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文档简介
第四章图形的相似专题6相似三角形的基本模型数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述相似三角形是初中几何中的重要内容,常常与其他知识点
结合,以综合题的形式呈现,其变化较多,是中考的常考内容.
在学习中要注重解题方法和基本解题模型,以便使相似三角形
的问题迎刃而解.相似三角形的常见基本模型有平行线型、斜交
型、垂直型、旋转型等.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一
平行线型基本图形:如图,
DE
∥
BC
.
主要结论:
【思路导航】(1)直接利用“两边成比例且夹角相等的两个三
角形相似”即可证得结论;(2)根据相似三角形的性质和平行
线的判定方法可得
EF
∥
BC
,于是可得△
AEG
∽△
ABD
,△
AGF
∽△
ADC
,再根据相似三角形的性质即可推出结论.
【点拨】熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.熟悉
“A”型和“X”型模型,能快速找到解题突破口.
如图,在▱
ABCD
中,连接对角线
AC
,延长
AB
至点
E
,使
BE
=
AB
,连接
DE
,分别交
BC
,
AC
于点
F
,
G
.
(1)求证:
BF
=
CF
;
(2)若
BC
=6,
DG
=4,求
FG
的长.
类型二
斜交型基本图形如下:
如图,点
D
,
E
分别在△
ABC
的边
AB
,
AC
上,且
AB
=
9,
AC
=6,
AD
=3.要使△
ADE
与△
ABC
相似,则
AE
的长
为
.
【思路导航】要使△
ADE
与△
ABC
相似,应分△
ADE
∽△
ABC
和△
AED
∽△
ABC
讨论.
【点拨】对于两个三角形相似,若无明确给出相似符号
(∽),则一般有三种情形.而此题中,由于有公共角,故只
有两种情形.解题的关键是明确分类,并熟练运用相似三角形
的判定.
1.如图,点
D
为△
ABC
的边
AC
上一点,连接
BD
,且△
ABC
∽△
ADB
.
若
AB
=2
AD
=2,则
CD
的长为
.(第1题图)3
2.如图,在△
ABC
中,
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点,
AF
平分
∠
BAC
,交
DE
于点
G
,交
BC
于点
F
.若∠
AED
=∠
B
,且
AG
∶
GF
=2∶1,则
DE
∶
BC
=
.(第2题图)2∶3
类型三
垂直型基本图如下:
如图,折叠矩形
ABCD
,使点
D
落在
BC
边上的点
F
处,折
痕为
AE
.
(1)求证:△
ABF
∽△
FCE
;(2)若
CF
=4,
EC
=3,求矩形
ABCD
的面积.
(1)证明:∵四边形
ABCD
是矩形,∴∠
B
=∠
C
=∠
D
=90°.∴∠
BAF
+∠
AFB
=90°.由折叠可知,∠
AFE
=∠
D
=90°.∴∠
AFB
+∠
CFE
=90°.∴∠
BAF
=∠
CFE
.
∴△
ABF
∽△
FCE
.
解得
BF
=6.∴
BC
=
BF
+
FC
=6+4=10.∴矩形
ABCD
的面积=
AB
·
BC
=8×10=80.【点拨】(1)翻折前后图形对应全等,对应角相等、对应边相
等.(2)本题中,∠
B
=∠
AFE
=∠
C
=90°,称△
ABF
∽△
FCE
这样的相似为“一线三垂直相似”(或“K”型相似),
注意“横纵对应”,即
AB
与
FC
是对应边,
BF
与
CE
是对应边.
如图,在△
ABC
中,∠
ABC
=90°,
BD
⊥
AC
,点
E
为
BD
的中
点,连接
AE
并延长交
BC
于点
F
,且
AF
=
CF
,过点
F
作
FH
⊥
AC
于点
H
.
求证:(1)△
ADE
∽△
CDB
;证明:(1)∵
BD
⊥
AC
,
FH
⊥
AC
,∴∠
ADE
=∠
CDB
=90°,
BD
∥
FH
.
又∵
AF
=
CF
,∴∠
DAE
=∠
DCB
.
∴△
ADE
∽△
CDB
.
(2)
AE
=2
EF
.
类型四
旋转型基本图形如下:
如图,在△
ABC
与△
ADE
中,∠
ACB
=∠
AED
=90°,∠
ABC
=∠
ADE
,连接
BD
,
CE
.
若
AC
∶
BC
=3∶4,
CE
=6,
求
BD
的长.【思路导航】根据相似三角形的判定得出△
ABC
与△
ADE
相
似,得出∠
BAC
=∠
DAE
,进而证明△
ACE
与△
ABD
相似,利
用相似三角形的性质求解.
【点拨】解答本题的关键是根据相似三角形的判定得出△
ABC
与△
ADE
相似.此类题中,容易被复杂的边角关系扰乱思路,从
而出错,故转化过程中应仔细,并检查.
如图,在正方形
ABCD
中,已知点
F
是
BC
边上
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