2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方差提能训练

第5讲离散型随机变量的分布列、均值与方差A组基础巩固一、单选题1．设随机变量X听从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝(D)A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7[解析]由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7，故选D.2．(2024·浙江百校联考)若某随机事务的概率分布列满足P(X＝i)＝a·eq\f(i,10)(i＝1,2,3,4)，则D(X)＝(D)A．3 B．10C．9 D．1[解析]由分布列的性质知aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(2,10)＋\f(3,10)＋\f(4,10)))＝1，∴a＝1，∴X的分布列为X1234Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)∴E(X)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,5)＋eq\f(9,10)＋eq\f(8,5)＝3，∴D(X)＝(3－1)2×eq\f(1,10)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(2,5)＝1，故选D.3．(2024·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3球，以X表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量X的分布列为(C)[解析]随机变量X的可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故选C.4．(2024·河南五市联考)某一随机变量X的概率分布如下表，且n－m＝0.1，则P(X≤2)＝(C)X0123P0.1m0.2n B．0.4C．0.6 D．0.7[解析]由题意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－m＝0.1，,0.1＋m＋0.2＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝0.4，,m＝0.3，))故P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.3＋0.2＝0.6，故选C.5．(2024·河南南阳一中开学考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定全部次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝(B)A．3 B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5) D．4[解析]由题意知，ξ的可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(2,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)＋A\o\al(3,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(6,10)，所以E(ξ)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(6,10)＝eq\f(7,2).故选B.二、多选题6．(2024·江苏镇江一中阶段测试改编)若随机变量X听从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(ABD)A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq\f(2,9)[解析]随机变量X听从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，∴P(X＝1)＝eq\f(2,3)，E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq\f(2,3)＋2＝4，故B正确；D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq\f(2,9)＝2，故C错误；D(X)＝eq\f(2,9)，故D正确．故选ABD.7．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是(BC)A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq\f(1,3)B．从中任取3球，恰有两个白球的概率是eq\f(1,5)C．从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1D．从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为eq\f(2,5)[解析]从中任取3球，恰有一个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故A错误；从中任取3球，恰有两个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故B正确；从中任取3球，全为红球的概率P＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故X的分布列为：X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)故E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，故C正确；从中不放回地取3次球，每次任取1球，则第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率P＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5)，故D错误．故选BC.8．(2024·山东质检二)已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：X012Pmnm则下列结论确定成立的是(BCD)A．P(X＝1)<P(X≠1) B．E(X)＝1C．mn≤eq\f(1,8) D．D(X＋1)<1[解析]由分布列的性质得m＋n＋m＝2m＋n＝1，P(X＝1)＝n，P(X≠1)＝2m，当m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)时，P(X＝1)＝P(X≠1)，故选项A错误；因为E(X)＝n＋2m＝1，故选项B正确；因为m，n均为正数，所以1＝n＋2m≥2eq\r(2mn)，即mn≤eq\f(1,8)，当且仅当n＝2m＝eq\f(1,2)时，等号成立，故选项C正确；由n＝1－2m>0，得0<m<eq\f(1,2).又E(X)＝1，所以D(X＋1)＝D(X)＝m＋m＝2m<1，故选项D正确．9．(2024·江苏常州联盟校调研)下列命题正确的是(BC)A．若随机变量X的方差为eq\f(12,25)，则D(5X＋2)＝14B．对于随机事务A与B，若P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(B|A)＝0.7，则事务A与B独立C．设随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)－pD．依据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.712，依据α＝0.05的独立性检验(P(χ2>3.841)＝0.05)，有95%的把握认为X与Y有关[解析]由D(X)＝eq\f(12,25)，得D(5X＋2)＝25D(X)＝25×eq\f(12,25)＝12，故A错误；由P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－0.3＝0.7，而P(B|A)＝0.7，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝0.7＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即事务A与B相互独立，故B正确；因为随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，所以正态曲线关于直线ξ＝0对称，又因为P(ξ>1)＝p，所以P(ξ<－1)＝p，所以P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)－p，故C正确；由χ2＝3.712<3.841，所以没有95%的把握认为X与Y有关，故D错误．故选BC.三、填空题10．设随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).[解析]由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).11．(2024·吉林质检)设随机变量X的概率分布列为X012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2p,3)则X的数学期望的最小值是eq\f(1,2).[解析]E(X)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2p,3)≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴当p＝eq\f(3,2)时，E(X)的值最小，E(X)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数X的数学期望为eq\f(3,2).[解析]由题意得X的全部可能值为1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).13．(2024·湖南三湘名校教化联盟、湖湘名校教化联合体联考)小明准备用9万元投资A，B两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资A种股票a万元，则小明两种股票的收益期望和为10.8万元.收益X/元－103概率0.30.20.5收益Y/元－34概率0.40.6[解析]E(X)＝－1×0.3＋0×0.2＋3×0.5＝1.2；E(Y)＝－3×0.4＋4×0.6＝1.2.若投资A股票a元，则投资B股票90000－a元，E(aX)＋E[(90000－a)Y]＝aE(X)＋(90000－a)E(Y)＝90000×1.2＝108000，即小明两种股票的收益期望和为10.8万元．四、解答题14．(2024·九省联考试题)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．[解析](1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事务M，先确定3个不同数字的小球，有Ceq\o\al(3,4)种方法，然后每种小球各取1个，有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)种取法，所以P(M)＝eq\f(C\o\al(3,4)×C\o\al(1,2)×C\o\al(1,2)×C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(4,7).(2)由题意可知，X的可能取值为1,2,3，当X＝1时，分为两种状况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(9,14)；当X＝2时，分为两种状况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,8))＝eq\f(2,7)；当X＝3时，分为两种状况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,14)，所以X的分布列为：X123Peq\f(9,14)eq\f(2,7)eq\f(1,14)所以E(X)＝1×eq\f(9,14)＋2×eq\f(2,7)＋3×eq\f(1,14)＝eq\f(10,7).15．(2024·山东淄博期中)第19届亚运会于2024年9月23日至10月8日在杭州实行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增加熬炼身体意识，某学校举办一场羽毛球竞赛．已知羽毛球竞赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且接着在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打竞赛，若甲发球，甲得分的概率为eq\f(3,5)，乙得分的概率为eq\f(2,5)；若乙发球，乙得分的概率为eq\f(4,5)，甲得分的概率为eq\f(1,5).每回合竞赛的结果相互独立．经抽签确定，第一回合由甲发球．(1)求第三回合甲发球的概率；(2)设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列及期望．[解析](1)若第三回合甲发球，则前三回合发球的依次分别为甲甲甲，或者甲乙甲，故第三回合甲发球的概率为eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(1,5)＝eq\f(11,25).(2)设甲在第i回合得分记为事务Ai，乙在第i回合得分记为事务Bi，i∈{1,2,3}，则P(A1A2A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，此时甲得3分，P(A1A2B3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(18,125)，此时甲得2分，P(A1B2A3)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(6,125)，此时甲得2分，P(A1B2B3)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,125)，此时甲得1分，P(B1A2A3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,125)，此时甲得2分，P(B1A2B3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,125)，此时甲得1分，P(B1B2A3)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,125)，此时甲得1分，P(B1B2B3)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(32,125)，此时甲得0分，X的取值为0,1,2,3.且P(X＝0)＝eq\f(32,125)，P(X＝1)＝eq\f(36,125)，P(X＝2)＝eq\f(30,125)，P(X＝3)＝eq\f(27,125).∴X的分布列为：X0123Peq\f(32,125)eq\f(36,125)eq\f(30,125)eq\f(27,125)故E(X)＝0×eq\f(32,125)＋1×eq\f(36,125)＋2×eq\f(30,125)＋3×eq\f(27,125)＝eq\f(177,125).B组实力提升1．(2024·湖北新高考协作体联考)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)P(ξ＝2)的值；(2)随机变量ξ的概率分布列和数学期望．[解析](1)由已知可得从袋中不放回的摸球两次的全部取法有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)种，事务ξ＝2表示第一次取红球其次次取黄球或第一次取黄球其次次取红球，故事务ξ＝2包含Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种取法，所以P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,5).(2)随机变量ξ可取的值为2,3,4.由(1)知P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)；P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(2,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,10).得随机变量ξ的概率分布列为：ξ234Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)随机变量ξ的数学期望为：E(ξ)＝2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(1,10)＝2.5.2．(2024·辽宁试验中学月考)某种项目的射击竞赛规则是起先时在距离目标60米处射击，假如命中记4分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，可以进行其次次射击，但目标已在90米远处，这时命中记3分，同时停止射击；若其次次射击仍未命中目标，还可以进行第三次射击，此时目标已在120米远处，这时命中记2分，同时停止射击；若三次都未命中，则记1分．已知甲射手在60米处击中目标的概率为eq\f(1,2)，他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲分别在90米和120米处命中的概率；(2)求射手甲进行射击竞赛中命中目标的概率；(3)设ξ为射手甲进行射击竞赛的得分，求E(ξ)．[解析](1)令射手甲在60米、90米和120米处命中概率分别为p1，p2，p3，由题意可得，p＝eq\f(k,x2)，且p1＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,2)＝eq\f(k,602)，∴k＝1800，p＝eq\f(1800,x2)，∴p2＝eq\f(1800,902)＝eq\f(2,9)，p3＝eq\f(1800,1202)＝eq\f(1,8)，射手甲在90米和120米处命中概率分别为eq\f(2,9)，eq\f(1,8).(2)设Ai表示第i次击中(i＝1,2,3)，记A：“射手甲在这次射击竞赛中命中目标”，则A＝A1＋eq\x\to(A)1A2＋eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，∴P(A)＝P(A1＋eq\x\to(A)1A2＋eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(7,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(95,144).(3)ξ的取值有4,3,2,1，则P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,9)×eq\f(7,8)＝eq\f(49,144)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(7,144)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,2)，∴E(ξ)＝4×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,9)＋2×eq\f(7,144)＋1×eq\f(49,144)＝eq\f(133,48).3．(2024·江苏苏州期中)某次学问竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的(包括一个也不选)．(1)已知两题都设置了3个正确选项，求小明这