高中数学数列大题训练

中学数学数列专题大题组卷

选择题(共9小题)

1.等差数列｛an｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()

A.130B.170C.210D.260

2.已知各项均为正数的等比数列｛aj,313233=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()

A.5>/2B.7C.6D.472

3.数列｛aj的前n项和为Sn，若ai=l,an-i=3Sn(nNl),则a6=()

A.3X44B.3X44+1C.44D.44+l

4.已知数列｛aj满足3ami+an=0,a2=-则｛aj的前10项和等于()

3

A.-6(1-310)B.y(1-3-10)C.3(Di。)D.3(1+310)

5.等比数列｛aj的前n项和为Sn，已知S3=a2+10ai，a5=9,则ai=()

A.1B.-lc.1D.-1

3399

6.已知等差数列｛aj满足az+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和Sio=()

A.138B.135C.95D.23

7.设等差数列｛aj的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm,i=3,则^1=()

A.3B.4C.5D.6

8.等差数列｛an｝的公差为2,若az，a4,a8成等比数列，则｛aj的前n项和Sn=()

A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+l)口.二①一D

22

9.设｛aj是等差数列，下列结论中正确的是()

A.若ai+a2>0,则a2+a3>0B.若ai+a3<0,则ai+a2<0

C.若0<ai<a2,则a?〉/；,外D-若ai<0,则(a2-ai)(a2-a?)>0

Vaia3

二.解答题（共14小题）

10.设数列国｝（n=l,2,3,...）的前n项和Sn满足Sn=2an-ai,且aI，az+l,a3成

等差数列.

（0）求数列｛aj的通项公式；

（0）记数列｛1-｝的前n项和为Tn,求使得ITn-1|成立的n的最小值.

an1000

11.设等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为Sn,等比数列｛6｝的公比为q,已知bi=ai，

b2=2,q=d,Sio=lOO.

（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式

（2）当d>l时，记Cn=M,求数列&｝的前n项和Tn.

bn

12.已知数列｛an｝满足ai=l,ani=3an+L

（0）证明｛an+L是等比数列，并求｛an｝的通项公式；

2

（0）证明：L+L+...+L<W.

ala2an2

13.已知等差数列｛an｝的公差不为零,ai=25,且ai,an，a13成等比数列.

（0）求｛an｝的通项公式；

（0）求ai+a4+a7+.・・+a3n2

14.等差数列｛an｝中,37=4,319=239，

（国）求｛aj的通项公式；

（团）设bn=工，求数列｛>｝的前n项和Sn.

nan

15.已知等比数列｛an｝中,31=1,公比q=工.

33

1-a

（0）Sn为｛an｝的前n项和，证明：Sn=一生

2

（回）设bn=log3ai+log3a2+.“+IOg3an,求数列｛bn｝的通项公式.

16.已知数列｛an｝满足an+2=qan（q为实数，且qWl）,nWN*,ai=l,32=2,且az+a3,

a3+a4,a4+a5成等差数列

（1）求q的值和｛aj的通项公式；

（2）设坪=上空至，nGN*,求数列｛用｝的前n项和.

a2n-l

17.已知数列匕仆是首项为正数的等差数列，数歹！H—1一｝的前n项和为」1-.

an*artt-l2n+l

（1）求数列｛an｝的通项公式；

a

（2）设bn=（an+l）*2n,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

18.已知数列｛aj和｛bn｝满足a】=2,bi=l,a*i=2a（n^N*）.bi+—b2+—63+...+—b=b-i

nn23nnn

-1（nGN,）

（0）求an及bn：

（回）记数列『nbn｝的前n项和为Tn,求Tn.

19.已知数列｛aj是递增的等比数列，且ai+a4=9,a2a3=8.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设Sn为数列｛an｝的前n项和，bn=_W_,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

SnSnH

20.设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知2SW.

（0）求｛an｝的通项公式；

（回）若数列｛bn｝,满足anbn=log3an，求｛bj的前n项和Tn.

n

21.设数列数n｝的前n项和为Sn.已知ai=a,an.i=Sn+3,nWN*.由

（回）设bn=Sn-3%求数列｛bn｝的通项公式；

（0）若ani'an,nGN*,求a的取值范围.

22.已知等差数列｛an｝的公差为2,前n项和为Sn,且3,S2,S4成等比数歹U.

（国）求数列｛an｝的通项公式；

（0）令bn=（-1）…4n,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

ananH

23.数列｛aj满足ai=l,nan-i=（n+1）an+n（n+1）,nWN*.

（0）证明：数列｛M｝是等差数列；

n

（团）设bn=3n•扃，求数列｛6｝的前n项和Sn.

中学数学数列专题大题组卷

参考答案及试题解析

一.选择题（共9小题）

L（1996•全国）等差数列｛aj的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项

和为（）

A.130B.170C.210D.260

【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于ai，d的方程组，用

m表示出ai、d,进而求出S3m；或利用等差数列的性质，Srn,S2m-Sm，S3m-S2m成等

差数列进行求解.

【解答】解：解法1：设等差数列｛aj的首项为ai，公差为d,

由题意得方程组c"，

21n（2m-1）

2mai+-d-100

解得d=也，ai=1Q（m+2）,

22

min

，s3m=3mai+3.©m-1）d=3ml°（"2）1n二1'.x~^=2i0.

2111221n2

故选C.

解法2：♦.♦设｛aj为等差数列，

,*SmtS2m-Sm，S3m一S2m成等差数列，

即30,70,S3m-100成等差数列,

，30+s3m-100=70X2,

解得S3m=210.

故选c.

【点评】解法1为基本量法，思路简洁，但计算困难；解法2运用了等差数列的一个

重要性质,即等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn，S3n-S2n,…成等差数列.

2.（2010•大纲版回）已知各项均为正数的等比数列｛aj,313233=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=

（）

A.W^B.7C.6D.4A/2

【分析】由数列】n｝是等比数列,则有a1a2a3=5na2?=5；a7a8a9=10=a83=10.

【解答】解：a】a2a3=5=a2，=5；

a7a8a9=1°=^a/nlO,

a$2=a2a8，

_a5-a^ag—50,,,a4a5a6=

故选A.

【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数累的运算、根式及指数式的互化等学

问，着重考查了转化及化归的数学思想.

3.(2011•四川)数列｛an｝的前n项和为Sn，若ai=l,an-i=3Sn(n，l),则a6=()

A.3X44B.3X44+1C.44D.44+l

【分析】依据已知的an+i=3Sn,当n大于等于2时得到an=3Sn.1(两者相减，依据Sn

-Sn-i=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以得到此数列

除去第1项，从第2项起先，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由ai=l,ani=3Sn,

令n=l,即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式

即可求出第6项的值.

【解答】解：由an-i=3Sn,得到an=3Snr(n，2),

两式相减得：an+l~an=3(Sn-Sn-1)=3an，

则an-i=4an(n22),又ai=l,a2=3Si=3ai=3»

得到此数列除去第一项后，为首项是3,公比为4的等比数列，

所以anuazqn-ZuBXdn"(n22)

4

则a6=3X4.

故选A

【点评】此题考查学生驾驭等比数列的确定方法，会依据首项和公比写出等比数列的

通项公式，是一道基础题.

4.(2013•大纲版)已知数列｛aj满足3an,i+an=0,a2=-9,则｛aj的前10项和等于()

3

A.-6(1-310)B.^-(1-3-10)c.3(1-310)D.3(1+310)

【分析】由已知可知，数列｛aj是以为公比的等比数列，结合已知可求ai,

3a23

然后代入等比数列的求和公式可求

【解答】解：:3ann+an=0

-an+l__1

,an一3

，数列｛a。｝是以-工为公比的等比数列

3

•/__4

a2-y

31=4

411-（-4-）10]

由等比数列的求和公式可得，S10=--------产-----=3（1-3]。）

故选C

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简洁应用，属于基础试题

5.（2013•新课标团）等比数列｛aj的前n项和为Sn,已知S3=a2+10ai,as=9,则ai=（）

A.1B.-1.C.1D.-1.

3399

【分析】设等比数列｛a。｝的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到

f2

Si+aiQ=aiq+10

.1111I,解出即可.

&解4=9

【解答】解：设等比数列｛an｝的公比为q，

,**S3=az+lOai,as=9,

，2r2c

ai+aiq+aiq=aiQ+10a<Q-9

11111,解得

[,q=9卜1=§

•_1

•向芳，

故选C.

【点评】娴熟驾驭等比数列的通项公式是解题的关键.

6.（2008•全国卷团）已知等差数列｛an｝满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和

Sio=（）

A.138B.135C.95D.23

【分析】本题考查的学问点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，依据a2+a4=4,

a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项

及公差)，进而代入前n项和公式，即可求解.

【解答】解：•；(23+25)-(aa+a4)=2d=6,

/.d=3,ai=-4,

•e_10X(10-l)d

..Sio=1lOnaai++---------------------=9QR5.

2

故选C

【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，假如可以证明这个数列为等差数列，

或等比数列，则可以求出其基本项(首项及公差或公比)进而依据等差或等比数列的

通项公式，写出该数列的通项公式，假如未知这个数列的类型，则可以推断它是否及

某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式.

7.(2013•新课标回)设等差数列｛aj的前n项和为Sn,若Sm-产-2,Sm=0,Sm，i=3,

则m=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】由an及Sn的关系可求得ami及am，进而得到公差d,由前n项和公式及Sm=O

可求得ai，再由通项公式及am=2可得m值.

【角牛11am=Sm-Sm-1=2,aml=Sm1-Sm=3,

所以公差d=am+i-am=l,

Sm「(a]+am)=0,ai=-2,

2

所以am=-2+(m-1)*1=2,解得m=5,

故选C.

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an及Sn的关系，考查学

生的计算实力.

8.(2014•新课标回)等差数列｛aj的公差为2,若a2,a4,as成等比数列,则｛aj的前

n项和Sn=()

A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+l)口.四二口

22

【分析】由题意可得a42=(a4-4)(a4+8),解得可得ai,代入求和公式可得.

【解答】解：由题意可得a42=az・a8，

即a42=(34-4)3+8),

解得34=8,

/.31=34-3X2=2,

...S仔nai+n（n-l）d,

2

=2n+E（n-1）X2=n（n+1）,

2

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题.

9.（2015•北京）设｛a#是等差数列，下列结论中正确的是（）

A.若ai+a2>0,则a2+a3>0B.若ai+a3<0,则ai+a2<0

C.若0（ai<a2,则a2〉/；,公D.若ai<0,则（a2-ai）（32-33）>0

Vala3

【分析】对选项分别进行推断，即可得出结论.

【解答】解：若ai+a2>0,则2ai+d>0,a2+a3=2ai+3d>2d,d>0时，结论成立，即A

不正确；

若ai+a3V0,则ai+a2=2ai+dV0,a2+a3=2ai+3d<2d,dVO时,结论成立,即B不正确；

｛an｝是等差数列，OVaiVaz，2a2=a1+a3>2历司，，a2>再同，即C正确；

若ai<0,贝U（a2-ai）（a2-as）=-cPWO,即D不正确.

故选：C.

【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算实力，比较基础.

解答题（共14小题）

10.（2015•四川）设数列｛aj（n=l,2,3,...）的前n项和Sn满足Sn=2an-且ai，

az+l,a3成等差数列.

（团）求数列｛an｝的通项公式；

（0）记数列｛2」的前n项和为Tn，求使得ITn-11〈二^成立的n的最小值.

an1000

【分析】（回）由已知数列递推式得到an=2a”i（n22）,再由已知ai，az+l,a3成等差

数列求出数列首项，可得数列匕力是首项为2,公比为2的等比数列，则其通项公式

可求；

（团）由（团）求出数列｛」一｝的通项公式，再由等比数列的前n项和求得又，结合

|-11—求解指数不等式得n的最小值.

“Tn1000

【解答】解：（回）由已知Sn=2an-ai，有

3n=Sn—Sn-l=2an—23n-1（n22），

即an=2an-i（n22）,

a2=2ai，33=2a2=43i,

又•・2,az+l,a3成等差数列,

/.ai+4ai=2（2ai+l）,解得：ai=2.

・♦•数列｛an｝是首项为2,公比为2的等比数列.故an二2如；

（0）由（团）得：1-1,

an2n

工［1-由力

•f1.1..122J」_-1

••Tn—4——+,,,+----------------1.

n2222n1-±2n

2

由ITI11--n-即2n>1000.

"n"\00021000

,/29=512<1OOO<1O24=210,

An^10.

于是，使成立的n的最小值为10.

1000

【点评】本题考查等差数列及等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式

等基础学问，考查运算求解实力，是中档题.

11.（2015•湖北）设等差数列｛aj的公差为d,前n项和为Sn，等比数列｛>｝的公比

为q,已知bi=ai,bz=2,q=d,Sio=lOO.

（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式

（2）当d>l时，记Cn=区,求数列&｝的前n项和Tn.

bn

【分析】（1）利用前10项和及首项、公差的关系，联立方程组计算即可；

（2）当d>l时，由（1）知酬=空=,写出Tn、Un的表达式，利用错位相减法及

2n-12

等比数列的求和公式，计算即可.

【解答】解：（1）设aka,由题意可得（l°a+45d=100

lad=2

解得卜=1，

Id=2

当时，a=2n-1,b=2nl；

1d=2nn

a=9

当2时，an=—(2n+79),bn=9・(,)n-1；

(2)当d>l时,由(1)知an=2n-l,bW

.=_an_2n~1

・・Cn----二

bn2n-1

••.Tn=l+3・L+5・L+7・L+9・L+…+(2n-1)・」—，

22223242n-1

.•.lTn=l*l+3«A-+5*J^+7»J^+...+(2n-3)・」—+(2n-1)1

222223242n-1F

ljn=2+l.+^-+J-+_L-+...+—^—-(2n-1)・2=3-生至，

222223242nY2n2n

.*.Tn=6-

2n-1

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位和减法是解决本题的关键，留意解

题方法的积累，属于中档题.

12.（2014•新课标回）已知数列由｝满足ai=l,ani=3an+l.

（回）证明屈+助是等比数列，并求凡｝的通项公式；

2

（0）证明：工+工+...+!〈旦.

ala2an2

【分析】（团）依据等比数列的定义，后一项及前一项的比是常数，即殳，=常数，又

首项不为0,所以为等比数列；

再依据等比数列的通项化式，求出｛aj的通项公式；

（回）将工进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等

式.

an+l卷3%+1号3(an+j)

【解答】证明（团）------------=---------------=---------------=3

JJr1

an+Jan+Jan+7

Vai44^0,

•••数列｛an+工｝是以首项为W,公比为3的等比数列;

22

3n~1

a+—=—x3n-1=—)即a

n22J2③'：n=2

(团)由(团)知工=_Z—

an3n-1

当n22时,V3n-l>3n-3nb"2<21

an3n-l3n-3n13n1

.•.当n=l时，L=i<3成立,

52

当n22时，A-+A-+...+J-<1+^4J^+..—=--------—=3(1-<.3.

ala2an3g23n-11-A.23n2

3

.•.对nGN一时-，A_+_L+...+JL<^.

ala2an2

【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只须

要依据等比数列的定义就行；数列及不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之

通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列.属

于中档题.

13.(2013•新课标回)已知等差数列｛aj的公差不为零，ai=25,且ai,an,ai3成等比

数列.

(国)求｛aj的通项公式；

(0)求ai+a4+a7+...+a3n-2.

【分析】(I)设等差数列｛aj的公差为dWO,利用成等比数列的定义可得，产a]、3,

再利用等差数列的通项公式可得«]+1(^)2=%«1+1201)，化为~(221+25(：1)=0,解

出d即可得到通项公式an；

(II)由⑴可得a3n一2=-2(3n-2)+27=-6n+31,可知此数列是以25为首项，-6

为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+...+a3n2

【解答】解：(I)设等差数列｛aj的公差为dWO,

由题意ai,an,ai3成等比数列，=

二(4+10d)2=ai(ai+12d)，化为d(2ai+25d)=0,

：dWO,，2X25+25d=0,解得d=-2.

/.an=25+(n-1)X(-2)=-2n+27.

(II)由(I)可得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31,可知此数列是以25为首项，-6

为公差的等差数列.

++1

Sn=ai+a4a7...+a3n-2=—―~03n-2）_

2

_n（25-6n+31）

2

=-3n2+28n.

【点评】娴熟驾驭等差数列及等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.

14.（2013・大纲版）等差数列、力中，37=4,ai9=2a9,

（0）求｛aj的通项公式;

（回）设bn=」一，求数列｛bn｝的前n项和Sn.

nan

【分析】（I）由a?=4,ai9=2a9.结合等差数列的通项公式可求ai，d,进而可求an

（II）由b=1=,2d,利用裂项求和即可求解

nnann（n+l）nn+1

【解答】解：（l）设等差数列｛aj的公差为d

•a7=4,3i9=2a9>

S1+6d-4

&[+18*2（%+8<1）

解得，ai=l,d=—

2

an*（n-l上乎

（II）Vb_2_=2__2_

nnann（n+l）nn+1

.•.Sn=2（l-y+y-A-p-.+l--1-）

Jnri'JL

二2（1-』）=冬

n+1n+1

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较简洁

15.（2011•新课标）已知等比数列｛an｝中，ai=X,公比q=L.

33

1-a

（团）Sn为｛an｝的前n项和，证明：Sn=---------

2

（0）设bn=log3ai+log3a2+...+log3an，求数列｛bn｝的通项公式.

【分析】（I）依据数列｛an｝是等比数列，a1=l,公比q=L,求出通项公式an和前n项

33

和Sn,然后经过运算即可证明.

(II)依据数列｛an｝的通项公式和对数函数运算性质求出数列｛bn｝的通项公式.

【解答】证明：(I)♦.•数列｛an｝为等比数列，a1=l,q=l

33

.*.an=—X(_L)

333n

^(1--)1--

33n3n

Sn=i--2—

(II)•.•an，

3n

++

Abn=log3ai+log3a2...log3an=-Iogs3+(-2logs3)+・・・+(-nlog33)

=-(l+2+.・・+n)

__n(n-H)

2

，数列｛bn｝的通项公式为：bn-

2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质.

16.(2015•天津)已知数列｛aj满足a»2=qan(q为实数，且qWl),nGN*,ai=l,a2=2,

且az+a3，a3+a4,a4+a5成等差数列

(1)求q的值和｛aj的通项公式;

(2)设bn=l°g2a2n,ngN-,求数列｛用｝的前n项和.

a2n-l

【分析】(1)通过加-2二qan、ai>az,可得a?、as、a4，利用az+as,33+34,24+25成等

差数列，计算即可；

(2)通过(1)知bn=—^,n£N*,写出数列｛bn｝的前n项和Tn、2Tn的表达式，利

用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.

【解答】解：(1)Van+2=qan(q为实数,且q#l),nGN*,ai=l,32=2,

••33—cj,as二q2,a4=2q,

又•.•32+33,33+34，a4+a5成等差数列，

，2X3q=2+3q+q2,

即q2-3q+2=0,

解得q=2或q=l(舍),

n-1

2丁，n为奇数

n

22，n为偶数

log2a2n=1。822：n,e*,

(2)由(1)知bn=

a2n-l2”一12广1

记数列｛bn｝的前n项和为Tn,

则品=1+2・工+3・工+4・2+...+(n-1)•—1—・+n・1

23n-]，

2222n-22J

；.2Tn=2+2+3・L+4・L+5・L+...+(n-1)•二一,+n1

222232n松

两式相减，Tn=3+—+_k_+_^+...+____-n*―5—

23n-1

2222n-22

学-2]

-n»―—

2n-1

]

=3+1-----n・

2n-2

=4-n+2.

2n-1

【点评】本题考查求数列的通项及前n项和，考查分类探讨的思想，利用错位相减法

是解决本题的关键，留意解题方法的积累，属于中档题.

17.（2015•山东）已知数列｛a。｝是首项为正数的等差数列，数列｛一1一｝的前n项

anFi

和为」一.

2n+l

（1）求数列｛aj的通项公式；

a

（2）设bn=（an+l）・2n,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

【分析】（1）通过对Cn=-1一分别分母，并项相加并利用数列｛一1一｝的前n项

an*arrf-lan,ard-l

和为」—即得首项和公差，进而可得结论；

2n+l

（2）通过bn=n・4n,写出Tn、4品的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即

得结论.

【解答】解：(1)设等差数列｛aj的首项为ai、公差为d,则a】>0,

.*.an=ai+(n-1)d,an+i=ai+nd,

令Cn=-------,

则Cn=__________1__________」[1_1],

[ai+(n-l)d](a[+nd)dl)daj+nd

+

•**Ci+C2...+Cn-i+Cn=A.[~—i—+—-———-——+…+------——————-——]

d/a1+daj+d&]+2dS|+(n-l)d'+nd

=~[—---——]

dajS|+nd

n

a1(力+nd)

n

21~~9

aj+ajd~nT

又•.•数歹心一1一｝的前n项和为」

a/a^i2n+l

.'a/=l

♦•<9

%d=2

；.ai=l或-1(舍)，d=2,

+

an=l2(n-1)=2n-1；

a2nln

(2)由(1)知bn=(an+l)*2r.=(2n-1+1).2=n«4,

++12,n

Tn=bi+b2...bn=l*4+2*4+...+n4,

23nn1

.,.4Tn=l*4+2»4+...+(n-1)•4+n«4",

12nnxn1

两式相减，得-3Tn=4+4+...+4-n*4=-———*4-

33

n+1

.T_(3n-1)-4+4

9

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，留意解

题方法的积累，属于中档题.

18.(2015•浙江)已知数列｛aj和｛bn｝满足ai=2,bi=l,anii=2an(nGN*),

bi+—bz+—b3+...+—bn=b-i_1(nGN,)

23nn

(0)求an及bn：

(回)记数列『nbn｝的前n项和为Tn,求Tn.

【分析】（回）干脆由ai=2,ami=2an，可得数列｛aM为等比数列，由等比数列的通项公

式求得数列｛aj的通项公式；

再由bi=l,bi+—b2+—b3+...+—bn=bn*i_1,n=l求得bz=2,当n22时，得另一，递推

23n

式，作差得到L）=b「b，整理得数列｛上吗为常数列，由此可得回｝的通项公式;

nn什1nn

（团）求出afn二n，2%然后利用错位相减法求数列匕拾力的前n项和为Tn.

n

【解答】解：（①）由ai=2,an*i=2an,得&=2（n€N*）,

由题意知,当n=l时，b产bz-1,故bz=2,

当n22时，bi+—b2+-b3+...+―--b『bn-1,和原递推式作差得,

23n-ln-1

lb=b「b，整理得：33，

nnDnHn+1n

bn=n(n€N*)；

5)由5)知，%bn=n・2%

因此T『2+2・22+3-23+-+n-2n

234rH1

2Tn=2+2-2+3-2+-+n-2--

2n_n+1：：n+1.

两式作差得：-Tn=2+2+,"+2n*2—~-n*2

T『（n-1）・2nH+2（nGN*）.

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础学问，同时

考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证明力，是中档题.

19.（2015•安徽）已知数列｛aj是递增的等比数列，且ai+a4=9,a2a3=8.

（1）求数列｛an｝的通项公式;

（2）设Sn为数列｛an｝的前n项和，bn="里_,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

SnSnH

【分析】（1）依据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列｛aj的通项公式;

（2）求出bn=3±l一，利用裂项法即可求数列｛bj的前n项和Tn.

SnSrrH

【解答】解:（1）•.•数列屈｝是递增的等比数列,且ai+a4=9,a2a3=8.

•*ai~^34=9,aia4=a2a3=8.

解得ai=i,a4=8或ai=8,a4=l(舍),

解得q=2,即数列｛aj的通项公式an=2。1

(2)Sn=

1-q

b“_&n+lSn+l-$n1_1

SnSnH^n^rd-1^n+1

1

数歹U{bj的前n项和Tn=^--J-+J--工…+!--J—」

Sn+1

1S2s2S3SnSn+1S]Sn.2-1

【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题

的关键.

n

20.（2015•山东）设数列｛aj的前n项和为Sn，2Sn=3+3.

（0）求｛an｝的通项公式；

（回）若数列｛bn｝,满足anbn=log3an,求®｝的前n项和T”

nl

【分析】（回）利用2Sn=3n+3,可求得ai=3；当n>r时,2Sn-i=3+3,两式相减2an=2Sn

-2Sn-l,可求得an=3n1,从而可得｛aj的通项公式；

1nn1=ln

（田）依题意,anbn=log3an,bi=—,当n>l时，bn=3*log33（n-1）X3,

3

12

于是可求得Ti=bi=L；当n>l时，Tn=bi+b2+...+bn=l.+（lX3+2X3+...+（n-1）X

33

3「n）,利用错位和减法可求得｛bn｝的前n项和Tn.

【解答】解：（团）因为2Sn=3n+3,所以2al=31+3=6,故ai=3,

当n>l时，2Sni=3n-1+3,

nnln1

此时，2an=2Sn-2Sn.i=3-3=2X3-,即2小3-1,

3,n=l

所以an=.

3n-1,n>l.

(回)因为anbn=log3an，所以bi=〃

lnn1ln

当n>l时，bn=3*log33*=(n-1)X3,

所以Ti=bi=—；

3

+1n

当n>l时'，Tn=bi+b2+...bn=—(1X31+2X32+...+(n-1)X3),

3

2n

所以3Tn=l+(1X3°+2X31+3X32+..,+(n-1)X3'),

]一n

两式相减得：2Tn=Z+(3。+3]+32+...+32n-(n-1)义3「相=2+上心——-(n-1)

331-3-1

X31'nJ3_6n+3,

62X3n

所以Tn="-巨城经检验，n=l时也适合，

124X3n

综上可得Tn=H-显也.

124X3“

【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查"错位相减法"

求和，考查分析、运算实力，属于中档题.

n

21.(2008•全国卷回)设数列｛aM的前n项和为Sn.已知ai=a,anti=Sn+3,nGN*.由

(0)设bn=Sn-3%求数列｛bn｝的通项公式；

(0)若amiNan,nGN,,求a的取值范围.

【分析】(回)依题意得Sn.i=2Sn+3n,由此可知Sn+1-3m=2(Sn-3D.所以bn=Sn-

(a-3)2n-1,nGN".

nn1

(0)由题设条件知Sn=3+(a-3)2_,nWN*,于是，an=Sn-Sn.

on-2

i=2n-2[12*(—)+a-3]>由此可以求得a的取值范围是[-9,+°°).

【解答】解：(回)依题意，Sml-Sn=an.l=Sn+3n,BPSn.l=2Sn+3%

由此得Sn.l-3n，1=2Sn+3n-3心=2(Sn-3D.(4分)

因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2nl,nGN*.①(6分)

(0)由①知Sn=3n+(a-3)2nl,ndN*,

于是，当n22时，

nn1n1n2n2n2

an=Sn-Sni=3+(a-3)X2-3