统计学原理10教材

应用统计学

南京航空航天大学经济与管理学院

党耀国Iamdangyg@163.com第一节时间序列的基本问题一、时间序列的概念和作用

时间序列（时间数列）：是指某一统计指标数值按时间先后顺序排列而形成的序列。时间序列的作用：1、它为分析研究社会经济现象的发展速度、发展趋势及变化规律，提供基本统计数据。2、通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向、速度及结果。3、将不同的时间序列同时进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。4、建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来进行预测。二、时间序列的种类（一）绝对指标时间序列按时间顺序将一系列绝对指标排列起来所形成的序列称为绝对指标时间序列。

1、时期序列当绝对指标时间序列中每一指标数值反映的是某种现象在一段时期内发展过程的结果或总量时，这种序列称为时期序列。它是通过连续登记数据资料并累计得到的，如工业总产值、商品销售额的时间序列等。特点：

①时期序列的各指标具有可加性。

②时期序列中各指标数值大小与其所属时期长短有直接联系。即指标值所属时间越长，指标值越大。

③时期序列中的各指标，是连续登记取得的。2、时点序列

当绝对指标时间序列中每一指标数值反映的是某种现象在某一时点达到的水平时，这种序列称为时点序列。如人口数、土地面积、商品库存在某一时点的数值组成的序列等。特点：（1）时点序列的各个指标不具有可加性。由于时点序列中的各个指标值只表明现象在一定时点上的状态，相加后的数值并不能代表现象在几个时点上的状态，因此它的总和不可能具有任何实际意义。（2）时点序列中各指标数值大小与时间间隔长短没有直接联系。（3）时点序列中各指标是采用间隔登记方式取得的。时期指标和时点指标区别主要有三：一是时期指标数值连续统计，时点指标数值间断统计；二是时期指标数值可以累计，时点指标数值直接累计没有实际意义；三是时期指标数值大小和统计期限长短有关，时点指标数值大小与时间间隔长短没有直接关系。（二）相对指标时间序列按时间顺序，把不同时期的相对指标排列起来所形成的序列，叫做相对指标时间序列。它反映社会现象之间相互关系的发展过程。相对指标时间序列中各个指标数值不具有可加性。（三）平均指标时间序列按时间顺序，把各个时期的平均指标排列起来所形成的序列，叫做平均指标时间序列。它反映社会经济现象一般水平的发展过程和发展趋势。平均指标时间序列中各个指标数值不具有可加性。

三、时间序列的编制原则

保证时间序列中各个不同时间上的统计指标具有可比性，是编制时间序列的基本原则。可比性原则具体体现在以下几个方面：

1、时间序列中各指标所属时间长短应前后一致。对于时期序列，因指标数值的大小与时间长短有直接关系，因此要求时期序列中各指标所包含的时期前后一致，有利于对比。对于时点序列，由于各指标值反映的是现象在某一时点上所达到的水平，因此不涉及指标所属时间长短的问题。注：指标所属的时期长短与各指标之间的时间间隔的大小是两个不同的问题。对于时期序列，间隔尽量相等。

2、时间序列中各指标所反映现象的总体范围应一致。

总体范围是指现象的空间范围。3、时间序列中各指标的经济内容应一致。在统计年鉴中经济指标的含义和内容随着时间的变化，有时会发生变化的。因此在编制时间序列时，这时就需要调整，使前后指标所包含的内容应一致。4、时间序列中各指标的计算方法应相同。在指标的总体范围、经济内容相同的情况下，只有对指标的计算方法一致时，计算结果才有可比性。5、时间序列中各指标的计算价格和计量单位要一致。统计指标的计算价格和计量单位要统一，因为价格有现行价格与不变价格之分，只有前后价格一致时，计算结果才具有可比性。第二节时间序列的基本分析指标一、时间序列的水平分析指标（一）发展水平发展水平即时间序列中每一具体指标数值，是经济现象在各个时期内实际达到的水平。发展水平可以是绝对数、相对数或平均数。在进行动态分析时，所研究时期的发展水平称为报告期水平，用作对比基础的发展水平称为基期水平。（二）平均发展水平平均发展水平又称为序时平均数或动态平均数，是将时间序列中不同时期的发展水平加以平均，从动态上说明现象在某一时期内发展的一般水平。序时平均数与一般平均数的关系：

共同点:它们都是抽象化的数字，都表明现象的一般水平。

区别：（1）一般平均数是将同一时期内标志总量和总体对比的结果，而序时平均数则是将不同时期的指标数值的总和与时间项数对比的结果；（2）一般平均数是总体各单位之间标志值的平均，而序时平均数是时间序列中各时间单位间发展水平的平均；（3）一般平均数是从静态上说明现象的一般水平，是根据变量序列计算的，而序时平均数是从动态上说明现象的一般水平，是根据时间序列计算的。1、由绝对指标时间序列计算序时平均数绝对指标时间序列分为时期序列和时点序列，二者计算序时平均数的方法不同。（1）时期序列序时平均数的计算时期序列具有可加性，其序时平均数的计算采用简单算术平均法，即：（2）时点序列序时平均数的计算如果资料是逐日登记排列，形成的序列称为连续时点序列；如果资料不是逐日登记，而是间隔一段时间（如月、季、年等）登记一次，然后排列形成的序列称为间断时点序列。

①连续时点序列序时平均数的计算，根据掌握的资料不同，又可分为两种：第一种情况：当逐日登记且逐日登记排列的时点序列资料时（连续时点序列），可视为时期序列，其序时平均数的计算采用简单算术平均法。即：时点项数

第二种情况：当资料不是逐日登记，而只在数值发生变动时才登记的时点序列资料（连续时点序列）时，其序时平均数的计算以变量值的持续时间为权数进行加权平均，即：各时点的指标值各时点的指标值的持续天数

②间断时点序列序时平均数的计算当间断登记时点序列资料，且间隔相等，其序时平均数的计算用首末折半法。即：

当间断登记时点序列资料，且间隔不等，其序时平均数的计算是以间隔为权数，对各间隔的平均水平进行加权平均。２、由相对指标或平均指标时间序列序时平均数的计算在相对指标或静态平均指标计算序时平均数时，首先要搞清派生相对指标或（平均指标）的分子序列和分子序列的性质，视资料掌握情况，按“分子、分母分别计算序时平均数，再将这两个序时平均数对比”的原则，参照绝对指标序时平均数的算法进行。用公式表示为：分子时间序列序时平均数分母时间序列序时平均数例：某企业2001年各季度产值计划完成情况如下表，计算该企业2001年产值平均计划完成程度。第一季度第二季度第三季度第四季度计划产值120130160180实际产值126143192216产值计划完成105110120120解：（三）增长水平

增长水平是两个不同时期发展水平之差，又称为增长量。表明现象在一定时期内增长的绝对数量。增长量＝报告期水平－基期水平增长量由于基期水平选择不同，可分为累积增长量和逐期增长量。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差；累积增长量是报告期水平与某一固定期水平之差。逐期增长量的和等于相应的累积增长量，两个相邻期的累积增长量的差等于相应的逐期增长量。关系：（四）平均增长水平平均增长水平是时间序列中各逐期增长量的序时平均数，也称为平均增长量，表明现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量，也属于序时（动态）平均数范畴，可以用简单算术平均法计算。例：下表给出了我国“九五”时期计算机的资料，并计算了相应的逐期增长量和累积增长量，试计算我国“九五”时期计算机平均每年增长量。199519961997199819992000产量83.6138.8206.6291.4405672逐期增长量55.267.884.8113.6267累积增长量55.2123207.8321.4588.4解：计算机产量平均增长量

=(55.2+67.8+84.8+113.6+267）/5=117.7或计算机产量平均增长量＝588.4/5=117.7

二、时间序列的速度分析指标

(一）发展速度

发展速度是以相对数形式表现的动态分析指标，它是两个不同时期发展水平指标对比的结果。

发展速度表示报告期水平是基期水平的百分之几或若干倍。发展速度由于基期选择的不同有环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，说明现象逐期发展程度；定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，说明现象在较长一段时期内的发展程度。二者之间的关系：一定时期内，各环比发展速度的连乘积等于相应时期总的定基发展速度，即：两个相邻的定基发展速度的比等于相应的环比发展速度，即（二）增长速度增长速度是增长量与基期水平之比，说明报告期水平比基期水平增加或降低了百分之几。增长速度按基期水平选择的不同分为定基增长速度和环比增长速度。

注：一定时期内，环比增长速度的连乘积不等于定基增长速度。

发展速度大于1，则增长速度为正值，表明现象的增长程度，发展速度小于1，则增长速度为负值，表明现象的降低程度。要把发展速度和增长速度同隐藏在其后的绝对量———发展水平和增长量结合起来。进行动态分析时，既要看速度，又要看水平，有一个很有代表性的指标，即增长1%的绝对值。它是增长量除以用百分比表示的增长速度，也可以表示为：增长1%的绝对值=基期水平（或前一期水平）×1%（三）平均发展速度平均发展速度是各个时期环比发展速度的序时平均数，说明现象在一定时期内逐期平均发展速度变化的程度。平均增长速度说明现象在一定时期内逐期平均增长的程度。平均增长速度可依据增长速度与发展速度的关系通过平均发展速度求得。平均增长速度＝平均发展速度－1下面讨论平均发展速度的计算方法：1、几何平均法（水平法）第i期的环比发展速度定基发展速度199519961997199819992000产量83.6138.8206.6291.4405672逐期增长量55.267.884.8113.6267累积增长量55.2123207.8321.4588.4例：利用上例中的资料计算,我国“九五”时期计算机产量的平均发展速度.解：或2、方程式法（累计法）就是假定现象从最初水平a0出发，每期按平均速度发展，计算的各期水平之和等于实际各期水平之和，即：这是一个含有未知数的高次方程，解这个方程式求出的正根，就是所求的平均发展速度。

解这个方程的根一般比较麻烦。通常是查《平均增长速度查对表》来求平均发展速度。3、平均速度指标的分析与应用（1）在实际研究中选择哪种方法计算平均速度，应根据研究对象的性质和研究目的来决定。用几何平均法计算的平均速度侧重于考察现象在最末时期达到的发展水平。用方程式法计算的平均速度侧重于考察现象在整个时期内，各年发展水平的累计值。（2）平均发展速度指标是一个总量指标，一个抽象化数值，在用它分析现象的变化情况时，要注意与绝对水平相结合，并充分利用原始时间序列的信息。（3）当时间序列中的发展水平出现零或负数时，平均发展速度指标失去意义，这时可直接用绝对数分析。第三节时间序列变动趋势分析

一、时间序列的影响因素及分析模型

时间序列分析：研究随时间发生变化的指标的变化规律。例如是否存在周期、趋势，能否进行预测。时间序列可以是一维的，也可以是多维的，即一个指标或多个指标。

时间序列反映某一指标随时间的推移而出现的变动。影响变动的因素很多，最简单的模型是把时间序列的值看成4种基本因素的影响结果。

1）长期趋势（T，trend）：表达指标数据运动的方向（总趋势），即现象在较长的一段时期，在一些决定性因素作用下出现出的发展变化规律。如由于科学技术在农业中的应用，从一个较长时期看，粮食亩产量是持续增加的。

2）季节因子（S，seasonal）：在一个完整周期内发生的正常波动，也就是在一年内围绕长期趋势发生的随季节交替而发生的周期波动。这个周期可以是季，也可以是月、旬、周等，若是季，4个数据发生一次波动。如某旅游景点的旅游人数在每到周末游客就增加。

3）循环因子（C，cyclical）：长期的正常波动。即现象围绕长期趋势发生的一种周期较长（通常一年以上）的波动。由于引起循环波动的原因是复杂的，使得循环波动的规律性较低，一般是研究它的平均周期。如经济增长中的繁荣－衰退－萧条－复苏－繁荣的循环。

4）随机因子（R，random）（不规则变动）：许多其他因素共同作用对时间序列产生的影响。即由于临时的、偶然的因素对现象的影响，它出现出非趋势性、非周期性的随机变动。对时间序列的变动趋势进行分析，就是将上述影响时间序列变动的四种因素进行分解，从而测出各种不同因素对时间变动影响的大小及影响规律。时间序列的分析模型

1）加法模型（theadditivemodel）

以y为实际数据，并假定四种影响因素相互独立，则模型表现为各因素的总和，即

y=T+S+C+R (1)

对许多模型，一般没有足够的数据来识别循环周期，则（1）式常简化为

y=T+S+R (1’)

对于加法模型，有一个基本的假设R=0或误差序列的平均值

=0

当趋势变化在每年或每个周期基本相同时，加法模型比较适用。

2）乘法模型（multipicativemodel）假定四种影响因素相互独立，则模型表现为各因素的乘积，即

y=T×S×C×R (2)

其中y和T为实际变量，S、C和R为比值，且假定

=1，有时表达为：

y=T×S×C+R (3)

此时y和T为实际变量，S，C为比值，且假定=0。 同加法模型，（2）和（3）式可以简化为：

y=T×S×R (2’) y=T×S+R (3’)

在每年（周期）内关于趋势的变化有与趋势相同的比例或百分比时，乘法模型比较适用。二、长期趋势分析长期趋势分析就是要排除一些偶然因素的影响，研究现象发展变化的规律，并对其发展变化的总趋势做出判断，因此就必须对原有序列进行科学的处理，也就是对原有的时间序列进行修均。一般用最小二乘法讨论直线趋势，用滑动平均法讨论曲线趋势。1、直线趋势例1：观察某公司八年半的按季度的销售情况如下表：年、季度时间销售额年、季度时间销售额年、季度时间销售额1.111663.3112106.1213521.22523.4128606.2222801.331404.1133456.3232951.447334.2142036.4249302.152244.3152337.1253452.261144.4169227.2263202.371815.1173247.3273902.487535.2182247.4289783.192695.3192848.1294833.2102145.4208228.230320求出系数a和b，得

b=10.015a=243.639所以得趋势直线为：y=243.639+10.015i

由此可以计算出趋势在不同时点的值，如i＝1时趋势值为：

y=243.639+10.015×1＝253.654注：上式得到的趋势值并不是实际值。实际值的估计要涉及到用什么模型。具体趋势值为：

253.65,263.67,273.68,283.70,293.71,303.73,313.71,323.76,333.76,343.79,353.80,363.82,373.83,383.84,393.86,403.87,413.89,423.90,433.92,443.93,453.95,463.96,473.98,483.99,494.01,504.02,514.04,524.05,534.06,544.082、曲线趋势 对于不能用直线趋势描述的时间序列，能够直观地观察时间序列的运动方向和幅度，这是可以利用滑动平均法（movingaverage）。

原理：用相对较小的一段数据，找出平均值，以光滑原始序列的波动，然后滑动到另一段上，每小段的长短与我们观察的数据类型有关。如果是季节数据，则把4个数据作为一小段来平均；如果是月，则12个数据作为一小段来平均。当每小段数据维是偶数时，要作两次滑动平均。首先把d点的平均值对准d的中间（d+1)/2，然后再对相邻平均值作平均，这一次的平均值对准1+d/2.三、 季节因素分析时间序列的值与季节有关，因此分析时间序列季节因素的目的，就是寻求何时的实际数据与平均值（趋势）不同，找出变化幅度，以便计划生产，储存和制定政策。（一）简单平均法就是根据多年的月（季）资料，就算出该月（季）平均数，然后将各月（季）平均数与总月（季）平均数对比，从而得到季节比率，用它来说明季节变动情况。

由于季节因子是作为一年（季、月）中指标上下浮动的平均效果，因此它们的和应该为1200％或400％。如果它们的和不等于1200％或400％，就需要对季节因子进行修正。季节因子的修正因子方法为：用1200％除以月份季节因子之和或用400％除以季度季节因子之和得到的修正系数，然后乘以原季节因子得到修正后的季节因子。（二）趋势剔除法它适用于存在明显的长期趋势的时间序列。它的思路是：先测定时间序列的长期趋势，将趋势值从时间序列中剔除，然后再测定季节变动。1、加法模型中季节因子的确定 由简化的时间序列加法模型(1’): y=T+S+R

其中T可以由前面得出，设R=0，则

S=y-T

即可得出加法模型的季节因子。

由于季节因子是作为一年（季）中指标上下浮动的平均效果，因此它们的和应该为零。如果它们的和不等于零，就需要对季节因子进行修正。季节因子的修正因子为：

在每个季节因子上减去修正因子后就是修正后的季节因子。年、季度时间销售额趋势值季节因子年、季度时间销售额趋势值季节因子年、季度时间销售额趋势值季节因子1.11166253.65-87.653.311210353.80-143.86.121352453.95-101.951.2252263.67-211.73.412860363.82496.26.222280463.96-183.961.33140273.68-133.74.113345373.83-28.836.323295473.98-178.981.44733283.70449.34.214203383.84-180.86.424930483.99446.012.15224293.71-69.714.315233393.86-160.97.125345494.01-149.012.26114303.73-189.74.416922403.87518.17.226320504.02-184.022.37181313.71-132.75.117324413.89-89.897.327390514.04-124.042.48753323.76429.25.218224423.90-199.97.428978524.05453.953.19269333.76-64.775.319284433.92-149.98.129483534.06-51.063.210214343.79-129.85.420822443.93378.18.230320544.08-224.08例2：考虑例1中的时间序列的季节因子，由公式S=y-T可以得到每一个季节因子。加法模型下的季节因子年第一季度第二季度第三季度第四季度1－87.654-211.7-133.7449.32-69.71-189.7-132.7429.23-64.77-129.8-143.8496.24-28.83-180.8-160.9518.15-89.89-199.9-149.9378.16-101.95-183.96-178.98446.017-149.01-184.02-124.04453.958-51.06-224.08总计-642.875-1503.992-1024.0153170.882平均-80.359-187.999-146.288452.983由上表可知，按加法模型计算的各季度的季节因子为：

-80.359,-187.999,-146.288,455.983由于-80.359+-187.999+-146.288+455.983＝38.337所以修正因子为在每个季节因子上减去修正因子得：

-89.943,-197.583,-155.872,443.399这就是修正后的季节因子。2、乘法模型中季节因子的确定 由简化的时间序列乘法模型(2’): y=T×S×R

其中T可以由前面得出，设R=1，则

S=y/T

即可得出乘法模型的季节因子。 对原始时间序列，对每个季度利用此公式得到每个季度的季节因子，然后对同一季度的季节因子再作算术平均，得出4个季节因子。由于季节因子是由算术平均求得的，因此它们的百分比数的和应该为400(按季度)，如果它们的和不等于400，就需要对季节因子作修正，因而对于乘法模型的因子修正为：

在每个季节因子上乘以修正因子后就是修正后的季节因子。对于乘法模型也可以用几何平均来求季节因子，最后再进行修正。年第一季度第二季度第三季度第四季度10.6540.1970.5122.58420.7630.1750.5772.32630.8060.6220.5942.36440.9230.5290.5922.28250.7830.5280.6551.85260.7750.6030.6221.92270.6980.6350.7591.86680.9040.588总计6.3074.0794.30915.196平均0.7880.5100.6162.171乘法模型下的季节因子(y/T)例3：考虑例1中的时间序列的季节因子，由公式S=y/T可以得到每一个季节因子。由上表可知，按乘法模型计算的各季度的季节因子为：

78.8%,51.0%,61.6%,217.1%由于78.8+51.0+61.6+217.1=408.5它们的和不为400，因此要对它们进行修正。修正因子为：然后每个季节因子乘以修正因子后的季节因子为：

77.16%,49.94%,60.32%,212.58%3、时间序列的季节调整 根据长期数据计算出季节因子，然后从数据中剔除季节影响，以显示在没有季节变化条件下将来的趋势会如何变动。这称为时间序列的季节调整。 模型好坏取决于