中考数学训练函数综合题人教版

中考数学专题训练(函数综合-含答案)

_4

1.如图，一次函数丁=履+〃与反比例函数'=1的图像交于A、8两点，其中点A的横坐标为1,

又一次函数旷=履+匕的图像与x轴交于点°(一3,0).

(1)求一次函数的解析式；

(2)求点8的坐标.

2.已知一次函数y=(l-2x)m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y随自变量x的减小而减小。

(1)求m的取值范围；

(2)又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是，求这个一次函数的解析式。

3.如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，已知点/的坐标为(2,2),

点6、C在8轴上，8c=8,AB=AC,直线4c与)'轴相交于点O.

(1)求点C、0的坐标；

(2)求图象经过5、〃、N三点的二次函数解析式及它的顶点坐标.

4.如图四，已知二次函数，=办一一2依+3的图像与工轴交于点4,点8,

与）'轴交于点c,其顶点为。，直线0C的函数关系式为歹=履+0,

(

图

又tanZOBC=1.四

)

（1）求二次函数的解析式和直线OC的函数关系式；/A/°\

（2）求△ABC的面积./I\

5.已知在直角坐标系中，点4的坐标是（-3,1）,将线段a1绕着点。顺时针旋转90.得到。氏

⑴求点5的坐标；（2）求过/、B、。三点的抛物线的解析式；

（3）设点B关于抛物线的对称轴/的对称点为C,求A45C的面积。

y——

6.如图，双曲线.》在第一象限的一支上有一点C(l,5),过点C的直线了=一心+优”>°)与

x轴交于点N(a,0)、与y轴交于点民

(1)求点A的横坐标“与A之间的函数关系式；

(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求△COO的面积.

7.在直角坐标系中，把点”(-1,a)(〃为常数)向右平移4个单位得到点4,经过点4、A的抛

物线》=以2+加+。与y轴的交点的纵坐标为2.

(1)求这条抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点P,点5的坐标

为(1,m),且利<3,若△相尸是等腰三角形，求点6的坐标。[

图7

8.在直角坐标平面内，。为原点，二次函数y=-x2+/zx+c的图像经过4(-1,0)和点5(0,3),

顶点为尸。

(1)求二次函数的解析式及点尸的坐标；

(2)如果点。是x轴上一点，以点Z、P、。为顶点的三角形是直角三角形，求点。的坐标。

9.如图，在平面直角坐标系9'中，抛物线…之、经过点4L3),8(0,1).

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2)过点A作X轴的平行线交抛物线于另一点C,

①求AABC的面积；②在)'轴上取一点P,使AABP与AABC相似，求满足条件的所有P点坐标.

▲y

6-

5-

4-

3-8

2-

1-

-4-3-2-101~2~3~4~5~6~7~~\

-1-

图8

10.在平面直角坐标系中，将抛物线)'=2/沿y轴向上平移1个单位，再沿X轴向右平移两个单

位，平移后抛物线的顶点坐标记作A,直线X=3与平移后的抛物线相交于B,与直线OA相交于C.

(1)求AA8C面积；

(2)点P在平移后抛物线的对称轴上，如果AA8P与AABC相似，求所有满足条件的P点坐标.

11.如图，直线OA与反比例函数的图像交于点A(3,3),向下平移直线OA,与反比例函数的图像交

于点B(6,m)与y轴交于点C.

(1)求直线BC的解析式；(2)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；

(3)设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D,对称轴与x轴的交点为E.问：在二次函

数的对称轴上是否存在一点P,使以O、E、P为顶点的三角形与ABCD相似卜若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.\/

12.二次函数图像过A(2,1)B(0,1)和C(1,-1)三点。

(1)求该二次函数的解析式；(2)该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后,

原二次函数图像上的A、B两点相应平移到A1、Bi处，求NBBIAI的余弦值。

13.如图，在直角坐标系中，直线y=gx+4与X轴、y轴分别交于A、B两点，过点A作CA_LAB,

CA=2后,并且作CD_Lx轴.(1)求证:△ADCsaBOA(2)若抛物线y=-/+次+。经过B、C两

点.

①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P,M是坐标轴上的一个点，若直线PM与j，轴的夹

角为30°,请直接写出点M的坐标.

14.如图，已知二次函数_)胃依2_2依+3(«<0)的图像与无轴的负半轴交于点4与j轴的正半轴交于

点6,顶点为P,且05=3。4,一次函数尸Ax+b的图像经过点N、点5.

(1)求一次函数的解析式；

(2)求顶点户的坐标；

(3)平移直线N6使其过点P,如果点M在平移后的直线上，且加"NO4M=3,求点M的坐标.

2

(第15题图)

15.如图16,在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB/70A,0A=7,AB=4,ZC0A=60°,点P

为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合.连结CP,D点是线段AB上一点，连结PD.

(1)求点B的坐标；

(2)当NCPD=N0AB,且翅=工，求这时点P的坐标.

AB8

16.如图，二次函数''=一了'+'"+'的图像经过点4(4,0)，6(-4,-4),且与)，轴交于点C.

(1)试求此二次函数的解析式；

(2)试证明：/BA°=NC4O(其中。是原点)：

(3)若「是线段A3上的一个动点(不与A、B重合)，过P作)'轴的平行线，分别交此二次函

数图像及x轴于°、”两点，试问：是否存在这样的点「，使PH=2QH?共在在手七中占P

■

的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边5。在x轴正半轴上，边C。在)，轴的正半轴上,

且48=2,OB=2^3,矩形ABOC绕点。逆时针旋转后得到矩形EFOD,且点A落在)，轴上的E

点，点8的对应点为点/，点C的对应点为点O.

(1)求b、E、。三点的坐标；

（2）若抛物线y=af+/u+c经过点/、E、D,求此抛物线的解析式；

（3）在x轴上方的抛物线上求点。的坐标，使得三角形。08的面积等于矩形A50C的面积？

18.如图，在平面直角坐标系xQy中，0为原点，点工、C的坐标分别为（2,0）、（1,373）.

将△ZOC绕/C的中点旋转180°,点。落到点5的位置，抛物线y=a/-2A/5X经过点点

D是该抛物线的顶点.

（1）求证：四边形N5co是平行四边形；

（2）求”的值并说明点8在抛物线上；

（3）若点尸是线段ON上一点，且求点尸的坐标;

（4）若点尸是x轴上一点，以尸、N、。为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在j轴上,

写出点尸的坐标.

19.已知，矩形O43C在平面直角坐标系中位置如图所示，N的坐标（4，°）,C的坐标（°，一2）,直线

=_2x2

一针与边5c相交于点。，⑴求点。的坐标；（2）抛物线y=+"+c经过点N、。、O,

求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M,使°、D、A、加为顶点的四边形

是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点用的坐标；若不存在，请说明理由。

y=--x+3

20.如图，在平面直角坐标系中，直线”4分别与*轴、)轴交于点A和点B.二次函数

y=°£-4ax+c的图象经过点5和点C(-1,0),顶点为P.

(1)求这个二次函数的解析式，并求出产点坐标;

(2)若点在二次函数图象的对称轴上，且求尸。的长;

参考答案

1、解：（1）由点A在反比例函数图像上，则9—（1分）

]4=Z+bk=l

又点A（l,4）与C（一3,0）在一次函数图像上，贝「0=-3后+如一（2分）解得[〃=3.（1分）

...一次函数解析式为y="+3.——（1分）

-_49

（2）由、'仁，------（2分）消元得厂+3%一4=0,一（1分）

解得玉=-4,0=1（舍去），一（1分）.•.点B的坐标是（-4,一1）.一一（1分）

2.解：（1）;一次函数y=（l-2x）m+x+3即y=（l-2m）x+m+3图像不经过第四象限

且函数值y随自变量x的减小而减小,l-2m>0,m+3,0,（2分）

……...（2分）

「+3o]

根据题意，得：函数图像与y轴的交点为（0,m+3）,与x轴的交点双2〃?—1J…（1分）

1m+3/9

贝IJ5,匚茄+"=5……...（1分）解得m=0或m=-24（舍）...（1分）

一次函数解析式为：y=x+3……（1分）

3.解：（1）过点A作AE_Lx轴，垂足为点E.....11

•••点A的坐标为（2,2）,...点E的坐标为（2,0）.

'：AB=AC,BC=8,：.BE=CE..............1,点B的坐标为（-2,0）,......「

点c的坐标为（6,o）....r

设直线AC的解析式为：丫=丘+”,将点A、C的坐标代入解析式，1E

1,第3题

y=——x+3

得到：’2....1，.♦.点D的坐标为（0,3）............1'

（3）设二次函数解析式为：y=（40°）,

Za—2b+3=0,f=4'

•.•图象经过B、。、A三点，14。+2》+3=2..“2，解得：b=2-.…1，

y=~—x2+—x+313-

...此二次函数解析式为：.22......1，顶点坐标为（2,飞）.........1，

解：⑴tanNQ8C=l,...OB=OC=3,，B(3,0)..........(2分)

将B(3,0)代入y=底_2以+30=9a-6tz+3-a=-\

（1分）

:.y7+2x+3；»=—(1)2+4...(］分).D(14bA“)…(2分)

将D(I,4)代入y=):.k-1,)x+3

（2分）

SMBC=(x4x3=6

(2)2（4分）

5.解：(1)过点A作AH，x轴，过点B作BMJ_y轴，

由题意得OA=OB,ZAOH=ZBOM,/.AAOH^ABOM-------------1分

的坐标是(-3,1),.,.AH=BM=1,OH=OM=3，B点坐标为(1,3)---------2分

(2)设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c

a+b+c=3

-9a-3b+c=\5.13八52,13

a=—，b=—,c=by=-x+—x

则匕=°——3分得66.I抛物线的解析式为.66__2分

13.身3

X-----u'

（3）对称轴为10-…—1分的坐标为（5）——1分

S»BC=--BChK=--（l+—）-2=—

A2255--------------2分

6.解：（1）♦:点c（1,5）在直线y=-4x+优，>0）上，

•5--k-\+b•b-k+51，•y=-%x+%+5

；点A（a,0）在直线丫=_^x+攵+5上，...o=_ka+A+5..],

(2);•直线与双曲线在第一象限的另一交点。的横坐标是9,设点D(9,y).............1'

55k=—

9..•.点D（9,力）.......1'代入k-气+%+5,可解得：9,..”

55050

—XH---------

99...............V可得：点，（10,0）,点B（0,9）..........2'

IxlOx^-lxlOx^-lx^xl

=292929…1'

22

1V

7.解：(1)设抛物线的解析式为>=如2+版+，

点A(-1,a)(。为常数)向右平移4个单位得到点A(3,a)...............(1分)

•••抛物线与)'轴的交点的纵坐标为2；.C=2................(1分)

fa+b+c=a\a=-i

V图像经过点A(—1,a)、4'(3,a).•』9a+"c=a…(1分)解得历=2……(2

分)

•)—_+2.x+2.....................(])

(2)由y=r-+2x+2=—(x—l)-+3得pg,3)AP=245..........。分)

•••△ABP是等腰三角形，点s的坐标为（1'm），且"<3

（I）当AP=PB时，PB=2逐，即3-机=2遍...（1分）:.m=3-2后…（1分）

（II）当AP=AB时（-l-l）2+（-l-3）2=（-l-l）2+（-l-/n）2

解得加=3,/M=-5……（1分）加=3不合题意舍去，......q分）

（ID）当PB=AB时（1-1）2+（3一"）2=（一1-1）2+（一1一〃?）2解得‘〃一5......（1分）

综上：当加=3-2后或一5或2时，^ABP是等腰三角形.

J-l-/?+c=O

8.解：（1）由题意，得10=3（2分）解得〃=2,C=3（1分）

...二次函数的解析式是y=-/+2x+3（1分）

k—+2*3=-（一『+4,...点「的坐标是（[，4）（2分）

（2）P（1,4）,A（-1,0）：.Ap2=20.（1分）设点Q的坐标是（X,0）NPAQ=90。不合题意

则AQ2=（X-1）[PQ2=（1R]6（J分）

当/42比90。时，4。2+尸。2=4尸，（工+1）+（工―1）+16=20,解得4=1,%=-1（舍去）

.•.点Q的坐标是（1,0）（2分）

当NAPQ=9。。时，，尸+尸。2=颇2,20+（iy+16=（x+l）2,解得/9,

.,.点Q的坐标是（9,0）（2分）

综上所述，所求点「的坐标是（1,0）或（9,0）.

1,5

9.解:⑴将A（L3）,8（0,1）,代入'--5'+'+'，解得2,c=l................2分

2

y=-lx+-x+l）

二抛物线的解析式为22............1分顶点坐标为28.……1分

皿七1.品=1|3-[・|4—1|=3

（2）①由对称性得C（4,3）........1分:.2.…1分

ADBD1

②将直线AC与）'轴交点记作。，二•茄=访"鼻，NCDB为公共角，

：.4ABDS4BCD.：.ZABD=ZBCD............1分

PBAB

1°当NP4B=NABC时，AC~BCf

2222

..BC=7(0-4)+(l-3)=275AB=J(0-l)+(l-3)=5/5AC=3

•99

.叫.片吟2分

PBAB加1013

——=———T~PB=—.2（0,不）

2°当NPAB=NBAC时，BCAC,2,53,:.3,.......2分

综上所述满足条件的「点有2,'3................1分

10.解：平移后抛物线的解析式为y=2（X-2）2+l.……2分点坐标为（2,1）,……1分

_,k=—y=­x

设直线OA解析式为、="，将A（2,1）代入得2,直线。月解析式为,2,

133

y=—xy=——

将x=3代入.2得”2,点坐标为（3,2）................1分

,S）

将x=3代入y=2（x—2）2+［得y=3,;.B点坐标为（3,3）.…1分AABC…2分

（2）'."PA//BC,：.ZPAB=ZABC

1°当NP8A=N8AC时，PB〃AG

35

PA=BC=-4（2二）

四边形PACB是平行四边形，2.…1分:.2.“.1分

y——y——iTi———

双曲线为：.X,点B（6,m）代入.X得2,点B（6,2）,……。分）

设直线BC的解析式为y=x+b,由直线BC经过点B,将1=6,代入y=x+'

b=--y=x--

得2…（1分）所以，直线BC的解析式为2…（1分）

9

y=*_2_2y^ax2+bx--

（2）由直线2得点c（o,2）,设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为-

9"+3b-2=3|z,_1

2L92\CI--2

y-ax+^X~T3f,a+6b--=-｝一4

将A、B两点的坐标代入2,得22…（1分）解得U-4（1分）

1，,9

y=——厂+4x----

所以，抛物线的解析式为”22...........（1分）

12“91,八277

y=——x+4x——y=——（九-4）+一—■

（3）存在把.22配方得.22,所以得点D（%2）,

对称轴为直线犬=4…（1分）得对称轴与X轴交点的坐标为E（4,0）.............（1分）

由BD=m,BC=^2,CD=_，得8?=BC+，所以，NDBC=90’.......（1分）

又NPEO=90°,若以0、E、P为顶点的三角形与4BCD相似，则有：

OEPE4PE

①旅一例即6叵-2巨得.石§，有1(4,3),6(4,-3)

OEPE4PE

②DB-BCgp2>/2-6V2得PE=12,有4(4,12),舄(4,-12)....(3分)

4_4

所以，点P的坐标为(4,3，(4,3),(4,12),(4,-12).

\=4a+2b+ca=2

1=<?b=-4.•r

-\=a+b+c

12.(1)设丫=3*2+6乂+€：…r,代入A、B、C坐标得解得〔c=l

得y=2x-4x+l...],

昱

…r

(2)BB1=2石cosZBBiAi=5・.・3,

13.(1)VCD±AB.\ZBAC=90°/.ZBAO+ZCAD=90°...........(1分)

■D_Lx轴，NCDA=90。，NC+NCAD=90°.......(1分).，.NC=NBAO.......(1分)

XVZCDO=ZAOB=90°.".AADC^ABOA...............(1分)

(2)①由题意得，A(-8,0),B(0,4)…(1分)/.OA=8,OB=4,AB=4盗...(1分)

VAADC^ABOA,CA=2逐；.AD=2,CD=4AC(-10,4)........(1分)

将B(0,4),C(—10,4)代入丁=一/+版+C

卜=4fc=4

[—100—1Ob+c=4♦\b=—10•y=~x~—10%+4(1.分)

厂r--V3-5—V3-5

③M(0,29+5/3),M(O,29-5J3)M(30)>M(3⑼......(4分)

14.解：(1)y=ax2-2ax+3,当％=0时,卜=3...3(0,3)...........(1分)...08=3,

又08=304...AO=1...A(-l,0)...........(2分)

l-k+b=O

设直线A8的解析式y="x+"1h=3,解得k=3,h=3

...直线AB的解析式为y=3x+3............(1分)

(2)vA(—1,°),.・.0=。+2。+3,.・.。=一1.・.y=—£+2x+3=一(工一1)’+支・・(2分)

・••抛物线顶点P的坐标为(1,4)................(1分)

(3)设平移后的直线解析式'=3*+机点P在此直线上，.♦.4=3+m，m=\

.•.平移后的直线解析式y=3x+i...............（1分）

设点M的坐标为（“3X+D,作ME,X轴-

若点M在X轴上方时，ME=3x+l,AE^x+\

/八…ME33x4-11晨,2）

tanZ.OAM=----=——'-X--

在RtZXAME中，由AE2X+1,3.......（1分）:.3……（1分）

若点M在戈轴下方时，ME=-3x-l,AE=\+]

_ME3—3x—1552、

tanZOAM=--------二X-——M（一入,一彳）

AE

在RtZ\AME中，由21+x，:.9•••93.......（1分）

（!’2）（一，,一|）

综上所述：M的坐标是3或93……（1分）

15.解：（1）作BQL（轴于Q.•.•四边形0A8C是等腰梯形，：.ZBAQ=ZCOA=60°

在RtZ\BQA中，8/5=4,BQ=AB•sinZBAO=4Xsin60°=2石…（1分）y，

AQ=AB•cosZB4O=4Xcos60°=2,.......（1分）.*.OQ=OA—AQ=7—2=5c

点B在第一象限内，.•.点B的坐标为（5,2g……（1分）//

（2）,:NCPA=NOCP+NCOPBPZCPD+ZDPA=ZCOP+ZOCP------ofg--

ftDZCPD=Z0AB=ZCOP=60°;.NOCP=NAPD........（1分）

OPPC

'：ZCOP=ZPAD.......（1分）.'.△OCPs/XAPD.......（1分）.•.而一瓦，

BD5巨二g巨

：.0P•AP=OC•AD........（1分）=8.,.BD=«AB=2,AD=AB—BD=4—2=2

3

'：AP=OA—OP=7—OP.,.OP（7—OP）=4X5…。分）解得0P=1或6

...点P坐标为（1,0）或（6,0）............（2分）

b=-

0=-4+4/?+c«2

16、解：⑴•.•点A（4，°）与夙-4T）在二次函数图像上，.』-4=~4-4"解得卜=2

11,

y=—x2H—x+2

二次函数解析式为,42.--------（2+1+1分）

（2）过B作BO'x轴于点。，由（1）得0（°，2）,---------（1分）

则在中，A。429

℃BD41

tan^.BAD=------=—=—

又在R/AABO中，AD82,----------“分）

ytanZCAO=tanABAD9-(1分)ZCAO=ZBAO（1分）

（3）由4（4，°）与夙一4,-4）,可得直线43的解析式为'=5'一2,一（;1分）

p\x,—x—2I，(—4YxY4)x,—x~H—x+2

设［2J，则I42

111.clc121c

PH=-x-2=2——x,QH=——x2H—X+22—x=2—x~H—x+2

242

2242（1分）

2_4x=_4x2+了+4丫__i„_40'一百

当22，解得玉一1,工2-4（舍去），二I2人------（1分）

2--X-—X1-x-4

当22（1分）

综上所述,存在满足条件的点，它们是卜'一I）--

17.解：⑴联结A。，矩形A8°CAB=2'。8=2有；.40=4---------。分）

矩形ABOC绕点°逆时针旋转后得到矩形EFODtA落在）'轴上的点E

.•.4O=EO=4"（0,4）__________（1分）

过D点作DH_LX轴于H,ZDHO=么B°，ND°H=ZAOB,...M）HOsMBO

PHHODO

ABOBAO-2,OB-273,DO-2,AO-4

DH=1,OH=6：.D（-V3,l）（1分）

同理求得,尸（痣，3）-------口分）

3—3ci+>/3b+4

（2）因为抛物线y=62+云+C经过点/、E、D[1=3。_折+4

a=--b^—c=4y~~—x2+—x+4

求得：3'3'一（3分）所求抛物线为：33-a分）

（3）因为在％轴上方的抛物线上有点Q,使得三角形Q°3的面积等于矩形的面积

—x2A/3x〃=2x2-73

设三角形的OB边上的高为h,则2，所以人=4--------（1分）

.”226.“„V3

.c（..4=—x4戈+4,x,—0.x,=—

因为点Q在x轴上方的抛物线上，••Q（x，4）33-2…-（1分）

所以Q的坐标是（°4）或（彳⑷-----------（2分）

18.（1）证明：•..△AOC绕AC的中点旋转180°,点。落到点B的位置,

：.AACO^/\CAB.....1'：.AO=CB,CO=AB,......1,

...四边形ABCO是平行四边形......1'

（2）解：：抛物线^二以？一2后经过点A,点A的坐标为（2,0）,......1'

...4〃—4拒=0,解得.a=V31，.・.y=A/3X2—2y[3x

V四边形ABCO是平行四边形,：.OA//CB.

•.•点C的坐标为（I,3退）.....r.•.点B的坐标为（3,3石）.....r

把％=3代入此函数解析式，得：y=V3x32-273x3=973-673=35/31

点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上....1，顶点D的坐标为（1,-百）....1，

（3）联接8。，过点B作BE，x轴于点E,过点。作DRLx轴于点F..

tanN8OE=百，tanNDAF=g,/.tanZBOE=tanZDAF.；.NBOE=NDAF....I'\rI

\A__yiB

'：ZAPD=ZOAB,：.AAPD^>AOAB....1'\\/[\

二四三二一\/\\

AP

设点P的坐标为(x,0),：.而OB,26,解得：3.........1，\/21

^AE

4_

.•.点P的坐标为(§,o).

D

(4)4(1,0),舄(一1,0),8(3,0).219.解：（1）在8c上，8C〃X轴，c（°'—2）第百

设D(X,_2)------(1分)

292

_y=——x-z=xx=3

在直线3±3——（2分）：.D（3,-2）一一（1分）

(2)：抛物线，=62+以+。经过点

A、D、0

2

16。+4b+c=0a=w

<c=0〃=*