高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)6.4.1-2平面几何中的向量方法及向量在物理中的应用举例同步课时作业(原卷版+解析)

课时跟踪检测（九）平面向量的应用基础练1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)3．如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么()A．s＞|a| B．s＜|a|C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．40eq\r(2)N5．在△ABC中，若|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．一条河宽400m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________．7．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上的两点，且|AB|＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝________.8．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.10.如图所示，用两根分别长5eq\r(2)m和10m的绳子将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5m，求A处受力的大小．拓展练1．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2 B．lg5C．1 D．22．已知△ABC满足eq\o(AB,\s\up7(―→))2＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))，则△ABC是()A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形3.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up7(―→))·eq\o(BF,\s\up7(―→))的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．14.如图，设P为△ABC内一点，且2eq\o(PA,\s\up7(―→))＋2eq\o(PB,\s\up7(―→))＋eq\o(PC,\s\up7(―→))＝0，则S△ABP∶S△ABC＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq\f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．6．四边形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))＝(1,1)且eq\f(\o(BA,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BC,\s\up7(―→))|)＝eq\f(\r(2)\o(BD,\s\up7(―→)),|\o(BD,\s\up7(―→))|)，则此四边形的面积等于________．7．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.培优练在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcosθ＝eq\f(\r(2),10)，θ∈(0°，90°)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝eq\f(4,5)课时跟踪检测（九）平面向量的应用基础练1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：选D由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故选D.3．如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么()A．s＞|a| B．s＜|a|C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小解析：选As＝200＋300＝500(km)，|a|＝eq\r(2002＋3002)＝100eq\r(13)(km)，∴s＞|a|.故选A.4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．40eq\r(2)N解析：选B如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝eq\r(2)|F1|＝20N，∴|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10eq\r(2)N．故选B.5．在△ABC中，若|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析：选B由|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|得|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|2＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|2，即eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(―→))⊥eq\o(AC,\s\up7(―→)).∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．故选B.6．一条河宽400m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________．解析：合速度|v合|＝eq\r(202－122)＝16(km/h)＝eq\f(800,3)(m/min)，∴t＝400÷eq\f(800,3)＝1.5(min)．答案：1.5min7．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上的两点，且|AB|＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝________.解析：由弦长|AB|＝eq\r(5)，可知∠ACB＝60°，故eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝－eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝－|eq\o(CA,\s\up7(―→))||eq\o(CB,\s\up7(―→))|cos∠ACB＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)8．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．解析：由题意，得|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以eq\o(OA,\s\up7(―→))⊥eq\o(OB,\s\up7(―→))，|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(―→))|.由eq\o(OA,\s\up7(―→))⊥eq\o(OB,\s\up7(―→))得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(―→))|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.答案：19.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明：设eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝e，eq\o(DB,\s\up7(―→))＝c，eq\o(DC,\s\up7(―→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因为eq\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(BD,\s\up7(―→))＋eq\o(DC,\s\up7(―→))＝d－c，所以eq\o(AD,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝e·(d－c)＝0所以eq\o(AD,\s\up7(―→))⊥eq\o(BC,\s\up7(―→))，即AD⊥BC.10.如图所示，用两根分别长5eq\r(2)m和10m的绳子将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5m，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|Fa|cos45°＝|Fb|cos30°，,|Fa|sin45°＋|Fb|sin30°＝100.))解得|Fa|＝150eq\r(2)－50eq\r(6).故A处受力的大小为(150eq\r(2)－50eq\r(6))N.拓展练1．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2 B．lg5C．1 D．2解析：选DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5，1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.故选D.2．已知△ABC满足eq\o(AB,\s\up7(―→))2＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))，则△ABC是()A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形解析：选C由题意得，eq\o(AB,\s\up7(―→))2＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·(eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(CB,\s\up7(―→)))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))2＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))，∴eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up7(―→))⊥eq\o(CB,\s\up7(―→))，∴△ABC是直角三角形．故选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up7(―→))·eq\o(BF,\s\up7(―→))的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．1解析：选A∵eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DF,\s\up7(―→))，eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·(eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DF,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(DF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(DF,\s\up7(―→))＝eq\r(2)|eq\o(DF,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(DF,\s\up7(―→))|＝1，|eq\o(CF,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)－1，∴eq\o(AE,\s\up7(―→))·eq\o(BF,\s\up7(―→))＝(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BE,\s\up7(―→)))·(eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CF,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(CF,\s\up7(―→))＋eq\o(BE,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝－eq\r(2)(eq\r(2)－1)＋1×2＝－2＋eq\r(2)＋2＝eq\r(2).故选A.4.如图，设P为△ABC内一点，且2eq\o(PA,\s\up7(―→))＋2eq\o(PB,\s\up7(―→))＋eq\o(PC,\s\up7(―→))＝0，则S△ABP∶S△ABC＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：选A设AB的中点是D，∵eq\o(PA,\s\up7(―→))＋eq\o(PB,\s\up7(―→))＝2eq\o(PD,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(―→))，∴eq\o(PD,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,4)eq\o(PC,\s\up7(―→))，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的eq\f(1,5).故选A.5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq\f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：根据题意得|α||β|sinθ＝eq\f(1,2).又|α|＝1，|β|≤1，∴eq\f(1,2)≤sinθ≤1，∴eq\f(π,6)≤θ≤eq\f(5π,6).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))6．四边形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))＝(1,1)且eq\f(\o(BA,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BC,\s\up7(―→))|)＝eq\f(\r(2)\o(BD,\s\up7(―→)),|\o(BD,\s\up7(―→))|)，则此四边形的面积等于________．解析：∵eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))，∴四边形ABCD是平行四边形．对eq\f(\o(BA,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BC,\s\up7(―→))|)＝eq\f(\r(2)\o(BD,\s\up7(―→)),|\o(BD,\s\up7(―→))|)两边平方得1＋1＋eq\f(2\o(BA,\s\up7(―→))·\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))||\o(BC,\s\up7(―→))|)＝2，∴eq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝0，∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四边形ABCD是正方形，且|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)，∴四边形ABCD的面积为2.答案：27．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.证明：法一：∵eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))，∴eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(BD,\s\up7(―→))＝(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→)))·(eq\o(AD,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→)))＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|2－|eq\o(AB,\s\up7(―→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up7(―→))⊥eq\o(BD,\s\up7(―→))，即AC⊥BD.法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.∵eq\o(AC,\s\up7(―→))