高考高中数学必考：椭圆二级结论+证明过程全总结

高中数学必考：椭圆二级结论+证明过程全总结

椭圆二级结论大全

（证明附后）

l.|P^|+|PK|=2«

2.标准方程1+与=1

aD

|/阂

3L—l!=e<i

4

4.点P处的切线PT平分WF1F2在点P处的外角.

5.PT平分WF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上

的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个

端点.

6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以

焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8.设Ai、A2为椭圆的左、右顶点，则APF1F2在边PF2（或

PFi）上的旁切圆，必与AXA2所在的直线切于A2（或Ai）.

22

9.椭圆二+匚=1（a>b>0）的两个顶点为

ao

4（一区0）,4（4,0），与y轴平行的直线交椭圆于Pl、P2时

r2v2

AiPi与A2P2交点的轨迹方程是三一二=1.

CT从

22

10.若”（%,%）在楠圆工■+二=1上，则过兄的椭圆的

ab

切线方程是弋+与=1.

ab

22

11.若《（%,居）在椭圆j+J=l外,则过P。作椭圆

ab

的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦PF2的直线方程是

生+型=1

a2b12

22

12.AB是椭圆三+右=］的不平行于对称5由的弦，M为

b2

AB的中点，则后加•幺£=

a2

X22

13.若与(%,与)在椭圆二v十==1内，则被P。所平分

ab

的中点弦的方程是考+岑=王+冬.

cTb“cTb'

14.若乙(3,%)在椭圆=+[=1内，则过Po的弦中

ab

22

点的轨迹方程是鼻+5=笑+萼.

abab

22

15.若PQ是椭圆点+2=l(a>b>。)上对中心张直

角的弦，则」一

22

16.若椭圆三+A=1(a>b>0)上中心张直角的弦L

ab

所在直线方程为由+3=1(48W0)厕⑴

11q6r2，A42+/中

二+h*+夕;⑵L=、.

aoa2A2+b2B2

22222

17.给定椭圆G:bx^+ay=ab(a>b>0),C2:

2«2

从/+//=(鼻三46)2,则⑴对q上任意给定的点

产(后,%),它的任一直角弦必须经过G上一定点

M/储一".2

⑻对。2上『点/(％,%')在G上存在唯一的点使

得A/'的彳A直角弦都经过P'点.

22

18.设产(.%,%)为椭圆(或圆)C:J+二=1(a>0,.b

a0

>0)上一点P1P2为曲线C的动弦，且弦PP1,PP2斜率存在,

记为kl,k2,则直线PlP2通过定点“55,-冲°)("2,1)

■UJ-,\+mb"

的充耍条件是k\K=----------------------------------T.

\—ma

22

19.过椭圆三+二=1(a>0,b>0)上『点

ab

任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线

BC有定向且上BC=M(常数)•

a乂

22

20椭圆工+二=1(a>b>0)的左右焦点分别为Fi,F2,

a"b"

点P为椭圆上任意一点5PF]=/，则椭圆的焦点三角形

的面积为SA6M=从tan：,

P(±—Jc2-b2tan2—,±-tan—).

c'f2c2

21.若P为椭圆二+二=1(a>b>0)上异于长轴端点

ab

的任一点,Fi,F2是焦点，4FE=a,N"a=/?,则

a—caB

----=tan—tan—.

a+c22

22

22.椭圆J+J=l(a>b>0)的焦半径公式：

o

\MFV\=a+exQ,\MFz\=a-exQ(Fx[-c,0),8(c,0),

“(•Wo)).

23.若椭圆:+1=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

ab

Fi、F2,左准线为L,则当

忘时，可在椭圆上求一点P,使得Ph是P到

对应准线距离d与PF2的比例中项.

22

24.P为椭圆乂+匚=1(a>b>0)上点,F/2为二

aD

焦点，A为椭圆内一定点，则

2“一|盟凶|+1产片区2«+1AF21,当且仅当AF2,P

三点共线时，等号成立.

22

25.椭圆二+匚=1(a>b>0)上存在两点关于直线/:

ab

y=k(x-x0)对称的充要条件是与2<4一.

a+bk

26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径

的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,

则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

X=67COS69

28.P是椭圆一(a>b>0)上一点，则点P对

y=bsm(p

椭圆两焦点张直角的充要条件是/=一一.

1+sin"(p

x2v2

29.设A,B为椭圆)+—=以后>0#工1)上两点，其直

ah

X2y2

线AB与椭圆二+丁=1相交于RQ,则4P=6Q.

ab

22

30.在椭圆匚+匚=1中，定长为2m(o<mwa)的弦

中点轨迹方程为

m1=1-+p-)J(a2cos2a+b2sin2a),其中

bx

taila=—，当y=0时，«=90.

<^y

22

31.设S为椭圆J+J=l(a>b>0)的通径，定长线

a~b~

段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=/，儿((X。,％)是

AB中点，则当①S时，有

2j

(Xo)E=---丁=--%e=£);当/〈①S时，有

c2ea

&)侬=*{4/-/,(x)=O.

2bomjn

32.椭圆二+二=1与直线否+珍+C=0有公共点的

ab

充要条件是力

33.椭圆任二£■+9袭21=1与直线

ao

Ax+By+C=。有公共点的充要条件是

*2222

A^a+Bb>{Ax0+By0+C).

22

34.设椭圆J+二=l(a>b>0)的两个焦点为Fi、F3P

ab

(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在APFIF2中，记

“PF2=a,々/"；=力，4乙尸=7,则有

sinac

----------------=—=e.

sin0+sin/a

35.经过椭圆b2x2+«2/=a2b2(a>b>0)的长轴的两

端点Ai和A2的切线，与椭圆上彳壬一点的切线相交于Pi和

P2,则1441♦124\=b2.

22

36.已知椭圆二+右=1(2>6>0),0为坐标原点，「、

aD

Q为椭圆上两动点，且。尸100.(1)

/+总■$+!；(2)|。吁网的最小值为

22

4a2*ab

J+；(3)S&OPQ的最小fixeJ+/,2,

37.MN是经过椭圆b2x2+a2y2=a2b~(a>b>0)焦点

的缶争,若AB是经过椭圆中心O目平行于MN的弦，

贝iJ|4B|2=2a|jVW|.

38.MN是经过椭圆b2x2+a2y2="/(a>b>0)焦点

的『弦，若过椭圆中心O的半弦。尸YMN,则

2111

a\MN\|OP|2一/声

22

39.设椭圆三+与=1(a>b>0),M(m,o)或(o,m)为

其对称^上除中心，顶点外的彳A点，过M引一条直线与

椭圆相交于P、Q两点，则直线AiP、A2Q(AI,A2为对称轴

2,2

上的两顶点)的交点N在直线/:x=£(或)，=2)上.

mm

40.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为

椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF_LNF.

41.过楠圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、

A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M,A2P和

AiQ交于点N,则MF_LNF.

42.设椭圆方程二十二=1,则斜率为k(k/0)的平行弦的

ab

中点必在直线/:y=区的共辗直线y=k’*上,而且

kk=——-.

a

2

x

43.设A、B、C、D为椭圆二4=1上四点,AB、CD

ab

所在直线的倾斜角分别为勿6，直线AB与CD相交于R

EI庐4上|必|6,cos'尸+笛sin20

且P不在椭圆上，则工」=不一J——.

\PC\•\PJC\62cos2a+a?sin2a

22

44.已知椭圆、+J=1(a>b>0),点P为其上一点

ci-b2

Fi,F2为椭圆的焦点，"职的外(内)角平分线为/,

作Fi、F2分别垂直，于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S

形成的轨迹方程是

a2y2+b°x(x±c)]

x2+y2=a

a2y2+b~(x±c)~

45.设△ABC内接于椭圆「，且AB为「的直径，/为AB

的共辗直径所在的直线，/分别交直线AC、BC于E和F,

又D为/上一点，则CD与椭圆r相切的充要条件是D为

EF的中点.

22

46.过楠圆二+与=1(a>b>0)的右焦点F作直线交

该椭圆右支于M,N两点£玄MN的垂直平分线交x轴于P,

则也二

\MN\2

22

47.设A(Xi,yi)是椭圆、+二=1(a>b>0)上任一

才b“

点，过A作一条斜率为-空的直线L,又设d是原点到

&乂

直线L的距离，;百分别是A到椭圆两焦点的距离，则

=ab.

2222

48.已知椭圆J+A=l(a>b>0)和'+二■=%

ab"ab

(0<2<l)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四

点，则|AB|=|CD|.

22

49.已知椭圆J+二=1(a>b>0)AB、是椭圆上

ab»

的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点尸(x0,0),

成一a2-b2

则--------<x<----------.

a0a

r2V2

50.设P点是椭圆-r+、=l(a>b>0)上异于长轴

ab"

端点的任一点,Fi、F2为其焦点记功时=。，则

2b2,6

(1)|^||^|=---.(2)^2=^tan-.

1+cos9122

51.设过椭圆的长轴上一点B(m,。)作直线与椭圆相交于

P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别

交相应于过H点的直线MN:x=〃于M,N两点，则

2

a-man—my

ZMBN=90'=

a+mb2(n+a)2

22

52.L是经过椭圆二+J=1(a>b>0)长轴顶点A且

a2b“

与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率，点

PeL,若&PF=a,则a是锐角且sinaWe或

a<arcsine(当且仅当PH|=b时取等号).

22

53.L是椭圆：+J=1(a>b>0)的准线，A、B是

a2b1

椭圆的长轴两顶点，点尸,e是离心率，ZEPF-a,

H是L与X轴的交点c是半焦距，则a是锐角且sina<e

或aWarcsine(当且仅当|户，|=包时取等号).

C

22

54.L是椭圆二+二=1(a>b>0)的准线，E、F是

两个焦点，H是L与x轴的交点，点尸,/EPF=a,

离心率为e,半焦距为c,则a为锐角且sina<e:或

a<47。sine2(当且仅当|PH|=勺及不7时取等号).

C

55.已知椭圆=+4=1(a>b>0),直线L通过其右

ab

焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦

点Fi连结起来，则从0年41•[F]B区(2才;从广(当且

a

仅当AB，x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、Fi、B

三点共线时左边不等式取等号).

22

56.设A、B是椭圆:•+匚=1(a>b>0)的长轴两端

a"b

点，P是椭圆上的一点,ZTAB-a,

APBA=p,ABPA=/,c.e分别是椭圆的半焦距离心率,

则有⑴|PA|=2H[cosa]⑵匕口^tan=1-e2.(3)

cT一ccosa

22

Q_2abf

^PAB~j22C°t/.

b-a

22

57.设A、B是椭圆二+鼻=1(a>b>0)长轴上分别

ao

位于椭圆内(异于原点\外部的两点，且修、4的横坐

标必%=42,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、

Q两点，则"BA=ZQBA;(2)若过B引直线与这椭圆

相交于P、Q两点，则//NB+NQ1B=18O’.

22

58.设A、B是椭圆乂+三=1(a>b>0)长轴上分别

ab

位于椭圆内(异于原点),外部的两点，(1)若过A点引直

线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则

P、Q不关于x轴对称)，且=，则点A、B

的横坐标以、/满足/•4=/；(2)若过B点引直线

与这椭圆相交于P、Q两点，且^PAB+NQAB=180,

则点A、B的横坐标满足xA•小=a.

59.设是椭圆1+二=1的长轴的两个端点是

cTb

与44'垂直的弦，则直线力。与的交点P的轨迹是双

曲喏4"

60.过椭圆E+《=l(a>b>0)的左焦点尸作互相

b”

垂直的两条弦AB、CD则

学+区2⑷+力.

a"+b~a

x22

61.到椭圆—+v^r=l(a>b>0)两焦点的距离之比等

才b2

于一(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆

b

(x±a)2+y2=b1.

22

62.到椭圆二+二=1(a>b>0)的长轴两端点的距离

a~b1

之比等于一(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆

b

(X±与+/=(与.

ee

22

63.到椭圆二+二=1(a>b>0)的两准线和x轴的

或O

交点的距离之比为二（C为半焦距）的动点的轨迹是姊

b

妹圆（％±£）2+/=（3）2（0为离心率）.

22

64.已知P是桶圆二+二=1（a>b>0）上f动点，

CTD

是它长轴的两个端点，且/Q_L",40J_4P，则

X262V2

Q点的轨迹方程是:•+=1.

aa

65.椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且

与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

22

66.设椭圆三+右=1（a>b>0）长轴的端点为

ab

b2

A,A.P（大，乂）是椭圆上的点过P作斜率为-9x的直线

a乂

I,过4/’分别作垂直于长轴的直线交，于八/厕（1）

14U||/A,|=/.（2）四边形'阳’”面积的最小值是

2ab.

67.已知椭圆二+三=1（a>b>0）的右准线/与x轴

a2b2

相交于点E,过椭圆右焦点产的直线与椭圆相交于A、B

两点，点C在右准线/上，且BC//x轴，则直线AC经过线

段EF的中点.

68.OA.OB是椭圆任卫•+[=1（a>0,b>0）的

ab

两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经

0人2

过一T定点（f2TT，。）。）以OA、OB为直径的两圆的

a+b

另一个交点Q的轨迹方程是（“瑞=2(/0).

69.P（〃z,g是椭圆（a>b>0）上一个

ab

定点，PA、PB是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过

一个定点（2加+呼―N））（2）以PA、P

a+ba+b

B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

1224z22

ab+am2b,n2ci[b+n（a—b）]

（%——^^）+3--^-TT）=/，3、，--

a1+ba+b2（a+b2）2

（xW"/且yw〃）.

70.如果一个椭圆短半轴长为b,焦点Fi、F2到直线乙的

距离分别为山、d2,那么（1）44=/，且臼、F2在上同

侧。酸L和椭圆相切.（2）4%>从，目Fi、F2在L

同侧o直线上和椭圆相离，（3）<〃，或Fi、F2

在L异侧=直线L和椭圆相交.

71.AB是椭圆:+二=1（a>b>0）的长轴，N是椭

ab

圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、。两

点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是

。冬=幻".

22

72.设点P（x。,%）为椭圆、+与=1（a>b>0）的内

ab

部一定点，AB是椭圆=+>=1过定点产（%,比）的

ab

弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时

（1^1-1尸为）max="I"yC•当弦AB垂直

b

于长轴所在直线时，

（E•I%l）mta=一心”+E.

a

73.椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴

为直径的圆相内切.

74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长

轴端点.

75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值

a+c与a-c.

76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值

a-c.

77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端

点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三角形中，

非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

78.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定

比e.

79.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比

例中项.

80.椭圆焦三角形中，椭圆中心到内点的距离、内点到同侧

焦点的距离、半焦是吸外点到同侧焦点的距离成比例.

81.椭圆焦三角形中，半焦距、外点与椭圆中心连线段、内

点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82.椭圆焦三角形中，过『焦点向非焦顶点的外角平分线

引垂线，则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平

行.

83.椭圆焦三角形中，过焦点向非焦顶点的外角平分线

引垂线，则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

84.椭圆焦三角形中，过彳A焦点向非焦顶点的外角平分线

引垂线，垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为

直径的圆的切点.

85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长

轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86.椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平

分线.

87.椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平

分线.

88.椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点

处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89.已知椭圆二+《=l(a>02>0)(包括圆在内)上有

ab

一点P，过点P分别作直线歹=及夕=-的平行线，

aa

与x轴于，与y轴交于凡。.。为原点，则：(1)

\OM\2+\ON^=2a2;(2)\OQ\2+\OR^=2b2.

90.过平面上的尸点作直线4:y=2x及4：y=的

aa

平行线,分别交x轴于河,N,交y轴于分Q.(1)若

|QWT+|OV|2=2a2,则尸的轨迹方建

22

工+匚=1(4>0,6>0).(2)若［0。|2+|0勾2=2/,则

a"b"

22

尸的轨迹方程是J+匚=1(。>0,6>0).

a"b

21产

91.点P为椭圆=x+J=1(«>0*>0)(包括圆在内)在

ab

第一象限的弧上任意一点，过P弓lx轴、》轴的平行线,

交歹轴、x轴于，交直线y=于，记

a

△awe与△。八火的面积为E，邑，则：^+^=—.

22

92.点P为第一象限内一点，过产弓|x轴、y轴的平行线,

交歹轴、x轴于此N，交直线y=-2丫于。,R，记

a

A0WO与AON及的面积为岳5,已知Si+Sz=^，则

22

P的轨迹方程是■+与=1(〃>0,6>0).

椭圆二级结论证明

1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第

二定义。

4.如图，设尸（x0,乂），切线PT（即/）的斜率为k,PF1

b、o1%

tan,=|左一&|=/J?/-c=

|1+减2I]b"o%/-"义工00_%

a'oXo-c

,.♦a,£G(0,g]，a=/?同理可证其它情况。故切线

PT平分点P处的外角。

5.如图，延长FF至A,使PA=PF2,则火倏是等腰三

角形，AF2中点即为射影H2。则。日？=*=。，同理可

得。氏=a，所以射影Hi,H2的轨迹是以长轴为直径的圆

除去两端点。

6.设P,Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为4,4,

以PQ中点到准线的距离为d,以PQ为直径的圆的半径

为r,贝1Jd=1土虫=丝土丝=2＞尸，故以PQ为直

22ee

径的圆与对应准线相离。

7图

8图

7.如图，两圆圆心距为

共如=四="西”四

=a-r,故两

222

圆内切。

8.如图，由切线长定理：

/S|+/T卜附|+随|+/勾=2a+2c,

I明=|中|"+c

而阳4=4+°=旧闻"与应重合，故旁切圆与X轴切

于右顶点，同理可证P在其他位置情况。

9.

易会喝(一以,0)4(a,o),期(%,%),1(%,-%)，则+

4”=」_(x+a)，4g:y=-^-(x-a)

a+%a-%

2%[.222222

y

则号=幺nPxPyp=aa0=a,

一—2ri~r-

Xx

工0<X0Q)ab0bxQ

2222

io.•.•兄(叫,％)在椭圆・+2=1上.•.§+萼=1,对

abab

W+4=l求导得：至+等=0二，=一空

crbab~ayQ

2

bx

「•切线方程为卜-加=--^"-x0)即

a%

XoXJoJ，」；）/：

J--1"―..I

a2ib2a2bi2

11.设召（天,弘）,鸟（项,％），由10得:

警+警=1,警+辛=1,因为点匕上在直线

abab

々g上，且同时满足方程浮+岑=1,所以

ab

2V=i

ab2~

12.设4（不必）,3（芍,％），+"（%，％）

则有4+§=L至+叁=1作差得：

ab“ab

2222

X,一二y,-y2八

ab

（」一切（占+=2）上（必一%）（乂+%）_八

=■?+@=°

=上——/」+%2）一吸一一

（22

外一芍。2乂+%）ay0akc

13.由12可得:

少产荒（I。）

22

n^y0y-4%；+bx0x-〃片=0

2

=b\x+ay0y=/片+小：=与+鬟=之+普

abab

14..S12可得:

22222

-——­—==>cfy-ayoy+bx-bxQx=0

x-x0xa^

22

,2222,22xyxxyy

n/rx“+a'y2=^xx+Ov=>—+^-=-n2-+^a-

0J。0/2r

Jabi2a2bi2

15.设尸（4cos/,/>sin，）,0（acos/,Z>sin，）,则

,,bsmtbsint,，cC

k-k；—------------r=—1「.tant-tant——-

op&二47COSZ47COS/b

1i1+々2/(cos?t+cos2/)+bz(sin21+sin

2r：(^a2cos2t+b2sin2^)(«2cos21+b2,si

2

2(11)a(tan，’tan1、

—+—+6—+

VCOStCOSt)ICOStCOSt)a(2+tan

(a1+bztan2+b2tan，')

(a2+^2)(tan2Z+tair/)+2u2

2a4+a2b2(tan。t+tan2/)

16.将直线AB代入椭圆方程中得：

(A2a2+B2b2)x2-2Aa2x+"(1_B2b2)=0

A=4a2B2b~^A2a2+B2b2-1),

,、,、1Aa

设”(须，必)I(电，必)则M+电=RTTT7市，

Aa+Do

a2—Bzbz\b2(1-A2a2}

=­；­；---；—r,儿\=—；­；----r~r'•*OA_LOB

-A2a2+B2b22A2a2+B2b2

2222,

XjX2+y^y2=0=>a+b~=ab{A+3，)n+8'=

A2a2+1

+B,b，+a'b'(彳+笈)-(/+/)2,A2a4

A2a2+B2b2A2a2+.

17.(1)设椭圆内直角弦AB的方程为：y-利=川工-〃)即

y=kx+m-kua

当斜率k存在时，代入椭圆G方程中得：

2

(a啧2+6?卜2+2(fk(m-hi]x+cr-b=0

设4（4乂）1（N,%）得工1+々=-f:乙?，

am—hty—b2

xx=一

r2a2k2+b2

则产,4•户8=(线r;「】）（%-工）+（%-%）（稣-%）

z

=（42+1）玉工2-[kn+kyQ+/_”虎）（王+毛）+x；+[盟

na2（左*+1）[（小一上力）2—52]+（左2々+机+%-mk^2azk

na1（无2-<72（左z+]）g2+^a2k1+占2）X；+（，

zlzz222

—2yQ^m—kn^[ak+b^—2ak{in-kii.）+2akxQ（m—

=a2{^m—kny—a1[k1+l）b?-V^k1+Z）2jx04-b

=（a2左2+9）（片+），；）+（</+Z），（"2—左"J（后2+]

=a2kz（x；+.；）+b2（x；+斓+（，+/）m2+（a2+/）

2z22z

+2rnakx0—2mbyQ—2knax0+2hzbyQ=0

2

，x：+（/+/）/_/x；_2naxQ=0b2-a2

噜筹炉及

2222

=>max0+nby0-mn^a+bj=>5

a2-b2

+b2^m2-a2yl-2mty1yo=0n=V^X°

（a2-b2b2-a2

---------X----------

即直线AB过定点[a2+b20，a2+b2为，此点在C2上。

7

当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。

（II）由上可知G和C2上点由此建立起一种——对应的关

系,即证。

f

18.必要性：设P1P2:y+niy0=k（x-nixQ）ok存在时，

代入椭圆方程中得：

[cTk~-2（Tkni^yQ+kxQ^x+cTnr（%+/）~一小

设不（4y1），巴（/，必）得片+力=2々？（"产。）

aK+0

a%，（%+辰0）2—a2b~

*

.k_(%一切乂％一%)_后勺工2—乂即0+mkXs+乂)(

12

(x0-x1)(x0-x2)xxx2-xQ^

22w+1

b(m+\^2kmxQyQ+^xJ(w-l)+^()]_"(a

21

a{rn-\^2kmxQyQ+后父(雁一1)+刀：(加+l)]a{rn

k不存在时,P1P2:x=mxo则y=±人Ja)_7〃%；,

必要性得证。

充分性：设P1P2过定点(q,p)，则P1P2:y=kx+p-kqa

代入椭圆方程得：

[cfk1+Z>2j,x2+2a2k[p-kq^x-^-az(^p-kq)"-a2b2=0

2c『k(p—kq)

设为（小到），2（%%）得演+电=

--a2k2+b2'

az（p—kqX—a2b2

寸c『…

则

,,_（乂一）'0）（以一%）_a不工2+左（。一回一九）（占+,

21.—一

演一飞）（马一演）XjX2一》0（玉+x；

a'k11p-kq——ci'bLkL-la'k11p-kq）（p—kq-y。）+

2222

a（'一句）2—ab+2akx0（p—kq）+x；

/[（夕-⑹2-2%（p-切）+（y：-二％]/"+]bi

2W-1

a\{p-kq^+2kx0（p-kq）+^kx^-yj）1

=（0一为y-2乂（口一句）+（就一左2/）_功+1

（。一%）2+2包（0-初）+（左七一%m-1

11

=k+q—mqx0—qxQ1+^（mpx0+px0—mqy0+qy\

（夕一飞）（9—力

mx：+q—mqx0—qxQ=0

・（）

mp%+px0-mqy0+qy。-2pq=0=>P%"2+l+q

2

mpy0-py0+p-my^=0、（0-乂）（吟

注MSI解（1）（3）得夕=-niy>0,q=zn%,代入（2）

式，成立。

验证k不存在的情况，也得到此结论。故/过定点

（,-W7>0乂772W1）,充分性得证。

19.设AB:丁一%=无（方一七）即^=左x+盟一去%

j广京+%一也

22

<vy=>左2+62）*2+2々2左（y0）x+a

2222

2a%(丘。一J。)_akx0-2aky0-bj(

=

~1X"：■

*222D222

°Bak+bBak+b

同拽(>>a:x0+2a为，'o-bx°b%——k乂+2bkx^,

222

[〃，ak+b/

20.由余弦定理：

陷「十|质「-2附;||%|COS/=(2C)2=(阿|+|母;|)

2b

2

=>4a2=4C+2归制归可(cosy+1)=>\PF^PF2\=--

SA^PF2=5俨用|/恒”=

2cos2%

21.由34:

a-c_l~g_sin/3+sintz-sin/_sin/?+sina-sin(a

a+c\+esin力+sina+sinysin/?+sina+sin(cz

_sin尸+sintz-sinacos(3-sin/3cosa_sin/3(1—cosc

sin乃+sina+sinacos°+sin0cosasin/?(1+cosc

2sin—cos—­2sin2—+2sin—cos—•2sin2—sin-

222222二___;

2sin—cos—

22

.a.B

sin—sin—a

22—tan—tan£

Pa22

cos—cos—

22

22.由第二定义得:

a2}a八2、

=a+exQ^fF21=e------x0=a—exQ

c)

23.

PFpF

=e=PF2=e-PR=a-ex0=e(a+ex0)=:

e2

•/x0e(0,47]/.-,—-<1=>e+2e-\>0=>e>V2-l^e

e+e

24.在中，有尸£-AFZ<PA<PFZ^AFZ

:.PFl+PA<PFx+PFz+AF1=2a+AFz,PFx+PA>PFx

都当且仅当4P、用三点共线时取等号。

25设椭圆上的点/&,乂),3(%%)关于/：)，="+加

对称，A/(x0,jv0')o

由12得：

h2,

_°xoL也=叭旦辿

;

AB一~~22

aX)kbx0bxQ°

又在椭圆内，

+/=("?)Ju病<一^

c4c4k2a2+b2k2

")2

4

若m=一区口,贝！Jx；<一

a+b2kza2+b2k2

26.由5即可得证。

27.设P(“cos*,6sinR)，则切线/:+=1,

ab

:.FPFA=(acos(p-c,bsin(p)--,-■1-^C°S-

Icsin°Ic

28.

设/^acoso,bsin。),由射影定理有:bzsin2<p=(c-aco,.

=>c?=a?cos，夕+(&2-casin'1Q=e?=cos2^?+(l-e2

=(l+sin，“)e。=sin2(D