【解题思路】由一元二次方程求根公式即可建立方程组-b【解答过程】方程的根为x=1+2则有-b解得b=-故选：D.【题型6四则运算下的复数概念】【方法点拨】先依据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.【例6】（2024·江苏常州·校考模拟预料）已知复数z是纯虚数，1+z1+i是实数，则z=A．－i B．i C．－2i D．2i【解题思路】由题意设z=bi(b∈R【解答过程】由题意设z=则1+z1+因为1+z1+i是实数，所以b-所以z=所以z=故选：A.【变式6-1】（2024秋·江西抚州·高三期末）已知复数z满足3+iz=4-2A．1-i B．1+i C．【解题思路】依据题意，由复数的运算即可得到z，再由共轭复数的定义即可得到结果.【解答过