高中数学课堂讲义-总体百分位数的估计

高中数学课堂讲义一总体百分位数的估计

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一从频数到频率.....................................................2

3.知识点二频率分布直方图...................................................2

4.知识点三其他统计图表.....................................................3

5.知识点四总体百分位数的估计..............................................3

6.练习........................................................................4

7.探究点一频率分布直方图的绘制............................................5

8.探究点二统计图的综合应用.................................................7

9.探究点三总体百分位数的估计..............................................9

10.探究点四根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数.....................11

11.课堂作业..................................................................13

12.课时作业（三十五）总体取值规律的估计总体百分位数的估计................15

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能根据实际问题的1.根据实际问题的特点，选择恰当的统

特点，选择恰当的统计图计图表对数据进行可视化描述.（数据分析）

表对数据进行可视化描2.学会列频率分布表，画频率分布直方

水

述，体会合理使用统计图图.（数据分析）

平一

表的重要性.3.理解百分位数的概念，会用样本常用

2.结合实例，能用样本百分位数估计总体百分位数.（数学运算、

估计总体的取值规律.数据分析）

3.结合实例，能用样本

水了解多种统计图表，体会合理使用统计

估计百分位数，理解百分

平二图表的重要性.（数据分析）

位数的统计含义.

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2.知识点一从频数到频率

1.频率表示频数与总数的比值.

2.频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频

数.在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布;

当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布.

3.知识点二频率分布直方图

1.定义：频率分布直方图中每个小矩形的底边长是该组的组垣，每个小距

形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小矩形的面积等于该组的频茎，即

频率

每个小矩形的面积=组距X赢=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方

图.

2.频率分布直方图与频率的关系

频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.

3.频率分布直方图的好处

(1)能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.

(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来

表示.

4.频率分布直方图的画法

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5.频率折线图

在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从

所加的左边区间的曳度开始，用线段依次连接各个矩形的顶端曳直，直至右边

所加区间的中点,就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.

［点拨］(1)频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个

数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度

来表示数据分布的规律.

(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1.

4.知识点三其他统计图表

统

条形图扇形图折线图复合条形图

计图

将两组数据

用于直观描

同时反映到一个

述不同类别或分用于直观描用于描述

特条形图上.通过条

组数据的频数和述各类数据占总数据随时间的

八占、、形图中柱的高低，

频率，适用于描数的比例变化趋势

可以更直观地比

述离散型的数据

较两组数据

［点:段］(1)条形图是月习一个单位长度表示一定的数量或3更率，根据数量的多

少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具

体数目或频率.

(2)扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部

分所占总数的百分数.

(3)在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.

5.知识点四总体百分位数的估计

1.第〃百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少

有侬的数据小于或等于这个值，且至少有(100—〃)％的数据大于或等于这个值.

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2.第〃百分位数的计算

计算一组〃个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=〃Xp%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为/,则第p百分位数为第7

项数据；若i是整数，则第〃百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

3.第25,50,75百分位数,把一组由小到大排列后的数据分成四等份，

因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第

75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.

6.练习

1.判断正误(正确的打“，错误的打“x”)

(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率

与组距的比值.()

(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.()

(3)频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.()

(4)若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于

23.()

答案：(1)V(2)X⑶J(4)X

2.一个样本量为80的样本中，数据的最大值为152,最小值为60,组距

为10,应将样本数据分为()

A.10组B.9组

C.8组D.7组

A［由题意知，152-60=92故应分成10组.］

3.下列一组数据的第25百分位数是()

2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A.3.2B.3.0

C.4.4D.2.5

A［把该组数据按照由小到大排列，可得：

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2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由i=10X25%=2.5,

不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数.］

4.某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的

车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方

图的数据估计400辆汽车中时速在区间［90,110)的约有辆.

解析：由题图可知，时速在区间［80,90),［110,120］的频率为(0.01+

0.02)X10=0.3,

所以时速在区间［90,110)的频率为1—0.3=0.7.

所以时速在区间［90,110)的车辆数为400X0.7=280.

答案：280

7.探究点一频率分布直方图的绘制

某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽取50名知识分子，其

年龄分别如下:

42,38,29,36,41,43,54,43,34,44,

40,59,39,42,44,50,37,44,45,29,

48,45,53,48,37,28,46,50,37,44,

42,39,51,52,62,47,59,46,45,67,

53,49,65,47,54,63,57,43,46,58.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出样本的频率分布直方图；

(3)估计年龄在［32,52)中的知识分子所占的比例约是多少.

解析：(1)极差为67—28=39,取组距为5,分为8组，样本频率分布表

如下：

分组频数累计频频

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数率

0

[27,32)T3

.06

0

[32,37)2

.04

0

[37,42)8

.16

10

[42,47)正正正一

6.32

0

[47,52)正下8

.16

0

[52,57)正5

.10

0

[57,62)4

.08

0

[62,67]4

.08

51

合计

0.00

(2)样本的频率分布直方图如图所示.

⑶由样本的频率分布表估计年龄在［32,52)中的知识分子所占的比例约是

0.04+0.16+0.32+0.16=0.68=68%.

方法技巧

1.在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系:

(1)若髓是整数，则鬣=组数；

(2)若黯不是整数，则窿的整数部分+1=组数.

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2.绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个

组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方

图.

［对点训练］

为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本（60名

男生的身高），分组情况如下（单位：cm）：

4)[147.5,[155.5,[163.5,[171.5,

组155.5)163.5)171.5)179.5]

62127m

数

多

0.10.35a0.1

率

（1）求出表中a,m的值；

（2）画出频率分布直方图.

解析：（1）由题意得6+21+27+机=60,所以〃2=6.

27

0=77；=0.45,所以“=0.45.

60

（2）作出频率分布直方图如图所示.

8.探究点二统计图的综合应用

随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为

一种时尚.“健身达人”小陈为了解他的好友的运动情况，随机抽取了部分好

友进行调查，把他们6月1日这天行走的情况分为四个类别：A（0〜5000步）（说

明：“0-5000”表示大于等于0,小于等于5000,下同），B（5001〜10000步）,

（2（10001~15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：

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请依据统计结果回答下列问题：

(1)本次调查中，一共调查了多少位好友？

(2)已知A类别好友人数是D类别好友人数的5倍.

①请补全条形图(1);

②扇形图(2)中，“A”对应扇形的圆心角为多少？

③若小陈共调查了150人，请根据调查数据计算其中有多少位好友在6月1

日这天行走的步数超过10000步.

解析：(1)本次调查的好友人数为6・20%=30.

(2)①设D类别好友人数为a,则A类别好友人数为5a.

根据题意，知a+6+12+5a=30,解得a=2.

即A类别好友人数为10,D类别好友人数为2.

补全条形图如图所示.

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°X而=120°.

③被调查的150人中，6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数

,12+2

为150X』-=70.

方法技巧

条形统计图、扇形统计图和折线统计图的区别与联系

统计图区别联系

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(1)直观反映数据分布的大致情况；

条形统计

(2)清晰地表示各个区间的具体数目；

图

(3)会丢失数据的部分信息在同一组数

(1)清楚地看出数据分布的总体趋势及各据的不同统计图

扇形统计

部分所占总体的百分比；表中，计算出相

图

(2)丢失了原来的具体数据应组的频数、频

(1)表示数据的多少和数量增减变化情况；率应该相等

折线统计

(2)制作类似于函数图象的画法，侧重体现

图

数据的变化规律

［对点训练］

小李一星期的总开支分布图如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示,

则小李一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()

A.30%B.10%

C.3%D.不能确定

C［由扇形图图(1)知，小李一星期的总开支分布情况；由条形图图(2)知小

李一星期的食品开支具体分布，从而再借助图(2)计算出鸡蛋开支占总开支的百

分比.由图(2)知，小李一星期的食品开支为30+40+100+80+50=300(元).由

图(1)知，小李一星期的总开支为300・30%=1000(元)，则小李一星期的鸡蛋开

支占总开支的百分比为(30+1000)XI00%=3%.故选C.］

9.探究点三总体百分位数的估计

从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单

位：g)如下：

7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

(1)分别求出这组数据的第25,50,95百分位数；

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(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优

等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

解析：(1)将所有数据从小到大排列，得

7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9.

因为共有12个数据，

所以12X25%=3,12X50%=6,12X95%=11.4,

QA_1_QO

则第25百分位数是「一=8.15,

QC_|_QC

第50百分位数是年?二=85

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12X15%=1.8,则第15百分位数是第2个数

据为7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.

(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15,第50百分位数为8.5,第

95百分位数是9.9,所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g

且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠

为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.

方法技巧

1.我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.

2.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第

50百分位数，第75百分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分

成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四

分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.

3.象第1百分位数，第5百分位数，第90百分位数，第95百分位数和第

99百分位数在统计中也经常被使用.

［对点训练］

数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是.

解析：因为8X30%=2.4,故30%分位数是第三项数据8.4.

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答案：8.4

10.探究点四根据频率分布直方图计算样本数据的百分位

数

某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民

的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收

费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400

千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数

关系式；

(2)为了了解居异的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户

的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，

今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,。的值;

(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.

角星析：(1)当0WxW200时，y=0.5x；

当200<xW400时，y=0.5X200+0.8X(x-200)=0.8x-60；

当x>400时，y=0.5X200+0.8X200+1.OX(%-400)=x-140.

所以y与x之间的函数关系式为

f0.5x,04W200,

0.8x—60,200<xW400,

Lx-140,x>400.

(2)由(1)可知，当y=260时，x=400,即用电量不超过400千瓦时的占80%,

结合频率分布直方图可知

0.001X100+2X100/2+0.003X100=0.8,

<

1000+0.0005X100=0.2,

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解得a=0.0015,8=0.0020.

(3)因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003)X100=

60%,

用电量不超过400千瓦时的占80%,因此75%分位数一定位于［300,400)

内，

所以75%分位数约为300+100X痣三黑=375,

O.oU-U.oU

即用电量的75%分位数约为375.

方法技巧

1.根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方

图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用公式求解.

2.确定要求第p百分位数所在分组［A,B),由频率分布表或频率分布直方

图可知，样本中小于A的频率为m小于8的频率为"所以第p百分位数=A

［对点训练］

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不

同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知

程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：［20,25),第二

组：［25,30),第三组：［30,35),第四组：［35,40),第五组：［40,45］),得

到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.

⑴求X；

(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数).

解析：(1)第一组频率为0.01X5=0.05,所以％=澈=100.

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（2）由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%,年龄低于35岁的所占比

例为70%,所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35）内，由30+

0.50-0.40

5X0.70-0.40=y七32,所以抽取的无人的年龄的50%分位数约为32.

11.课堂作业

1.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：h）,制成了如图所示的

频率分布直方图，样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,

[27.5,30].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5h

的人数是（）

16

OS.10

08

0.04

0.02

0

17.52022.52527.530自习时间/h

A.56B.60

C.140D.120

C[由题意得，自习时间不少于22.5h的频率为（0.16+0.08+0.04）X2.5=

0.7,故自习时间不少于22.5h的人数为0.7X200=140.故选C.]

2.（202。安徽淮北一中月考）为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了

20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图⑴所示，经过四

个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20

名肥胖者，下列结论不正确的是（）

[110,120]

(1)(2)

A.他们健身后，体重在区间[90,100）内的人数不变

B.他们健身后，体重在区间[100,110）内的人数减少了4

C.他们健身后，这20位肥胖者体重的中位数位于区间[90,100）内

D.他们健身后，原来体重在区间[110,120]内的肥胖者体重都至少减轻了

第13页共21页

10kg

D［对A,由三维饼图易得他们健身前后，体重在区间［90,100）内的人数

占比均为40%,故A正确.对B,他们健身后，体重在区间［100,110］内的人数

占比减少了50%-30%=20%,即减少了20X20%=4（人），故B正确.对C,

因为他们健身后体重在区间［80,90）内的人数占比为30%,体重在区间［90,100）

内的人数占比为40%,故中位数位于区间［90,100）内，故C正确.对D,不妨

设这20名肥胖者中体重在区间［110,120］的某肥胖者原来的体重为110kg,健

身后体重为109kg,依然满足题中条件，不一定至少减轻了10kg,故D错误.］

3.如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成

绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位

数是.（结果保留两位小数）

解析：由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为

(0.01+0.015+0.015+0.03)x10X100%=70%,分数在130分以下的学生所占的

比例为(0.01+0.015+0.015+0.03+0.0225)X10X100%=92.5%,

因此，80%分位数一定位于［120,130)内.

,,0.80-0.70

由⑵+0.925—0.7。X10~24.44,

故此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.

答案：124.44

4.某校100名学生期中考试语文成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所

示，其中成绩分组区间是［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］.

⑴求图中。的值;

（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数⑴与数学成绩相应分数

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段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在［50,90）之外的人数.

分

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

数段

X

1:12：13:44:5

:y

解析：（1）依题意得，10X（2a+0.02+0.03+0.04）=1,解得a=0.005.

（2）数学成绩在［50,60）之间的人数为100X0.05=5,数学成绩在［60,70）之

14

间的人数为100X0.4X］=20,数学成绩在［70,80）之间的人数为100X0.3X-

=40,数学成绩在［80,90）之间的人数为100X0.2x1=25,所以数学成绩在［50,

90）之外的人数为100—5—20—40—25=10.

12.课时作业（三十五）总体取值规律的估计总体百分位

数的估计

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

［A级基础达标］

1.已知一组数据为4,5,6,7,8,8,第40百分位数是（）

A.8B.7

C.6D.5

C［因为有6位数，所以6X40%=2.4,所以第40百分位数是第三个数6.

故选C.］

2.如图是某年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比其

前一年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：

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/mi-----1

，LJI_____I

①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；

②深圳和厦门往返机票的平均价格同其前一年相比有所下降；

③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州；

④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

C[变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表

明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③

都正确，结论④错误.]

3.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，

将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；

第二组：成绩大于等于14秒且小于15秒；…，第六组，成绩大于等于18秒且

小于等于19秒.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17

秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学

生人数为》则从频率分布直方图可分析出x和y分别为（）

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A.0.9,35B.0.9,45

C.0.1,35D.0.1,45

频率

A[因为频率=组距X箍，所以成绩小于17秒的学生人数占全班总人

数的百分比为x=0.02X1+0.18X1+0.36X1+0.34X1=0.9,成绩大于等于15

秒且小于17秒的学生人数为y=50X（0.36X1+0.34X1）=35,故选A.]

4.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统

计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（）

A.250B.150

C.400D.300

120

A[甲组人数是120,占30%,则总人数是就=400.则乙组人数是

400X7.5%=30,则丙、丁两组人数和为400—120—30=250.]

5.（多选）已知100个数据的75百分位数是9.3,则下列说法不正确的是（）

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的

平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的

平均数

ABD[因为100X75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平

均数为第75百分位9.3,所以A、B不正确；C正确；D不正确.故选ABD.]

6.数据7.5,8.1,8.3,8.5,8.6,8.9,9.0,9.5,9.7,9.9,10.0的第30百

分位数是.

解析：因为11X3O%=3.3,故30%分位数是第四项数据85

答案：8.5

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7.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频

率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a=.若要从身高在［120,

130),［130,140),［140,150］三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18

人参加一项活动，则从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为.

解析：因为频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,所以10X(0.005

+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得4=0.030.由频率分布直方图可知身高在

［120,130),［130,140),［140,150］三组内的学生总数为100X10X(0.030+0.020

+0.010)=60,其中身高在［140,150］内的学生人数为10,所以从身高在［140,

150］内的学生中选取的人数为18X需=3.

答案：0.0303

8.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据,

可知其25%分位数为.

解析：由图可知第一组的频率为0.04义5=0.2<0.25,

前两组的频率之和为0.04X5+0.1X5=0.7>0.25,

则可知其25%分位数在［10,15)内，设为x,

则0.1X(x-10)=0.25-0.2,解得x=10.5.

答案：10.5

9.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至

350度之间，频率分布直方图如图所示.

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11一.