高中数学必修五不等式学案

§3.1不等关系与不等式（1）

2学习目标

1.了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；

2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.

学习过程

一、课前准备

复习1：写出一个以前所学的不等关系

复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元

二、新课导学

X学习探究

探究1：

文字语言数学符号文字语言数学符号

大于至多

小于至少

大于等于不少于

小于等于不多于

探究2：限速40WA的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40Wh,

写成不等式就是_______________

某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%,蛋白质的含量q应不少

于2.3%,写成不等式组就是

派典型例题

例1设点A与平面的距离为d,B为平面a上的任意一点，则其中不等关系有

例2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1

元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示

销售的总收入仍不低于20万元呢？

例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600如“两种.按照生产的要求，

600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？

X动手试试

练1.用不等式表示下面的不等关系：

(1)a与b的和是非负数

(2)某公路立交桥对通过车辆的高度〃“限高4〃?”

(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库,

四周是绿地，仓库的长L大于宽卬的4倍

练2.有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数大2.试用不等式表示上述关

系，并求出这个两位数（用。和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.

三、总结提升

派学习小结

1.会用不等式（组）表示实际问题的不等关系;

2.会用不等式（组）研究含有不等关系的问题.

知识拓展

“等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”，相比较其

它二些科学王国来说，“证明精神”可以说是“数学王国”的“血液和灵魂”.

心学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.下列不等式中不成立的是（）.

A.-1<2B.一1<2

C.-1<-1D.1.

2.用不等式表示,某厂最低月生活费a不低于300元（）.

A.a<300B.a>300

C.a>300D.a<300

3.已知a+〃>0,b<0,那么〃也-。,-匕的大小关系是（）.

A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>b

C.a>-h>h>-aD.a>b>-a>-h

4.用不等式表示：a与b的积是非正数

5.用不等式表示:某学校规定学生离校时间f在16点到18点之间

心课后作业

1.某夏令营有48人，出发前要从A、8两种型号的帐篷中选择•种.A型号的帐篷比B型

号的少5顶.若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够：每顶帐篷住5人，则有一

顶帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则

有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.

2.某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000

张，如何定价可使销售总收入不低于224万元？

§3.1不等关系与不等式(2)

1.掌握不等式的基本性质；

2.会用不等式的性质证明简单的不等式;

3.会将一些基本性质结合起来应用.

4学习过程

一、课前准备

1.设点A与平面a之间的距离为d,B为平面a上任意一点，则点A与平面a的距离小于

或等于A、B两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.

2.在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质.请同学们回忆初中不等式的的基本性

质.

(1)a>b力〉c=ac

(2)a>b=>a+cb+c

(3)a>b,c>O=>acbe

(4)a>b,cacbe

二、新课导学

派学习探究

问题1：如何比较两个实数的大小.

问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下

列性质：

⑴。>b,c>d=a+c>b+d;

(2)。>h>O,c>dac>bd;

(3)a>b>0,neN,n>i^>an>〃';标>标.

X典型例题

例1比较大小：

(1)(V3+V2)2___6+2而；

(2)(V3-V2)2(^6-1)2;

Vs—2V6—A/5

(4)当。〉匕>0时，log!alog)/?.

22

变式：比较(a+3)(〃-5)与(〃+2)(。-4)的大小.

例2已知a>b>0,c<0,求证—>—.

ab

变式：已知。>b>0,c>J>0,求证:

例3已知12<a<60,15<5<36,求a-b及巴的取值范围.

b

变式：已知-44”,求9〃-〃的取值范围.

派动手试试

练1.用不等号3”或“V”填空：

(1)a>b、c<d=a—cb-d；

(2)a>b>0,c<d<0=>acbd；

(3)a>/?>0=>y[a\[b；

(4)a>b>0=>-^r__—r.

CT—b2

练2.已知心>0,求证Jl+x<1+:.

2

三、总结提升

X学习小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比

较两个实数(代数式)的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是〃个因式之积或完全平方式或常数的形式；

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；

第三步：得出结论.

X知识拓展

“作差法”、“作商法”比较两个实数的大小

(1)作差法的一般步骤：

作差——变形——判定论

(2)作商法的一般步骤:

作商——变形——与1比较大小——定论

心学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.^r/(.v)=3x2-x+l,g(x)=2x2+x-l,则/(x)与g(x)的大小关系为().

A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)<g(x)D.随x值变化而变化

2.已知x<a<0,则一定成立的不等式是().

A.x2<a2<0B.x2>ax>a2

C.x2<ax<0D.x2>a~2>ax

3.已知一手a"琛,则里二2的范围是().

2

A.(-1,0)B.

C.(-pO]D.[-y,0)

4.如果a>6,有下列不等式：①/>〃，®-<-,③3">3〃，④lga>lg6,其中成立的

ab

是.

5.设a<0,-1<^<0,则a,ab,a/三者的大小关系为

♦课后作业

L比较后+/与%朋大小•

2.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元;

方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元.列出不等式表示“经n年

之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.

§3.2一元二次不等式及其解法（1）

•Q学习目标

1.正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；

2.理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及

一元二次方程解一元二次不等式.

4学习过程

一、课前准备

（预习教材尸76~078,找出疑惑之处）

复习1：解下列不等式：

（1）—X>—1;（2）---X>1;（3）--X+1>0.

222

复习2：写出一个以前所学的一元二次不等式,一元二次函数

________________,一元二次方程____________________

二、新课导学

派学习探究

探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1

小时收费）;公司B的收费原则为:在第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时

内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若一次上网时间超过17小时按17小时计算）.如何选

择？

归纳：这是一个关于X的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.

新知：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为

探究二：如何解•元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？

归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再1艮据图象写出其解集.

A>0A=0A<0

二次函数

y=ax2+bx+c

(«>0)的图象I上

一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

(a>0)的解集

ax1++c<0

3>0)的解集

派典型例题

例1求不等式-V+2x-3>0的解集.

变式：求下列不等式的解集.

(1)/+2x-3>0；(2)-X2+2X-3<Q.

例2求不等式4W-4x+l>0的解集.

小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断△的符号.（3）求

方程的根.（4）根据图象写解集.

X动手试试

练1.求不等式4/_以>15的解集.

练2.求不等式13-4/>0的解集.

三、总结提升

X学习小结

解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（。>0）.（2）判断A的符号.（3）

求方程的根.（4）根据图象写解集.

派知识拓展

（1）ax2+hx+c>0^S一切xeR都成立的条件为1°

[△<0

（2）ax,+bx+ccO对一切xeR都成立的条件为[“<°

[△<0

心学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知方程ax?+法+。=0的两根为须,々，且为<々，若。<0,则不等式ax'+bx+c<0的

解为（）.

A.RB.x,<x<x2

C.戈<丹或尤D.无解

2.关于x的不等式/+r+。>o的解集是全体实数的条件是（）.

A.c<—B.一C.c>—D.cN—

4444

3.在下列不等式中，解集是0的是（）.

A.2X2-3X+2>0B.X2+4X+4<0

C.4—4x—x,*<0D.—2+3x—2x->0

4.不等式工2一3工<0的解集是.

5.y=J_2Y+12X-18的定义域为.

:0课后作业

①求下列不等式的解集

(1)X2-3X-10>0：(2)x2-4x+5<0.

2.若关于x的一元二次方程/-(〃?+有两个不相等的实数根，求机的取值范围.

§3.2一元二次不等式及其解法（2）

1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;

2.进一步熟练解一元二次不等式的解法.

一、课前准备

复习1：一元二次不等式的解法步骤是1.2.

3.4.

复习2：解不等式.

(1)3/-7X410；(2)-2X2+X-5<0.

二、新课导学

派典型例题

例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系:

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多

少？（精确到0.01km/h）

例2一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x

（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：

y=-2x2+220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约

应该生产多少辆摩托车？

例3产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,xe（0,240）.

若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时的最低产量.

X动手试试

练1.在一次体育课匕某同学以初速度%=12〃?/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出

点2m以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出

点的高度A与时间x满足关系gf2，其中g=9.Sm/s2）

练2.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若

售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，

应怎样制定这批台灯的销售价格？

三、总结提升

X学习小结

进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次

函数的关系.

X知识拓展

(1)连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y是否大于零等价于为尸(x,y)是否在

x轴的上方.

(2)三个“二次”关系的实质是数形结合思想：加+取+。=0的解=丫=&+法+。图象

上的点。,0)；

ax2+bx+c>0的解oy=/+法+c图象上的点(x,y)在x轴的上方的x的取值范围.

心学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.函数y=的定义域是().

Yx?+x—12

A.{xlxv-4或工>3}B.{xl-4<x<3}

C.{xlx<-4«£x>3)D.{xl-4<x<3}

2.不等式g产3-94-317的解集是().

A.[2,4]B.(-oo,2]U[4,+oo)

C.RD.(-oo,-21U[4,+oo)

3.集合4={xlx2-5x+440},

B={xlx2-5x+620},则4n8=().

A.{W14xW2或34x44}

B.{xll4x42Ji34x44)

C.{1,2,3,4)

D.{xl-44x4-l或24x43}

4.不等式*-5)。-2)<0的解集为.

5.已知两个圆的半径分别为1和5,圆心距满足/-10<7+24<0,则两圆的位置关系

为.

心课后作业

1.求下列不等式的解集：

(1)-X2-3X+10>0;(2)x(9-x)>0.

2.据气象部门预报,在距离某码头。南偏东45。方向600km处的热带风暴中心A在以20km/h

的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受影响.从现在起多长时间后，

该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？

§3.2一元二次不等式及其解法(3)

1.掌握一元二次不等式的解法；

2.能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题.

学习过程

一、课前准备

复习1：实数比较大小的方法

复习2：不等式d+以+00("0)的解集.

二、新课导学

派学习探究

探究任务：含参数的一元二次不等式的解法

问题：解关于x的不等式：

x2—(2机+\)x+m2+m<0

分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响.

先将不等式化为方程X，~(2m+l)x+m2+in=0

此方程是否有解，若有，分别为，其大小关系为

试试：能否根据图象写出其解集为

派典型例题

例1设关于x的不等式ax2+bx+l>0的解集为{xl-1<%<-},求a6.

小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即。的符号），又

可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过

代入法求解不等式.

变式：已知二次不等式ox，+bx+c<0的解集为■或x>L},求关于x的不等式

32

ex2-bx+a>0的解集.

例2A={xl?-4x+3<0},B=Ulx2-2A-+d-8<0},且A项8,求a的取值范围.

小结:

（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.

（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.

例3若关于加的不等式机犬-（2加+1）工+机-120的解集为空集，求加的取值范围.

变式1:解集为非空.

变式2：解集为一切实数.

小结：机的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，的取

值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系.因此求解中，必须对实数m

的取值分类讨论.

派动手试试

练1.设/-2x+a-840对于一切xe(l,3)都成立，求4的范围.

练2.若方程x?-2x+a-8=0有两个实根玉,起，且为23,x2<1,求a的范围.

三、总结提升

派学习小结

对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨

论的原则性一般分为四类：

X按二次项系数是否为零进行分类：

X若二次项系数不为零，再按其符号分类；

派按判别式△的符号分类；

X按两根的大小分类.

X知识拓展

解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另端分解因式，并

求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从X轴的右端上方起，依次

穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x轴上方的实数x的取值集合；小于零

的不等式的解对应着曲线在X轴下方的实数X的取值集合.

心学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.若方程ox?+bx+c=0(〃<0)的两根为2,3,那么or?+公+。>o的解集为()

A.{x\x>3^x<-2}B.{x\x>2^x<-3}

C.{xl-2<x<3}D.{xl-3<x<2}

2.不等式口？+法+2>0的解集是,贝等于().

A.-14B.14C.-10D.10

3.关于x的不等式/-(a-Dx-lvO的解集为0,则实数a的取值范围是().

33

A.(--,1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.(--,1)

4.不等式/—5x<24的解集是.

5.若不等式。/+以-2>0的解集为则a力的值分别是___________.

4

心课后作业

1.机是什么实数时，关于X的一元二次方程

mx2-(1-m)x+m=0没有实数根.

2.解关于x的不等式—+(2—。)工一2。<0(〃WR).

§3.3.1二元一次不等式（组）与

平面区域（1）

心学习目标

1.了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域;

2.经历从实际情境中抽象出二元•次不等式组的过程，提高数学建模的能力.

夷分学习过程

一、课前准备

复习1：一元二次不等式的定义二元一次不等式定义

_________________________二元一次不等式组的定义

复习2：解下列不等式：

,、，、3x2+x-2>0

（1）-2J+1>0；（2）<.

4X2-15X+9>0

二、新课导学

X学习探究

探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，尸+3>°的解集

（x-4<0

为.那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

探究2：你能研究:二元一次不等式尤-），<6的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形.

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线.

平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线ry=6左上方的区域内的点;

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.

设点尸（X,%）是直线x-y=6上的点，选取点A（x,%），使它的坐标满足不等式x-y<6,

请同学们完成以下的表格,

横坐标X-3-2-10123

点P的纵

坐标M

点A的纵

坐标丫2

并思考:

当点4与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？

根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？

直线x-y=6右下方点的坐标呢？

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的

；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6.

因此，在平面直角坐标系中，不.等式x-y<6表示直线x-y=6左上

方的平面区域；如图：

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:

直线叫做这两个区域的边界•

结论：

1.二元一次不等式Ax+By+c>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+c=0某一侧所有

点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2.不等式中仅>或<不包括;但含“4”“2”包括；同侧同号，异侧异号.

X典型例题

例1画出不等式x+4y<4表示的平面区域.

分析：先画（用—线表示），再取判断区域，即可画出.

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地,

当CHO时，常把原点作为此特殊点.

变式：画出不等式-x+2），-440表示的平面区域.

例2用平面区域表示不等式组‘的解集

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式

所表示的平面区域的公共部分.

变式1：画出不等式（》+2了+1）（》-丫+4）<0表示的平面区域.

变式2：由直线x+y+2=0,x+2y+l=0和2x+y+l=0围成的三角形区域（包括边界）

用不等式可表示为.

X动手试试

练1.不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的

练2.画出不等式组六一3>+62°表示的平面区域

[x-y+2<0

三、总结提升

派学习小结

由于对在直线4x+B），+C=0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入

Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取•特殊点（%,%）,

从Ax0+8%+C的正负即可判断Ax+8），+C>0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C

#0时，常把原点作为此特殊点）

X知识拓展

含绝对值不等式表示的平面区域的作法：

（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式.

（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号.

（3）采用对称性可避免绝对值的讨论.

（4）在方程f（xy）=0或不等式f（xy）>0中，若将xy换成（-x）（-y）,方程或不等式不变，

则这个方程或不等式所表示的图形就关于y（x）轴对称.

派自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的（）.

A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方

2.不等式3x+2y-640表示的区域是（）.

<A><11>(C)(O)

3.不等式组I；：'?。。表示的平面区域是，).

(A»iU)心11»

4.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线-3x+2y+a=0的两侧，则的取值范围是

fx>1

5.画出"表示的平面区域为：

[y<l

x<3

1.用平面区域表示不等式组-2y>%的解集.

3x+2y>6

x-y+6>0

2.求不等式组卜+)，20表示平面区域的面积.

x<3

§3.3.1二元一次不等式（组）与

平面区域（2）

心学习目标

1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；

2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.

学习过程

一、课前准备

复习1：画出不等式2x+y-6V0表示的平面区域.

2x+3y<12

复习2：画出不等式组，2x+3y>-6所示平面区域.

x>0

二、新课导学

派典型例题

例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小

钢板的块数如下表所示：

7^类型

A规格8规格C规格

钢板类总、

第一种钢板211

第二种钢板123

今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.

例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸

盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐It,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t,硝酸

盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的

平面区域.

派动手试试

练L不等式组所表示的平面区域是什么图形？

练2.某人准备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的

数据表格（以班级为单位）：

班级学配备教硬件建教师年

学段

生人数师数设（万元）薪（万元）

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.

三、总结提升

X学习小结

根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数.反复的读题，读懂已知条件和问

题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意.然后根据题中的已知条件，找出约

束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.

X知识拓展

求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作

铺垫.常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标

的范围，确定X的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y

的所有整数值，即先固定x,再用尤制约y.

痣小学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是().

A.(0,0)B.(1,1)

C.(0,2)D.(2,0)

2.不等式组f->‘+52°表示的平面区域是一个().

A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形

y<x

3.不等式组r+y41表示的区域为〃，点4(0,-2),点6(0,0),则().

”3

A.［任。，8星。B.P^D,P2eDC.PteD,P2^DD.PteD,P2eD

4.由直线x+y+2=0,x+2y+l=0和2x+y+l=0的平围成的三角形区域(不包括边界)用

不等式可表示为.

‘4x+3y+8>0

5.不等式组x<0表示的平面区域内的整点坐标是.

y<0

1.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B,每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三

道工序.桌子4需要lOmin打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着

色，9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min,着色每天至多480min,

请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.

2.某服装制造商现有lOn?的棉布料，10n?的羊毛料，6n?的丝绸料.做一条裤子需要棉

布料1n?,2m2的羊毛料，In?的丝绸料，一条裙子需要棉布料1n?,In?的羊毛料，1

n?的丝绸料.一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元.为了使收益达到最大,

需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.

§3.3.2简单的线性规划问题（1）

心学习目标

①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；

②能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.

其就学习过程

一、课前准备

阅读课本P87至P8S的探究

找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义.

二、新课导学

X学习探究

在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：

某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时

lh,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件

和12个8配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：

（2）画出不等式组所表示的平面区域:

注意：在平面区域内的必须是整数点.

（3）提出新问题:

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利

润最大？

（4）尝试解答:

（5）获得结果:

新知：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都

是关于x、y的•次不等式，故又称线性约束条件.

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫

线性目标函数.

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划

问题.

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

X典型例题

例1在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生

产才能获得最大利润？

派动手试试

y<x

练1.求z=2x+y的最大值，其中x、y满足约束条件,x+y£1

y>-1

三、总结提升

X学习小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

派知识拓展

寻找整点最优解的方法：

1.平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点

解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限

区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.

2.调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛

先出整点最优解.

3.由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可

能解逐一检验即可见分晓.

心学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.目标函数z=3x-2y,将其看成直线方程时，z的意义是（）.

A.该直线的横截距

B.该直线的纵截距

C.该直线的纵截距的一半的相反数

D.该直线的纵截距的两倍的相反数

x-y+5>0

2.已知x、y满足约束条件,工+y20,则

x<3

Z=2x+4），的最小值为（）.

A.6B.-6C.10D.-10

3.在如图所示的可行域内，目标函数2=》+纱取得最小值的最优解有无数个，贝心的一个

可能值是().

A.-3B.3C.-1D.1

4.有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函

数为.

5.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2)，+a=0的两侧，则。的取值范围

是.

心课后作业

1.在AA3C中，A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出A4BC区域所表示的二元一

次不等式组.

5x+3y<15

2.求z=3x+5)，的最大值和最小值，其中％、y满足约束条件<y+l

x-5y<3

§332简单的线性规划问题(2)

心学习目标

1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；

2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.

2学习过程

一、课前准备

x-4y4-3

复习1：已知变量x,y满足约束条件，3x+5y<25，设z=2x+y,取点（3,2）可求得z=8,

x>\

取点（5,2）可求得孺稣=12,取点（1,1）可求得2.=3

取点（0,0）可求得z=0，取点（3,2）叫做

点（0,0）叫做，点（5,2）和点（1,1）

复习2:阅读课本P88至P%

二、新课导学

X学习探究

线性规划在实际中的应用：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源」

定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，

能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：

X典型例题

例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的

蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，

花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21

元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物

B多少kg?

例2要将两种大小不同的钢板截成A、氏C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的

小钢板的块数如F表所示：

7^类型

A规格B规格C规格

钢板类最、、

第一种钢板211

第二种钢板123

今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、

C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

变式：第种钢板为1m,第二种为2〃尸，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的

成品且所用钢板面积最小？

例3一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸

盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐It,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t,硝酸

盐663在此基础上生产这两种混合肥料.若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；

生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，

能够产生最大的利润？

派动手试试

练1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2(X)0元.甲、乙产品

都需要在4、8两种设备上加工，在每台A、8设备上加工1件甲设备所需工时分别为lh、

2h,加工1件乙和设备所需工时分别为2h、lh,A、8两种设备每月有效使用台时数分别为

400h500h.如何安排生产可使收入最大？

练2.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时

计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台

所需工时和每台产值如下表：

家电名称空调器彩电冰箱

1]_

工时234

产值/千元432

问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元

为单位）

三、总结提升

X学习小结

简单线性规划问题就是求线性H标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以

什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域：

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

X知识拓展

含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：

（1）去绝对值，转化为不等式组；

（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；

（3）利用对称性可避免讨论.

心学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人

工资预算2000元，设木工x人，瓦工），人，请工人的约束条件是（）.

A.50^+40y=2000B.50x+40y<2000

C.50x+40y>2000D.40x+50j<2000

0<x<4

2.已知x,y满足约束条件，

x>0,y>0

A.19B.18C.17D.16

'2x+3y>24

3.变量x,y满足约束条件y+则使得z=3x+2y的值的最小的(x,y)是().

2x+9y>36

x>0,y>0

A.(4,5)B.(3,6)C.(9,2)D.(6,4)

x-2y+4>0

4.(2007陕西)已知实数满足约束条件2x+y-220则目标函数z=^+2y的最大值为