高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)6.4.3第一课时　余弦定理同步课时作业(原卷版+解析)

课时跟踪检测（十）余弦定理基础练1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(7)，b＝3，c＝2，则A＝()A．30° B．45°C．60° D．90°2．在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1 B．2C．3 D．43．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3)C．1 D.eq\f(2,3)6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________.7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.8．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．拓展练1．在△ABC中，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)2．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1<a<3 B．1<a<5C.eq\r(3)<a<eq\r(5) D．不确定3．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))的值为()A．79 B．69C．5 D．－55．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________．6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，c＝eq\r(5)，且cosC＝eq\f(5,6)，则a＝________，△ABC的面积为________．7．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长度．培优练在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求B的大小；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求a的值．课时跟踪检测（十）余弦定理基础练1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(7)，b＝3，c＝2，则A＝()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C∵a＝eq\r(7)，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋4－7,2×3×2)＝eq\f(1,2)，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.2．在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcosC，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)解析：选D设三角形的底边长为a，则周长为5a.∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cosα＝eq\f(2a2＋2a2－a2,2×2a×2a)＝eq\f(7,8).故选D.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形解析：选C由eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．故选C.5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3)C．1 D.eq\f(2,3)解析：选A依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2－c2＝4，,a2＋b2－c2＝2abcos60°＝ab，))两式相减得ab＝eq\f(4,3).故选A.6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，解得b＝4.答案：47．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.解析：∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.答案：08．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.解析：∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2).∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.答案：120°9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝82－2×15－2×15×eq\f(1,2)＝19.∴b＝eq\r(19).10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝4，,a＋c＝2b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＋4，,c＝b－4.))∴a＞b＞c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.拓展练1．在△ABC中，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)解析：选A根据余弦定理cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2·AC·BC)＝－eq\f(\r(2),2)，又∵AC＝2，BC＝2eq\r(2)代入公式得AB＝2eq\r(5)，再由等积法可得eq\f(1,2)×2eq\r(5)·CD＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2×eq\f(\r(2),2)，解得CD＝eq\f(2\r(5),5).故选A.2．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1<a<3 B．1<a<5C.eq\r(3)<a<eq\r(5) D．不确定解析：选C若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<eq\r(5)，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>eq\r(3)，故eq\r(3)<a<eq\r(5).故选C.3．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形解析：选B∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故选B.4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))的值为()A．79 B．69C．5 D．－5解析：选D由余弦定理得：cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(52＋72－82,2×5×7)＝eq\f(1,7).因为向量eq\o(AB,\s\up7(―→))与eq\o(BC,\s\up7(―→))的夹角为180°－∠ABC，所以eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))||eq\o(BC,\s\up7(―→))|·cos(180°－∠ABC)＝5×7×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))＝－5.故选D.5．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________．解析：∵cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(\r(2),2)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2)，∴AD＝ACsinC＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，c＝eq\r(5)，且cosC＝eq\f(5,6)，则a＝________，△ABC的面积为________．解析：∵a＝3b，∴b＝eq\f(1,3)a.又c＝eq\r(5)，且cosC＝eq\f(5,6)，∴c2＝a2＋b2－2abcosC，即5＝a2＋eq\f(1,9)a2－2a·eq\f(1,3)a·eq\f(5,6)，化简得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍)．又C∈(0，π)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(11),6)，则S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(11),4).答案：3eq\f(\r(11),4)7．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长度．解：(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2)，又0°<C<180°，所以C＝120°.(2)因为a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两个根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝b2＋a2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq\r(3))2－2＝10.所以AB＝eq\r(10).培优练在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求B的大小；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求a的值．解：(1)由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－