微分几何试题库

二.单项选择题

③-k(s)a+r(5)y④-T(S)B

1.P4)就是曲线r=r⑺上一点，4就是曲线上P点附近的

4、曲线r=r(s)在P(s)点的基本向量为a,夕，/。在

一点，AS为弧的长，△。为曲线在P点与片点的切向量的夹

P点的曲率k(s),挠率为r(s),则下式不正确。

角，k(s)就是曲线在P点的曲率。则下面不等于

\N(P、

lrimI---1o①a=-k(s)(3②夕=-k(s)a+r(s)/

加一。As

①k(t°)②③a=k(s)夕④7=-r(s)P

③1。4)1④狙)5.曲线r=r(s)在P(s)点的基本向量为a,乃，/。在P

2.曲线r=r(s)在P点的基本向量为a,4，/。在P点的曲点的曲率k(s),挠率为r(s),则k(s)=o

率k(s),挠率为7(5),则p=o①a0②/a

①k(s)a②-k(s)a+r(s)7③a0@yP

③-T(S)a④k(s)a-r(5)y6.曲线r="s)在P(s)点的基本向量为a,夕，/。则下

式不正确。

3.曲线r=r(s)在P(s)点的基本向量为a,夕，/。在P点的

①a=2夕②p=3a~2y

曲率k(S),挠率为T(s),则Y=、

③夕=-3a+2/®y=2/3

①k(s)月②7(s)夕

7.曲线厂*s)在P(s)点的基本向量为a,夕，/。在P

线的充要条件。

点的曲率k（s）,挠率为7（s）,则7（s）=

①（C）的密切平面固定;②（C）的副法向量7=常矢

①“②py③（C）的曲率k=0;④（C）的挠率好0。

③Pa@-yP11.已知曲线r=厂⑺在/（%）点的挠率为r,则「就是

8.曲线r=r⑺在P点的曲率k,挠率为7,则下式不正时，曲线在「4）点附近就是右旋的。

确。

①一2②四

①…②心y

lrT③一g④一上

2

12.若曲线的所有密切平面经过一定点,则此曲线就是

如（尸，叫尸"）

③左=|

rIn*2________________________O

（r'xr）—①直线;②平面曲线；

③球面曲线；④圆柱螺线。

9.曲线r=厂⑺在P点的曲率k,挠率为7,则下式不

13.若曲线「的曲率、挠率都为非零常数，则曲线「

正确。

就是O

②=^l

①T=^LLT①平面曲线；②球面曲线；

rK③圆柱螺线；④直线。

如（叫尸14.平面曲线（C）的法线与它的渐缩线（C*）在对应点

⑷7=---------

③V"（尸"?"）2\r'xr"\

处。

①相交;②相离；

10.设曲线（0：r="）,以下_______不就是（C）为平面曲

③相切;④关系不确定。

15.平面曲线（C）上两点的曲率半径之差—渐缩线④若曲线(C)的从切平面平行于固定直线，则(C)就是平面

上对应点之间的弧长。曲线。

①等于；②大于；20.对曲面的第一基本形式

③小于；④不等于。

I=Edu1+2Fdudv+Gdv2,EG-F2_

16.曲线（C）就是一般螺线，则以下命题—不正确。

①（C）的切线与一固定方向成固定角；①〉0;②〈0;③三0;④wo。

②（C）的副法线与一固定方向成固定角；

21.球面厂uIRcogcow尺coQsmR,咐的第一基本形

③（C）的主法线与一固定方向垂直；

④（C）的副法线与一固定方向垂直。式1=o

17.曲线（C）在条件一下不一定就是一般螺线。

①Nd仆+H2cos20d0~；②H2cos2Odqr+l^dO2；

①其切向量与一固定方向成固定角；

②其主法向量与一固定方向成固定角；

③I^d^+R2sin20d02；®R2sin-0d(p2+R2d0~

③其副法向量与一固定方向成固定角；o

④其曲率与挠率之比为常数。

22、正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式就

18.若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题不

正确。是。

①曲线的主法线与固定方向垂直；

①dir+(u~+b~)dv2②(u~+b2')dir+dv2

②曲线的副法线与固定方向成定角；

③曲线的副法线与固定方向垂直；

③u2du2+dv2④dir+dv2

④曲线的曲率与挠率之比为常数。

19.下述命题不正确的就是o

23.正螺面r={ucoy.sivr的第二基本形式就

①若曲线（C）的密切平面固定，则（C）就是平面曲线；

②若曲线（C）的密切平面垂直于某条固定直线，则（C）就是bb

平面曲线；是o①-2,dudv②,dudv

③若曲线（C）的挠率T（s）=O,则（C）就是平面曲线;

③(w2+b2)du2+dv2④dir+(w2+b~)dv2

④法曲率的绝对值就是法截线的曲率。

24.对于圆柱面r={Rcos6*,Rsine,z},以下结论不正

30.曲面r=r(〃,v)在P点的第一第二基本形式分别为1,11。过

确。

①坐标网就是正交网；②沿同一直母线的切平面就是同一P点的曲线(C)在P点的曲率为k,曲面在P点沿(C)的方向(d)的

个;③其上高斯曲率为零;④其上没有抛物点。

法曲率为4,(C)在P点的主法线与曲面的法向"的夹角为。，则下

25.以下量中,不就是曲面的内蕴量。

①曲面上两曲线的夹角;②曲面上曲线的弧长；式_____正确。

③曲面上曲面域的面积；④曲面上一点沿一方向的法曲率。

①人“=土;；②左〃=kcosd；(3)|kn|='，®kn=ksmO□

26.曲面厂=r(",v),〃就是其单位法向量。下列第二类基本量

31.在曲面的椭圆点处,o

的计算中就是不正确的。

①LN-M20;②LN-M20；

①L=；②L=r1M-,®L=-ru-nu;®L=-nu-ru»

③LN-M2=0；④L=M=N=O、

27.曲面厂=v),〃就是其单位法向量。下列第二基本量的

32、如果曲面上一点P处有LN-"2=o,则点p就是。

计算中就是不正确的。

①椭圆点；②双曲点；③平点；④抛物点。

①〃=:②加二-r-n;③Af=-小％;④"=一々・%。

uv33,圆环面上的点就是o

①椭圆点；②双曲点；③抛物点;④或①或②或③。

28.曲面厂=就是其单位法向量。下列第二基本量的计

34.一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点

算中就是不正确的。就是O

①椭圆点；②双曲点；③抛物点;④或①或②或③。

①N=•n;②N=-(^",;③N=G%N=n-r。

tt35.(C)就是曲面S上的曲线，(C)上的点满足时，不一

29.以下说法正确的就是0

定就是渐近线。(其中勺就是沿©的法曲率，n就是第二基本形

①法曲率就是法截线的曲率；②法曲率大于等于零；

③法曲率就是曲率向量r在主法向量夕上的投影；式，勺就是测地曲率)

①K“=0；②11=0；③K=0;④K=Q、是主方向的充要条件就是。(其中〃就是另一方向)

“6①dn-dr=0；(2)33r^3n-dr-Q；

36、椭圆抛物面上的点就是0(3)3Sr^_dn-8r=0;④mbr使Hr=0且dr•〃=0。

①椭圆点；②双曲点；③平点；④抛物点。44.曲面在一点的单位法向量就是n,在该点的一个方向dr就

37.曲面上的曲纹坐标网就是渐近网的充要条件就是主方向的充要条件就是。(其中”就是另一方向)

是O①dn-dr=0；②三br使-dr=0;

①E=G=0;②L=N=0;③F=0;④M=0、③3br使赤•〃=();④dn-Adr。

38、曲面上的曲纹坐标网就是共辗网的充要条件就45.曲面在一点的单位法向量就是n,在该点的一个方向dr就

是O是主方向的充要条件就是。(其中〃就是另一方向)

①F=0;②M=0;③L=N=0;④F=M=0、①dn-dr=0；(2)33r^3n-dr-Q；

39、曲面上的曲纹坐标网就是正交网的充要条件就③3br使加•〃=();④dn||dr。

是O46.曲面在一点的单位法向量就是〃，在该点的一个方向就是

①F=0;②M=0;③E=G=0;④L=N=0、dr,IJIlJdn=A,dr的充要条件就是。(其中”就是另一方向)

40、曲面上的曲纹坐标网就是曲率网的充要条件就①dn-Sr=Q；(2)3Sr^_dr-8r=Q；

是O

③沿dr有K”=0;④mbr使加〃=0且dr芯厂=0。

①F=0;②M=0;③F=M=0;④L=N=0、

41.设L、N就是曲面的第二类基本量,L=N=0就是曲面的曲纹47.下列不就是dr=du:dv与5r=SM:共趣的充要

坐标网为网的充要条件。条件。

①正交网；②渐近网；③曲率线网；④半测地坐标①dn-5r=G；@5n-dr=0；

网、③dn-dr-0；④

42.曲面在一点的单位法向量就是n,在该点的一个方向dr

Ldu8u+M(du5v+dvdii)+Ndvdv=0。

就是主方向的充要条件就是。(其中”就是另一方向)

①dn-dr=0；(2)33r^3n-dr=0；48.F=M=0就是曲纹坐标网为网的充要条件。

(3)3br使dn-8r=Q；④mbr使8n-drj=L①正交网；②共辗网；③曲率网；④渐进网。

dr-8r49、以下说法不正确的就是。

43.曲面在一点的单位法向量就是“，在该点的一个方向dr就①球面上的每个点都就是圆点；②平面上的每个点都就是

平点；③双曲抛物面上的点都就是双曲点；④球面上也可以①平面曲线;②曲率线；③测地线；④渐近线。

有双曲点。

56.对于球面r={Rcos。cos°,Rcos6*sin9,Rsin8},以下说法

50、以下结论不正确的就是o

①球面上的每一条曲线就是曲率线；正确。

②平面上的每一条曲线就是曲率线；①其上也有渐近线；②其上曲率线也就是测地线；

③圆柱面上的圆柱螺线就是曲率线；③其上测地线也就是曲率线;④曲纹坐标网不就是曲率网。

④旋转曲面上的纬圆就是曲率线。

57.对于球面r={Reos6)cos°,ReosOsine，7?sin9},以下说法

51.以下结论不正确的就是—(其中，就是曲面的单位法向

量)o不正确。

①在等距变换下，曲面的第一、第二基本量就是不变的；①沿其上任何曲线的法线曲面就是可展曲面；

②如果dn=Adr,则(d)就是主方向；②大圆上每一点处的测地曲率为零；

③曲面上的直线既就是渐近线又就是测地线；③高斯曲率就是正常数；

④只有大圆就是曲率线。

④曲面上的两方向力5厂共辗。dn-dr=Go

58.以下各项中不一定就是测地线。

①球面上的大圆；②圆柱面上的圆柱螺线；

52.对于球面r={7?cos6,cos7?cos6,sin7?sin6,},以下说

③旋转曲面上的经线；④旋转曲面的纬线。

法不正确。

59.球面r={Rcos61co卯尺coSs诩7?sift的坐标曲线构

①坐标网就是正交网;②其上任何曲线就是曲率线；

③高斯曲率为常数;④其上没有测地线。不成。

53.若曲面S上曲线(C)就是平面曲线,则一定有(C)的—恒①正交的渐近网；②共辗网；

等于零。③曲率线网；④半测地坐标网。

下列曲面对所选参数,的坐标网就是曲率线网。

①法曲率;②挠率7；③侧地曲率勺；④曲率k、60.

①旋转曲面厂={°(r)cosa。⑺sin。,力⑺},(夕⑺0);

54、球面上的大圆不可能就是球面上的0

①测地线；②曲率线；③法截线；④渐近线。

②正螺面r={wcos6,usin0,bO];

55.在圆柱面上，圆柱螺线就是。

③抛物面Z=a，+y2)；②曲面的法线与「的主法线垂直;

④直纹面r=a(M)+话(M)。③曲面的切平面就是曲线r的密切平面；

61.对于圆柱面r={Rcos0,RsinO,z],以下说法不正确。④曲面的法线与r的主法线重合。

①坐标网就是正交网；②坐标网就是共辗网；

66.对给定曲面r=r(〃,v),在给定点沿方向du:dv的法曲率

③坐标网就是曲率网；④坐标网就是渐近网。

62.对于正螺面r={wcosv,wsinvJJV,以下说法不正为勺，第一基本量为E、F、G,第二基本量为L、M、N,则以下条

确。件中不就是du:dv为渐近方向的充要条件。

①坐标网就是正交网；②坐标网就是共辗网；

①勺=0;②Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0；

③坐标网就是半测地坐标网；④坐标网就是渐近网。

对于正螺面,其坐标网不就22

63.r={wcosr“sim(3)II=0;④Edu+IFdudv+Gdv=0o

67.曲面在每一点处的主方向0

①正交网；②曲率网；①只有一个；②至少有两个；③只有两个;④也可能没有。

③渐近网；④半测地坐标网。68.若曲面上的曲线恒有法曲率为零，则曲线一定就

64.曲面上有直线，则直线不一定就是0是O

①渐近线；②曲率线；①渐近线；②平面曲线；③曲率线；④测地线。

③测地线；④法截线。

69.曲面上使勺=勺=0的曲线不一定就是。

65.曲线「就是曲面s上非直线的渐近线,则在r的每一点,

①直线；②渐近线；③曲率线；④测地线。

以下说法不正确。

70*.以下曲面中，上的直线就是渐近线，也就是测地

①曲面的法线与「的副法线重合;

线，同时又就是曲率线。

①柱面；②双曲抛物面；③单叶双曲面；④任意直纹面。77.若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为2,-g,则这点

71.曲面上曲线r的方向都就是主方向，且在每点的主曲率

就是曲面的。

.=o,则沿「的每点。

①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④圆点。

78.若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为2,；，则这点就

①一定曲率k=0;②不可能4=勺=&=椀；

是曲面的o

③一定有法曲率£,=0;④一定有测地曲率勺=0。

①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④脐点。

72.曲面在一(非脐)点的主曲率就是曲面在这点o79.若在曲面上一点处有人=丝=#，则这点就是曲面

①沿主方向的法曲率；②所有方向法曲率中的最大值；EFG

③所有方向法曲率中的最小值;④所有方向法曲率的平均值。的O

①椭圆点；②平点；③圆点；④脐点。

T—KFM—KF

73.由方程=0解得的k就是_____o

M-KFN-KG80.在双曲点，曲面的两个主曲率K］与K?。

①高斯曲率；②一般法曲率；③测地曲率；④主曲率。①同号；②异号；③同号或异号；④可能就是零。

T—KFM—KF81.在抛物点，曲面的两个主曲率&与K?。

74.由方程=0求得的k就是_____。

M-KFN-KG①同号；②异号；③至少一个为零；④不全就是零。

①高斯曲率；②主曲率；③一般法曲率；④平均曲率。

82.曲面r=r(a,v),〃就是其单位法向量。则下列项不就

75.在曲面上一点处高斯曲率K>0,则LN-舷2。

是曲面的第三类基本量。

①〉0;②<0;③=0；④符号不确定。

③4；

①nu-nu;@nu-nv•〃「④ru-nu.

76.若在曲面上一点LN-M2co，则在该点的高斯曲率

83.曲面r=(r,u就是其单位法向

Ko

①>0；②<0；③=0；④符号不确定。

量，III=edir+2fdudv+gdv2。则下列第三基本量的表示中

就是正确的。面在P点的单位法向量为〃，则测地曲率勺。o

①e=nu-nv:②f=nu-nv;③g=nu-nug=nv-nv。

①)k0xn;②;③(「，「，");@(ka,)3,n)。

84.以下曲面上的点总有高斯曲率K〉0o

①椭球面；②圆环面；③双曲面；④圆柱面。

93.曲面r=上,曲线(C)在P点的基本向量为a,(3,7,

85.下列曲面中,不一定就是可展曲面。

①锥面;②曲线的切线曲面;③柱面;④曲线的主法线曲面。曲面在P点的单位法向量为〃，£="xa。则曲线(C)在P点的测地

86.下列曲面中,不一定就是可展曲面。

曲率勺=o

①柱面；②曲面上沿曲率线的法线曲面；

③某曲线的切线曲面;④曲线的副法线曲面。

①；②左万〃；③ky•£；@k/3-s。

87.下列直纹曲面中,就是可展曲面。

①锥面；②挠曲线的主法线曲面；

94.曲面r=r(M,v)上,曲线(C)在P点的基本向量为a,p,y,

③单叶双曲面；④双曲抛物面。

88.下列直纹曲面中,就是可展曲面。曲面在P点的单位法向量为〃，£=〃xa。则曲线(C)在P点的测地

①单叶双曲面；②挠曲线的副法线曲面；

曲率勺=。

③挠曲线的切线曲面；④双曲抛物面。

89.下列曲面中,不一定就是可展曲面。

①)；②k0.n；③ky♦〃；④ky-£。

①任意曲线的切线曲面；②曲面沿曲率线的法线曲面；

③平面曲线的副法线曲面；④圆柱螺线的主法线曲面。

95.曲面r=上，曲线(C)在P点的基本向量为a，2，7,

90.下列曲面中,不与平面等距对应。

①锥面；②正螺面；③柱面；④可展曲面。曲面在P点的单位法向量为〃，£="xa。则曲线(C)在P点的测地

91.下列曲面中,不与平面等距对应。

曲率勺=o

①可展曲面；②高斯曲率为零的曲面；

③单参数平面族的包络;④圆柱螺线的主法线曲面。

①kr•£；②kr-〃；③；@r-s。

92.曲面上,曲线(C)在P点的基本向量为a,曲

96.对于曲面上曲线(C),为零时，(C)不一定就是测地

线。①(C)的曲率；②沿(C)的高斯曲率；③旋转曲面上的经线(C);④旋转曲面上的纬圆(C)。

③(C)的测地曲率；④沿(C)的法曲率与曲率。102.下列曲面中,的坐标网不就是半测地坐标网。

97.曲面S上曲线(C)在P点的曲率为k,主法向量为尸，曲面①圆柱面r={7?cos0,Rsin0,z};

(s)在P点的单位法向量为九，夕与〃的夹角为e,则曲线(0在P②旋转曲面r={9«)cosa9(/)sine，H。}；

点的测地曲率勺=。③正螺面厂={“cos%asinv,Av}；

①Acossincos

。；②土女。；③ksin6；④土左。。④椭圆抛物面厂={x,y,a，+V)}。

98.曲面上曲线(C)在其上一点的以下曲率中,一定不变

号。103.下列曲面中,的坐标网不一定就是半测地坐标网。

①曲率K；②高斯曲率K；③法曲率勺；④测地曲率魔。①圆柱面r={3?cos^Z？sin0,z}；

99.对于曲面上非直线的曲线，不可能o

②旋转曲面r={9(/)cose，9(r)sine，W。}；

①既就是曲率线,又就是渐近线;②既就是曲率线,又就是测

地线；③既就是测地线，又就是渐近线；④既就是法截线，又

③直纹面r=a(u)+vb(u);

就是测地线。

100.两曲面沿一曲线「相切，则以下结论中不成立。④球面r={7?cos6(cos7?cos6(sin7?sin0}。

①同为(或同不为)两曲面的曲率线；104.下列曲面中,的坐标网不就是半测地坐标网。

②同为(或同不为)两曲面的测地线；

①球面r={Rcos6)