高中数学《高中数学《平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算》导学案》导学案

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算

卜课前白主预习

1.平面向量的坐标表示

(1)平面向量的正交分解

H把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分

解.

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与⑵工轴、区丁

建系选底转方向相同的两个小单位向量i,j作为

基底

对于平面内的一个向量。，由平面向量基本

程线性表示

定理知，国有且只有一对实数工,3,使得。=

定义坐标有序数对⑹(/，W叫做向量。的坐标

特殊向量

i=[7](l,0),j=[8](0,l),0=0(0,0)

的坐标

1

2.平面向量的坐标运算

\文字符号

两个向量和的坐标分别若CI=),b=(9

加

法等于这两个向量相应坐丁2)，则Q-b=①](了1+

标的和力2，弘十了2)

\文字符号

两个向量差的坐标分别若CI=(/],b=(土，

减

法等于这两个向量相应坐“)，a-b=⑪(与一不，

标的差V-M)

数实数与向量的积的坐标

乘若a=(?,»)，/GR,则Aa

向等于用这个实数乘原来

量=园(菽,7)

向量的相应坐标

已知向量血的起点

重一个向量的坐标等于表

要示此向量的有向线段的A(叫，v),终点B(亚，

结A

论终点的坐标减去始点的

y2)»则AB=S3](J?2—J?!,

坐标以一)

sG自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)与入轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标

为0.()

(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()

(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐

标.()

(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)X

2.做一做

(1)已知48=(—2,4),则下列说法正确的是()

A.A点的坐标是(一2,4)

B.3点的坐标是(一2,4)

C.当B是原点时，A点的坐标是(一2,4)

D.当A是原点时，8点的坐标是(一2,4)

答案D

解析当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同.

-A

(2)已知AB=(1,3),且点A(—2,5),则点3的坐标为()

A.(1,8)B.(-1,8)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案B

解析因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以B点坐标

为(—1,8).

(3)(教材改编P100T2)若a=(2,l),5=(1,0),则3a+2b的坐标是

()

A.(5,3)B.(4,3)

C.(8,3)D.(0,-1)

答案C

解析3。+2方=3(2,1)+2(1,0)=(6,3)+(2,0)=(8,3).

(4)若点M(3,5),点M2』)，用坐标表示向量MN=.

答案(一1,-4)

解析W=(2,1)-(3,5)=(2-3,1-5)=(-1,-4).

心堂互动探究、

探究］平面向量的坐标表示

例1如图所示，在边长为1的正方形ABCO中，A8与％轴正

半轴成30。角.求点B和点D的坐标和43与AD的坐标.

解由题知B,D分别是30°,120。角的终边与单位圆的交点.设

B(X1,Jl),£)(X2,J2).由三角函数的定义，得

、口1,•般2/

JCI=COS30°=2，>i=sin30°=],.

1、巧

=

JC2=COS120°=~2,^2sinl20°=>

j_

2'

拓展提升

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置

向量的坐标.

(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点

坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.

【跟踪训练1】已知O是坐标原点，点A在第一象限，\OA\=

4小,ZxOA=60°,

⑴求向量OA的坐标；

—>

(2)若B(S，-1),求84的坐标.

解⑴设点A(%,y),则％=4小cos60°=2小,

y=4小sin6()o=6,即A(23,6),0A=(2小,6).

—►

Q)BA=(25,6)-(73,-1)=(A/3,7).

探究2平面向量的坐标运算

例2(1)已知三点A(2,-1),3(3,4),C(-2,0),则向量3A3+

―►―►―►

2CA=,BC-2AB=；

(2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+方，a—

b,3a,2a-\-3b的坐标.

解析(1)X(2,-1),8(3,4),C(-2,0),

—■►—►—►

.*.AB=(1,5),CA=(4,-1),BC=(-5,-4).

-A-A

.•.3AB+2cA=3(1,5)+2(4,-1)

=(3+8,15-2)

=(11,13).

—►-►

BC-2AB=(-5,一4)一2(1,5)

=(-5-2,-4-10)

=(一7,-14).

(2)。+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),

“一》=(-1,2)—(3,-5)=(­4,7),

3a=3(—1,2)=(—3,6),

2a+3方=2(-1,2)+3(3,-5)

=(—2,4)+(9,-15)

=(7,-11).

答案(1)(11,13)(-7,-14)(2)见解析

拓展提升

平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的

运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后

再进行向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

【跟踪训练2]⑴已知4=(1,2),力=(-3,4),求向量a

—b,3a—4b的坐标；

—►—►—►

(2)已知4—2,4),8(3,-1),C(~3,-4),且CM=3CA,CN=

­►―>

2CB,求M,N及MN的坐标.

解(1)。+方=(1,2)+(—3,4)=(—2,6),

“一》=(1,2)一(一3,4)=(4,-2)

3a-4Z>=3(l,2)-4(-3,4)=(3,6)-(-12,16)=(15,-10).

(2)解法一：由A(—2,4),3(3,-1),C(-3,-4),

―►-►

可得CA=(—2,4)一(一3,-4)=(1,8),CB=(3,一1)一(一3,一

4)=(6,3),

―►—►—►-►

所以CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6).

设M(xi,yi),N(%2,丫2),

―►

则CM=(%i+3,yi+4)=(3,24),xi=0,yi=20；

—►

CN=(%2+3,”+4)=(12,6),X2=9,y2=2,

所以M(0,20),N(9,2),

—►

MN=(9,2)—(0,20)=(9,-18).

-A—►—►—►

解法二：设点。为坐标原点，则由CM=3C4,CN=2CB,

可得0M—0C=3(0A—0C),ON—OC=2(O8-OC),

-A—►—►—►—►-►

从而OM=3OA-2OC,ON=2OB-OC,

-►

所以0加=3(—2,4)—2(—3,-4)=(0,20),

ON=2(3,—1)一(—3,-4)=(9,2),

即点M(0,20),N(9,2),

故MN=(9,2)—(0,20)=(9,-18).

探究3向量坐标运算的应用

例3已知0(0,0),A(l,2),8(3,3),若0P=0A+/08,试问：

(1)，为何值时、P在X轴上？。在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出相应的"直；若

不能，请说明理由.

解(l)OP=O4+/O3=(l,2)+«3,3)=(l+3/,2+3。，所以P点

坐标为(1+3/,2+3)

,2

若。在入轴上，则2+3/=0,得/=—1

若尸在y轴上，则1+3/=0,得「=一；；

fl+3?<0,21

若「在第二象限，则12+3»0,仔ZB_QU<一.

(2)OA=(1,2),尸3=(2—31,1—3。，若四边形OABP为平行四边

形，只需0A=P8,

[2-3r=l,胃子

则I°c即V,所以，无解，故四边形048P不

1—3/=2,1

能为平行四边形.

［条件探究］若将例3改为0(0,0),4(1,2),3(3,3),OP=tOA+

OB,试问：

(l)f为何值时，尸在X轴上？y轴上？第二象限？

(2)四边形ABP。能否为平行四边形？若能，求出相应的"直，若

不能，请说明理由.

解(1)0尸=，。4+。8=(3+/,3+21),

二.尸点坐标为(3+/,3+2。，

3

若尸在x轴上，则3+2f=0得/=一],

若。在y轴上，则3+/=0得，=一3,

[3+r<0,

若P在第二象限，则。上。c得r无解,

[3+2f〉0,

(2)OA=(1,2),PB=(—t,-2t),

若四边形0A8P为平行四边形，则0A=P8,\'即，=

[-2t=2,

-1,所以「=—1时，四边形。43尸为平行四边形.

拓展提升

向量中含参数问题的求解

(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是

一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变.

(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件

的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的.

【跟踪训练3】已知点4(2,3),1(5,4),C(7,10).若AP=A3+

KC(AeR),试求4为何值时，

(1)点P在第一、三象限角平分线上;

(2)点。在第三象限内.

解设点P的坐标为(%,y),

-A

则A尸=(%,力一(2,3)=(%—2,y-3),

AB+AAC=(5,4)-(2,3)+4(7,10)一(2,3)]

=(3,1)+45,7)=(3+52,1+74).

►—>—►

'：AP=AB+>AC,

%—2=3+52,1%=5+5人

・〈・<

"-3=1+7九•1=4+7九

(1)若P在一、三象限角平分线上，则5+52=4+7尢

5+5A<0,

(2)若尸在第三象限内，则八二.上一1.

4I<U,

，2=；时，点P在第一、三象限角平分线上；2<—1时，点。在

第三象限内.

I那第如

1.在直角坐标平面内，以原点为起点的向量。4=a,点A的位置

被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(%,

》)•

2.平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量的

坐标与点的坐标区别开来，只有起点在原点时，向量的坐标才与终

点的坐标相等.

3.符号(%,y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固

定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，就常说

点(%,y)或向量(%,y).

特别注意：向量“=(%,y)中间用等号连接，而点的坐标A(%,y)

中间没有等号.

4.(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应

用形式，只是两个基向量均和€2互相垂直.

(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、

纵坐标对应相等，即台%】=%2且y=y2,其中a=(%i,y),b—

(%2，)2).

(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具

体位置无关.

(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平

移前后，其坐标不变.

卜课堂达标自测

1.设平面向量。=(3,5),6=(—2,1),贝l]a—2。=()

A.(7,3)B.(7,7)

C.(1,7)D.(1,3)

答案A

解析“-2：=(3,5)—2(—2,1)=(3,5)一(一4,2)=(7,3).

2.已知向量a=(1,-2),防=(一3,4),贝班方=()

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(2,3)D.(-2,-3)

答案A

解析牯=防一8=(-3,4)—(1,-2)=(-4,6),.•.品=

；(—4,6)=(-2,3).

3.如图，向量a,

答案(-4,0)(0,6)(-2,-5)

解析将各向量分别向基底所在直线分解，则a=-4i+0j,

.*.«=(—4,0)；b=0i+6j,.,.1=(0,6)；c=—2i~5j,.*.c=(—2,-

5).

4.已知ei=(l,2),e2=(—2,3),a=(—1,2),试以ei,02为基底,

将a分解成21e+2202的形式为.

4

答案-

7

解析设〃=九d+2202(九，22£R),则(一1,2)=2I(1,2)+22(—2,3)

=(九一222,221+3/2).

-1=九—222,

.•・〃=那1+那2.

2=2九+3七，

5.已知平面上三个点的坐标分别为4—2,1),3(—1,3),。(3,4),

求点。的坐标，使得A,B,C,。四点构成平行四边形.

解由四边形ABCD为平行四边形，得油=庆;可解得D(2,2).

由四边形ABDC为平行四边形，得加可解得Q(4,6).

由四边形AQ3C为平行四边形，得用)=声，可解得。(-6,0).

因此，使A,B,C,。四点构成平行四边形的点。的坐标是(2,2)

或(4,6)或(一6,0).

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知向量a=(l,2),2a+分=(3,2),则5=()

A.(1,-2)B.(1,2)

C.(5,6)D.(2,0)

答案A

解析方=(3,2)—2。=(3,2)—(2,4)=(1,—2).

2.QABCQ中，40=(3,7),A8=(—2,3),对称中心为O,则CO

等于()

A.[一初5JB.-5J

C.&-5)D.g5)

答案B

解析C0=一;AC=-1(AD+AB)=-1(1,1O)=[-

3.已知向量@=可,2)"=(2,3),c=(3,4),Kc=ha+bb,则小,

方的值分别为()

A.-2,1B.1,-2

C.2,-1D.-1,2

答案D

解析因为。=尢“+义2"所以(3,4)=九(1,2)+22(2,3)=(九+2不,2九

+3^2),

3+2%2=3,

所以।a,/解得力=-1，彩=2.

[221+322=4,

4.设向量。=(1,13),5=(—2,4),c=(—1,—2),若表示向量

4a,4。-2G2(a—c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为

()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

答案D

解析由题意，得4。+4》-2c+2(“一c)+d=0,则d=—4«—4b

+2c-2(a—c)=—6a-4)+4c=(-2,—6).

5.设向量G=(/X,n),b=(s,t),定义两个向量a,b之间的运

算"®"为nt).若向量p=(l,2),p®q=(—3,—4),则向

量。=()

A.(-3,2)B.(3,-2)

C.(-2,-3)D.(-3,-2)

答案D

解析设向量q=a，y),根据题意可得％=—3,2y=-4,解得工

=—3,y=—2,即向量q=(—3,—2),故选D.

二'填空题

—►

6.已知点A(—l,—5)和向量。=(2,3),若则点3的坐

标为.

答案(5,4)

—►—►

解析设0为坐标原点，因为0A=(—1,—5),48=3。=(6,9),

—►—►-►

故OB=OA+AB=(5,4),故点8的坐标为(5,4).

—►—►

7.在△ABC中，点P在3C上，且8尸=2PC,点。是AC的中

―►—►-►

点，若抬=(4,3),PQ=(1,5),则8C=.

答案(-6,21)

—►―►—►

解析尸。一%=4。=(1,5)—(4,3)=(-3,2),因为点。是AC的

―►-►—>>-►—>>

中点，所以AQ=QC,所以尸。=尸。+。。=(1,5)+(—3,2)=(—2,7).因

―A―A—►—►―A―►

为BP=2PC,所以8c=3P+PC=3PC=3(-2,7)=(-6,21).

8.已知A(—3,0),3(0,2),。为坐标原点，点。在N403内，

―►—►-►

|OC|=2隹且NAO。/设OC=2OA+O8Q£R),贝：=.

2

答案3

TT

解析过C作轴于点区由NAOC=z知，|OE|=|CE]=

—►―►—►—►—►—►-►

2,所以OC=OE+OB=2OA+O3,即0E=40A,所以(一2,0)=2(一

3,0),故4=|.

三、解答题

9.已知向量AB=(4,3),AD=(~3,一1),点4一1,-2).

(1)求线段BD的中点M的坐标；

(2)若点P(2,y)满足P3=%8D(2£R),求2与y的值.

解(1)设3(即，yx),

因为A8=(4,3),A(-l,-2),

所以(为+1,yi+2)=(4,3),

%i+l=4,所以：所以3(3,1).

所以

»+2=3,1yl=1，

同理，可得。(一4,-3),

3—4I1—3

设8D的中点M(X2,竺)，则12=-2-=-29>2=-2-=-L

所以从一4，—1J

(2)由P8=(3,D—(2,y)=(l,l—y),

BD=(-4,-3)-(3,l)=(-7,-4),

又PB=2BD(AGR),

所以(1,1—y)=2(—7,—4)=(—72,—4/1).

1

A=一

1=-7A,所以7,

所以J3

l—y=—4A,

A

10.已知点0(0,0),A(l,2),3(4,5)及。尸=。4+。3,试问：

(1)，满足什么条件时，点P在％轴上？点P在y轴上？点P在第

二象限内？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值;

若不能，请说明理由.

解(1)48=(3,3),OA=(1,2),

―►—►-►

OP=OA+/A3=(l+3r,2+3。.

2

若点尸在l轴上，则2+