新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一七解析几何

七解析几何必记结论1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝.(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数推断法与几何推断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数推断法与几何推断法．6．椭圆的标准方程及几何性质标准方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)图形几何性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与长轴长的比值：e＝＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b27.双曲线的标准方程及几何性质标准方程＝1(a>0，b＞0)＝1(a>0，b＞0)图形几何性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与实轴长的比值：e＝＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系a2＝c2－b28.抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点FFFF准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝19.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为＝0，即y＝±x.(2)若渐近线的方程为y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为＝λ(λ≠0)．(3)若所求双曲线与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．10．抛物线焦点弦的相关结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.(3)＝.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．易错剖析易错点1遗漏方程表示圆的充要条件【突破点】二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再依据其他条件求解．易错点2解决截距问题忽视“0”的情形【突破点】解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需留意两点：(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应当从截距是否为0进行分类探讨．易错点3忽视斜率不存在的状况【突破点】(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽视k1，k2不存在的状况，就会导致漏解．(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要留意其前提条件是k1与k2必需同时存在．易错点4忽视直线与圆锥曲线相交问题中的判别式【突破点】凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，确定不能遗忘对判别式的探讨．易错点5忽视双曲线定义中的条件【突破点】双曲线的定义中，有两点是缺一不行的：其一，确定值；其二，2a<|F1F2|.假如不满意第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的确定值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．易错点6忽视圆锥曲线定义中的焦点位置【突破点】椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是依据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，确定要将方程化为曲线的标准形式．易错快攻易错快攻一忽视直线与圆锥曲线相交问题中的判别式1[2024·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝()A．B．C．－D．－易错快攻二遗漏直线的斜率不存在的状况2[2024·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在其次象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．七解析几何[典例1]解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C.答案：C[典例2](1)解析：设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，由题意可得，解得.所以双曲线C的方程为＝1.(2)解析：方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4.联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.由根与系数的关系得，所以y1＋y2＝y1y2.因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，所以＝，得＝＝＝.因为＝＝＝＝－3，所以＝－3，解得x＝－1，所以点P在定直线x＝－1上．解析：方法二由题意得A1(－2，0)，A2(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则＝1，即＝16.如图，连接MA2，＝·＝＝＝4①.由＝1，得4x2－y2＝－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝