《通信原理项目式教程》课件项目5 设计实现各种信道编码

项目5设计实现各种信道编码任务5.1理解信道编码的基本思想任务5.2设计实现几种简单的分组编码任务5.3设计实现线性分组码任务5.4设计实现卷积码任务5.5设计实现交织编码任务5.1理解信道编码的基本思想

相比于模拟信号，数字信号在交换和传输过程中更容易因信道特性不理想以及加性噪声的影响而发生差错，从而使接收端产生误判。为了克服此问题，必须采用差错控制编码方法，以提高系统的可靠性。由于差错主要是在信道中产生的，因而差错控制编码亦称为信道编码。本节的任务是掌握信道编码的基本原理，了解差错的分类和三种常用的差错控制方式。任务要求：任务5.1理解信道编码的基本思想1、信道编码的分类随机错误：

各个错码的出现是随机的，且错码之间是统计独立的。往往是由信道中的高斯白噪声引起。突发错误：

错码是成串集中出现的，也就是说，在一些短促的时间区间内会出现大量错码，而在这些短促的时间区间之间却又存在较长的无错码区间。产生突发错误的主要原因是脉冲干扰和信道中的衰落现象。混合错误：

既有随机错误又有突发错误的情况。任务5.1理解信道编码的基本思想信道编码的分类：任务5.1理解信道编码的基本思想2、信道编码的基本原理

基本思想是要建立码元之间的相关性，实际常采用的方法是在被传输的有用信息码元中附加一些监督码元，并依据一定的规则在信息码元和监督码元之间建立某种校验关系。当这种校验关系因传输错误而被破坏时，利用收发双方事先约定的校验规则，就可以发现错误（检错）或予以纠正（纠错）。可见，信道编码的这种纠、检错能力是用增加信号的冗余度换取的。

举个例子：用3位二进制码元组合来表示天气。方案1：8种可能的组合全部用来传递信息，具体为：000（晴），001（云），010（阴），011（雨），100（雪），101（霜），110（雾），111（雹）。方案2：8种组合中只选用4种来传递信息，具体为：000（晴），011（云），101（阴），110（雨）。方案3：许用码组只有两种：000(晴)和111(雨)，其余都是禁用码组。任务5.1理解信道编码的基本思想3、差错控制方式（1）前向纠错(FEC)

发送端发送有纠错能力的码，接收端的译码器收到这些码之后，能够按照事先约定的规则，自动地纠正传输中的错误。（2）检错重发(ARQ)

发送端发出有一定检测错误能力的码。收端译码器根据编码规则，判断这些码在传输中是否有错误产生，如果有错，就通过反馈信道告诉发送端，发送端将接收端认为错误的信息再次重新发送，直到收端认为正确为止。（3）混合纠错(HEC)

发送端发送的码不仅能够检测错误，而且还具有一定的纠错能力。接收端译码器接收到码组之后，首先检查错误，若在其纠错能力范围之内，则自动纠正错误，如果错误超出了接收端的纠错能力，则通过反馈信道请求发端重发这组信息。任务5.1理解信道编码的基本思想案例分析：1、有两个码组集合A和B分别如下图(a)和(b)所示，试分析比较其纠检错能力和有效性。解：

纠检错能力：集合A中的码组没有冗余，因此不具有任何纠检错能力；集合B中有4个许用码组、12个的禁用码组，因此具有较强的纠检错能力。如任何一个许用码组中的任何一个二进制位发生差错时，都会变成禁用码组。

有效性：同样表示四种信息，码组集合B用4位二进制，而码组集合A只用2位二进制。因此，集合A比集合B有效性高。任务5.1理解信道编码的基本思想案例分析：2、试列表比较三种差错控制方式。解：

三种差错控制方式对比如表所示：任务5.2设计实现几种简单的分组编码

分组编码是最早应用的、最基本的编码方式，也是其它类型编码的基础。本节的任务是首先熟悉分组码中的基本概念，然后学习设计三种简单实用的分组码：奇偶校验码、恒比码和正反码。子任务1：熟悉分组码中的基本概念子任务2：设计实现单片机通信中的奇偶校验码子任务3：设计实现电传系统中的恒比码子任务4：设计实现电报系统中的正反码任务要求：任务5.2设计实现几种简单的分组编码

任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务1：熟悉分组码中的基本概念案例分析：

已知八个码组为000000，001110，010101，011011，100011，101101，110110，111000。（1）求以上码组的最小距离；（2）将以上码组用于检错，能检几位错；若用于纠错，能纠正几位错码？（3）如果将以上码组同时用于检错与纠错，问纠错检错能力如何？解：

（1）最小码距dmin=3；

（2）根据公式5-1和式5-2，该码组能检2位错码；能纠1位错码；

（3）根据公式5-3，该码组不能同时纠检错。任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务2：设计实现单片机通信中的奇偶校验码

奇偶校验码是在原信息码元后面附加一位监督码元，使得码组中“1”的个数为奇数或偶数，为奇数的称为奇校验码和为偶数的称为偶校验码。

奇偶校验码的典型应用是在单片机串行通信系统中。对于八位单片机，其数据中七位为信息码，再根据奇或偶检验规则，增加一位监督码，从而构成八位的数据。在较远距离的串行通信中数据可能收到噪声的影响而产生误码，接收端能够根据校验规则检查出接收到的数据的正误。

总的来看，奇偶校验码这种编码方式能够发现奇数个错码，对发生偶数个误码的情况无法查出，且无论奇数还是偶数个误码都无法判定错码的位置，故不能纠错。任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务2：设计实现单片机通信中的奇偶校验码

二维奇偶校验码又称方阵码，具有很强的检错能力和一定的纠错能力。其原理是：将若干码字排列成矩阵，在每行和每列的末尾均加上一位监督码，以构成行和列奇校验或偶校验。

发送端的信息码经过这样编码后被发送到接收端，接收端再把收到的码元序列排列成同样的方阵，就可以检测信息码在传输过程中的误码情况。

总之，这种二维奇偶校验码对每行或每列的奇数或偶数个错误都能检验出来，且可以确定仅一行或一列出现奇数个误码的位置并纠正之。

二维奇偶校验码更适用于检测突发错误。任务5.2设计实现几种简单的分组编码

任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务2：设计实现单片机通信中的奇偶校验码案例分析：2、已知二进制序列1000111100101000101010011110011…：（1）试按照8个码元为一组的编组方法，写出完整的二维奇校验方阵；（2）若在传输过程中，原序列中的第8位数据发生误码，试分析接收端能否检出？（3）若在传输过程中，原序列中的第9-12位数据都发生误码，试分析接收端能否检出？（4）若在传输过程中，方阵中的最后一位奇监督码发生误码，试分析接收端能否检出？解：（1）所求二维奇校验方阵如右表所示：（2）原序列中的第8位数据位于方阵的第1行第8列，若该位发生误码，会同时破坏第1行和第8列的奇校验规则，接收端不仅能检出，还能纠正该误码。（3）原序列中的第9-12位分别位于方阵的第2行第1-4列，若都发生误码，通过行奇校验不能发现错误，但它破坏了第1-4列的奇校验规则，接收端能够检出误码，但不能准确定位。（4）方阵中的最后一位奇监督码位于方阵的第5行第9列，若该位发生误码，会同时破坏第5行和第9列的奇校验规则，接收端能够检出并纠正误码。任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务3：设计实现电传系统中的恒比码

码组中“1”码的数目与“0”码的数目保持恒定比例的码称为恒比码。由于在恒比码中，每个码组均含有相同数目的l和0，因此恒比码又称“等重码”或“定1码”。这种码在检测时，只要知道接收码元中1的数目是否正确，就能确定有无错误。

目前我国电传通信中普遍采用3:2恒比码，又称“5中取3码”。采用恒比码的电传机系统广泛采用起止式同步法。任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务3：设计实现电传系统中的恒比码案例分析：1、试分析我国电传采用的3:2恒比码的纠检错能力？答：2、试画出连续字符串“3956”的起止式同步法字符结构组成图。解：

所求结构组成如下图所示：任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务4：设计实现电报系统中的正反码

正反码是一种简单的分组码，具有纠错能力，在电报系统中得到应用。这种码的监督码数目与信息码数目相同，监督码的编码规则为：当信息码中有奇数个“1”时，监督码是信息码的重复；当信息码中有偶数个“1”时，监督码是信息码的反码。

接收端解码时先将接收码组中信息码和监督码对应码位逐位做模二加运算，从而得到一个合成码。在无错码情况下，信息码中有奇数和偶数个“1”所对应的合成码分别应为全0和全1。当发生错码时，接收端按照“少数服从多数”的原则，认定在多个1（或0）码中相应0（或1）码的位置即为发生错码的位置，再按照前述编码规则，就能确知究竟是信息码位还是监督码位发生错误，并予以纠正了。

正反码能够进行一位码的纠错和两位或两位以上码的检错，但其编码效率太低，只有50％。任务5.2设计实现几种简单的分组编码子任务4：设计实现电报系统中的正反码案例分析：1、试分别写出信息码“10110”和“00110”对应的正反码编码码组；若信息码“00110”对应的编码码组在传输过程中第6位发生误码，试分析接收端的能否检出。解：2、已知接收端收到一个正反码码组为“0110110101101110”，试分析该码组有无误码？如果有误码，接收端能否检出？解：任务5.3设计实现线性分组码

线性分组码是一类非常重要的信道纠错码，具有很广泛的应用。本节的任务是学习线性分组码的编码原理、计算公式、纠错方法及特征特点。具体包括基本线性分组码和一类特殊的线性分组码——循环冗余校验码。子任务1：设计实现基本线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码任务要求：任务5.3设计实现线性分组码子任务1：设计实现基本线性分组码

线性分组码的构成是将信息码序列划分为等长（k位）的信息段，在每一个信息段之后附加r位监督码，从而构成长度为n=k+r的分组码，通常用（n,k）表示。线性分组码的监督码元是根据一定的规则，由本组的信息码元经过线性变换得到的，其名称也由此而来。在接收端，通过检查码组中的信息码与监督码之间是否仍然存在与发送端相一致的约束关系就能发现或纠正错码。1、监督矩阵H和生成矩阵G

已知信息码

和监督码

之间符合以下约束关系：4位信息码的所有可能组合及其符合上式的监督码如下表所示。任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码子任务1：设计实现基本线性分组码信息码和监督码关系式还可以写成：

和经转置后，有：式中Q为

阶矩阵，它为P的转置，即：在给定信息位之后，用信息位的行矩阵乘以矩阵

，就可产生监督位，完成编码。任务5.3设计实现线性分组码子任务1：设计实现基本线性分组码

引入生成矩阵

（Generate），

的功能是通过给定信息位产生整个的编码码组，即有：或者

由信息位确定监督位的方法和对生成矩阵的要求，很容易得到生成矩阵G的组成：式中

为

阶单位方阵。具有

形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。

比较典型监督矩阵和典型生成矩阵，可以看出二者之间存在如下关系：任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码子任务1：设计实现基本线性分组码案例分析：4、已知某个(7,4)线性分组码的监督矩阵为（1）试求其生成矩阵；解：（1）由式5-8可知，该监督矩阵为典型监督矩阵，进而写出

，接着写出

。再由式5-15，可以写出所求生成矩阵：任务5.3设计实现线性分组码子任务1：设计实现基本线性分组码案例分析：4、已知某个(7,4)线性分组码的监督矩阵为（2）写出所有许用码组；（3）用随意两个许用码组证明线性分组码的封闭性。解：（2）由式5-13或5-14求出所有许用码组如下表所示：（3）随意取信息码“0100”和“1110”对应的线性分组码码组“0100110”和“1110100”，将它们做模二加，得到对应信息码“1010”的码组“1010010”，实证了线性分组码的封闭性。任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码

循环码是一类重要的、特殊的线性分组码。循环码除了具有线性分组码的一般特性外，还具有循环性。所谓循环性是指循环码中任一许用码组经过一位或若干位循环移位之后，所得到的码组仍为一许用码组。(7,3)循环码码组：任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码1、码多项式及按模运算码多项式：

码多项式可以进行代数运算——模n运算。所谓模n运算就是“除n取余”的运算。对于任一整数

，必有：

因此，对m进行模n运算有：

码多项式也可以进行模多项式的运算。设一多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即：

则对多项式F(x)进行模N(x)的运算，可得：

在循环码中，若T(x)是一个码长为n的许用码组，则可以证明

在模

运算下也是一个许用码组，即若

则

也是一个许用码组。实际上，

正是T(x)所代表的码组向左移位i次后所得码组对应的多项式。任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码2、码的生成多项式和生成矩阵任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码2、码的生成多项式和生成矩阵

要构造生成矩阵，其关键是找到g(x)，g(x)称为生成多项式。经研究证明，g(x)具有如下性质：

需要注意的是：查表得出的生成矩阵不是典型矩阵，必须经过矩阵初等变换方可得到典型矩阵。任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码3、循环码的编码

由信息码组和生成矩阵相乘可以得到所有许用码组，而由信息码组对应的多项式和生成多项式直接相乘可以得到该信息码对应的编码码组多项式，即已知信息码多项式m(x)和生成多项式g(x)，则对应的码多项式为：

但是用这种相乘方法得到的循环码不是系统码。所谓系统码指的是码组前k位为信息位，后面的n-k位是监督位，即信息位和监督位区分明显且位置固定。系统码的码多项式可以写为：

其中，r(x)称为监督码多项式，其最高次数小于n-k。任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码3、循环码的编码

为了获得系统码的生成方法，做如下推导：

设h(x)为某一信息码多项式，则可以得到：

用g(x)除等式两边，得到即：任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码4、循环码的解码

接收端解码的目的有两个：检错和纠错。其中检错的实现原理非常简单：由于任一码组多项式T(x)都应该能被g(x)整除。所以，在接收端可以利用接收到的码组R(x)去除以原生成多项式g(x)的结果来进行检错。若能够整除，则说明传输过程中没有发生错误；反之，则检查出有错。一般的，设接收码组多项式为R(x)，则有且

纠错的实现也要利用上述性质，而且要求每个余式r’(x)都必须与一个特定的错误图样E(x)有一一对应关系。因为只有存在这种关系，才可能由上述余式唯一地确定一个错误图样，从而进行正确纠错。错误图样E(x)与余式r’(x)的对应关系推导如下：任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码4、循环码的解码

据上式，可以列出一个对应关系列表，进行纠错时只需查表即可。

总的来讲，接收端循环码的纠错步骤如下：

需要说明的是，有些错误码组也可能被

整除，这时的错误就无法检出，这种错误称为不可检错误。不可检错误中的错码数一定超过了这种编码的检错能力。任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码(7,3)循环码的译码器：任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码案例分析：2、已知某(7,3)循环码的生成多项式为

，求信息码组“101”对应的系统码和非系统码。解：

信息码组“101”对应的多项式为

。根据式5-37可知，其对应的非系统码多项式为：有：可得：可得系统码多项式为：所以，信息码组101对应的系统码为1010011、非系统码为1101001。任务5.3设计实现线性分组码子任务2：设计实现循环冗余校验（CRC）码案例分析：3、已知表5-10中所列(7,3)循环码的生成多项式为

，接收端接收码组为1110110，试判断该码组是否有错，如果有错请纠正。解：

接收码组1110110对应的多项式为：

令R(x)对g(x)作除法运算得：

存在余式

r’(x)=x，因此，该接收码组有错。根据表5-13可得相应的错误图样E(x)=x，根据式5-43，正确的码组多项式为：

正确码组为1110100。任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码

任务5.3设计实现线性分组码

任务5.4设计实现卷积码

相比于线性分组码，卷积码能够在同样数量监督码元的基础上使码元之间具有更强的相关性，从而具有更强的纠、检错能力，因而具有更广泛的应用。本节的任务是学习卷积码的编码原理及其特征特点。任务要求：卷积码是一种纠、检错能力很强的非线性分组码。它先将信息序列分成长度为k的子组，然后编成长为n的子码，其中长为n-k的监督码元不仅与本子码的k个信息码元有关，而且还与前面m个子码的信息码元密切相关。换句话说，各子码内的监督码元不仅对本子码有监督作用，而且对前面m个子码内的信息码元也有监督作用。这就在不更多地增加监督码元的基础上加强了码元之间的相关性，从而提高了纠、检错能力。任务5.4设计实现卷积码

卷积码常用(n,k,m)表示，其中m称为编码记忆，它反映了输入信息码元在编码器中需要存储的时间长短；N=m+1称为卷积码的约束度，单位是组，它是相互约束的子码的个数；N.n被称为约束长度，单位是位，它是相互约束的二进制码元的个数。任务5.4设计实现卷积码案例分析：1、已知某(3,1,3)卷积码编码器如图5-11所示，试写出其输入输出关系式，并计算该卷积码的编码效率、约束度和约束长度。解：由编码器可知，输入输出关系式为：任务5.4设计实现卷积码案例分析：2、设图5-10所示的卷积码编码器的输入序列为011101…，求其输出序列。解：所以输出序列为000111110101010100…。任务5.5设计实现交织编码任务要求：

前述的线性分组码和卷积码等编码方法只能纠正随机比特的错误或连续有限个比特的错误，但在陆地移动通信系统中，由于信号在传输信道中经常会发生瑞利深度衰落，因而大多数误码的产生并非是随机离散的，而更可能是长突发形式的成串比特错误。实际的移动通信系统中都是在前述差错控制编码的基础上，再加上交织技术。本节的任务是学习交织和解交织（去交织）的原理及其特性。

交织的基本原理是将已编码的信号比特按照一定的规则重新排列，这样，即使在传输过程中发生了成串差错，在接收端进行解交织时，也会将成串差错分散成单个（或长度很短）的差错，再利用信道解码的纠错功能纠正差错，就能够恢复出原始信号。总之，交织的目的就是使误码离散化，使突发差错变为信道编码能够处理的随机差错。任务5.