新教材同步备课2024春高中数学第9章统计9.2用样本估计总体9.2.4总体离散程度的估计学生用书新人教A版必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计学习任务1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(数学抽象、数据分析)2．理解离散程度参数的统计含义．(直观想象)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环．问题：若从二人中选一人去参与射击大赛，只用平均数能否作出选择？学问点方差、标准差1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为_________＝_________，标准差为_________．2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：假如总体中全部个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为Y，则称S2＝__________为总体方差，S＝____为总体标准差．(2)总体方差的加权形式：假如总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝__________．3．样本方差和标准差假如一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2＝__________为样本方差，s＝___为样本标准差．4．标准差的意义标准差刻画了数据的________或________，标准差越大，数据的离散程度越__；标准差越小，数据的离散程度越__．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2，方差分别为s1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变更，则标准差为0． ()(2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)． ()(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数四周越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数四周越分散． ()(4)一般状况下数据中绝大部分数据落在x-2s，(5)计算分层随机抽样中总样本的平均数与方差时，必需已知各层的权重． ()2．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为________；标准差为________．3．某班为了了解学生每周购买零食的支出状况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：性别学生数平均支出(元)方差男生9406女生6354则全班学生每周购买零食的平均费用为________；方差为________．类型1方差和标准差的性质与计算【例1】(1)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则()A．x＝4，s2<2 B．x＝4，s2>2C．x>4，s2<2 D．x>4，s2>2(2)若40个数据的平方和是56，平均数是22[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________方差和标准差的计算技巧与性质(1)方差的计算①基本公式：s2＝1n[x1-x2②简化计算公式：s2＝1nx12(2)方差和标准差的性质若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关．[跟进训练]1．(1)(多选)下列四个选项中，正确的是()A．极差与方差都反映了数据的集中程度B．方差是没有单位的统计量C．标准差比较小时，数据比较分散D．只有两个数据时，极差是标准差的2倍(2)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的方差为________．类型2方差和标准差的应用【例2】为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并支配在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂供应的10个轮胎宽度的平均数；(2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别供应的10个轮胎中全部标准轮胎宽度的方差的大小，依据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动状况，推断这两个工厂哪个工厂会被选择．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要探讨方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的状况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定．[跟进训练]2．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)，则甲、乙两品牌汽车CO2的排放量稳定性更好的是()甲80110120140150乙100120100120160A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．无法确定类型3分层随机抽样的方差【例3】某市教化部门接受分层随机抽样的方法从甲、乙、丙三个学校选取了100名学生的某次考试数学成果(单位：分)，并制成如下表格：学校学生数平均数方差甲409810乙309212丙309515试估计这次考试数学成果的平均数与方差．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x1，x2，…，xn，方差分别为s12，s22，…，sn2，相应的权重分别为w1，[跟进训练]3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，求甲、乙两队全部队员的平均体重和方差．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是()项目甲乙丙丁x7887s26.36.378.7A.甲B．乙C．丙D．丁2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是12，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5A．5，12B．5，2C．3，2D．3，3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．4．在对某中学高一学生体重的调查中，实行按样本量比例支配的分层随机抽样，已知抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20．依据以上数据估计该校高一学生体重的总样本的平均数为________，方差为________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．描述数据的离散程度的量有哪些？分别如何描述的？2．如何计算一组数据的方差或标准差？3．如何计算分层随机抽样的方差？总体离散程度的估计[必备学问·情境导学探新知]知识点2.(1)(2)5.课前自主体验1．(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．223．3811.2[关键实力·合作探究释疑难]例1(1)A(2)0.931010[(1)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28，因为加入一个新数据4，所以x＝28+48＝4.又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝7(2)由方差公式s2＝x1得s2＝x＝x1由已知得n＝40，x12+∴s2＝5640-222跟进训练1．(1)AD(2)2[(1)设两个数据分别为x1，x2，则极差等于|x2－x1|，标准差等于12|x2－x1(2)由平均数为1可得a+0+1+2+35解得a＝－1.所以样本的方差s2＝-1例2解：(1)甲厂供应的10个轮胎宽度的平均数为110乙厂供应的10个轮胎宽度的平均数为110(2)甲厂供应的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为195+194+196+194+196+1956＝195，方差为16×(0＋1＋1＋1＋1＋0)＝乙厂供应的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为195+196+195+194+195+1956方差为16×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝1由于甲、乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择．跟进训练2．B[甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲＝80+110+120+140+150甲类品牌汽车的CO2排放量的方差s甲2＝15×[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙＝100+120+100+120+160乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s乙2＝15×[(100－120)2＋(120－120)2＋(100－120)2＋(120－120)2＋(160－120)2例3解：由题意可得，样本平均数x＝1100(40×98＋30×92＋30×95)＝95.3(分)，方差s2＝1100{40×[10＋(98－95.3)2]＋30×[12＋(92－95.3)2]＋30×[15＋(95－95.3)跟进训练3．解：由题意可知x甲＝60，甲队队员在全部队员中所占权重为11+4＝15，x乙＝70，乙队队员在全部队员中所占权重为41+4＝45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x＝15×60＋45[学习效果·课堂评估夯基础]1．B[∵x乙＝x丙>x甲＝x丁，且2．B[因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是12，所以x＝3，15i＝15xi-32＝12，因此数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，23．(1)7(2)2[(1)x＝7+8+7+9+5+4+9+10+7+410(2)∵s2＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s4．5141[总样本的平均数为3030+20×55＋2030+20×45＝51，总样本的方差为3050×[15＋(55－51)2]＋2050课堂小结1．提示：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变更的最大幅度，它对一组数据中的极