高中数学必修一讲解

高中教学必修一专题讲解

一.定义成问题.....多为简单函教与复合函数的定义域互求。

例1.若的数y=f(xj的定义城是[-2,2],则函数y=f(x+1)+ffx-1J的定义成为

练习：已如四教f(x)的定义城是[-1,2],求曲教/[log।(3_x))的定义域。

例2：已知函数/(logsx)的定义成为[3,11],求合教f(x)的定义域o

练习：定义在(3,8]上的必数f(x)的值域为[-2,2],若它的反心教为产(x),则y=f」(2-3x)的

定义域为

,值臧为0

二、依城问题

例3.设的教f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)忌成立，且存在芭W%，

使得/($)。/(々)，求的数f(x)的值城。

三、斛折式问题(换元法，斛方程组，待定系数法，适推法，区间转移决，

例4.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)

例5,设对满足xwO.xwl的所有卖数x,1+x，求f(x)的斛

析式,。

例6.已知f(x)是多项式函数，JLf(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,f(x).

例7.是否存在这样的翦教f(x),使下列三个条件：

(7)f(n)>O,neN；@f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n„n2€N*;

③f(2)=4同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存左，说明理由.

31

例8.已知/(X)是定义在R上的偶函数，且/(九一彳)=/(x+2)恒成立，当xe[2,31时,

f(x)=x,则当xe(-2,0)时，的数/(x)的斛析式为()

A.|x-2|B.|x+4|C,2+D.3—|x+1|

练习：1、设y=f(x)是实数函数(即x,f(x)为实数)，且f(x)-2f(1)=x,求证:|f(x)e2VI

x3

2.12006重庆)已知定义域为R的的数f(x)满足

(I)若Q)=3,求印)；又若他)=心求他)；

fnj设有且仅有一个实数XQ,使得=A(),求函数f[x)的斛析表达式。

解：(/)因为对任意、xeR,有/(/(x)-x2+x)=f(x)-x2+x

所以/(/(2)-22+2)=/(2)-22+2

又由/(2)=3,得/(3-2?+2)=3-22+2,即/⑴=1

若/(0)=%则/-02+0)=a-02+0,即f(a)=a

(II)因为对任意XwR,f(f(X)-x2+x)=f(x)-X2+X.

又因为有且只有一个实数/，使得/(%)=/

所以对任意xwR,有/(%)--+工=与

在上式中令x=/，有f(X。)-X；+/=%0

再代/(/)=/，得=故%=0或%=1

若％0=0,WOf(x)-x2+x=0,即/(x)=%2-x

但方程--工二%有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x°H0

2

若x()=l,则有/(x)-x+X=1,即/(X)=i-X+1易验证该函数满足题设条件。

综上，所求函数为/(彳)=42一x+1(xwR)

3、困教对一切实数x,y均有«x+y)・/(y)=(x+2y+1)x成立，且(1)=0,⑴求/(0)

的值

(2)对任意的％G(°，g)，x2£(°,；)，都有4x)+2＜J0gdX2成立时，求a的取值范倒、

斛：⑴由已知等式/(x+y)-/(y)=(x+2y+l)x,令x=l,y=0得/(1)-/(0)=2,又•//©印，

・•・/3=2

(2)由/Cx+y)-/(y)=(x+2y+l)x,令y=0得f(冗)_/(0)=(%+1)%,

由⑴知/(0)=—2,f(X)+2—X+X(0J_),f(A；)+2=Aj~+Aj=(Aj4—)2在

tx1e,224

13

百w(0,5)上单调成增，/./(%))+2G(0,-).要使任意用£，X?£(°，二)都有

2

31

/(X)+2＜log"/成立，必有］＜k)gaX2都成立•当。＞1时，log”々＜log”5,显然不成立,当

13^4^4

。＜时，警径彳工。＜二。的取值范囹是【彳」)、

0＜1(logt/x2＞)logw—-4,1

方法提炼怎样赋依？需要明确目标，细心研究，反复试验;(2)小题中实质是不等太恒成立问题.

五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法斛决)

例10.设法数f(x)对任意实教x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,Xf(l)=2

求f(x)

在［-3,3］上的最大值和最小值.

解析：由单调性的定义步骤设X］VX2，则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(xO.Cvx2-x1>0,

.,.f(x2-x1)<0)

所以f(x)是R上的戒法敷，故f(x)在［-3,3］上的城大值为f(3)=f⑴+f(2)=3f⑴=-6,小小值为

f(・3).

令x=y=O,得«0)=0,令丫=%得f(・x)+f(x)=f(O)=O,即f(x)为奇函数.「.f(・3)=・f(3)=6.

练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y,有

f(x+y)=f(x)f(y),求证：f(x)在R上为增函数。

证明:设R上X1<X2,则f仅

f(X2)=f(X2,i+Xi)=f(X2・Xi)f(X]),(注意此处不能直接得大于f(XI),因为f(xj的正负还没确

定)。

取x=y=O得f(0)=0或f(O)=l;若f(0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛

盾，所以f(0)=l,x>0时，f(x)>1>0,xv0时,・x>0,••由

/(0)=f(x)f(-x)=l»/(x)=—!—>0.故f(x)>0,从而f(X2)>f(x]).即f(x)在R上是增

f(一”)

函数。r注意与例4的解答相比较，体会解冬的灵活性)

例11、已知偶后教的定义域是x#0的一切实教，对定义境内的任意汨，出都有

/(玉・%)=/(须)+/(%)，且当X>1时/⑴>0"⑵=1,

(V/(M在(0，+8)上是增法数；(2)斛不等式/(2/一1)<2

姆⑴设工2>匹>0，则f(x2)-/(Xj)=y(Xj•—)-/(X,)=/(Xj)+/(—)-/(X,)=f(—)

Xx阳/

・.・冗2>%>0，・.・三>1，・・・/(*)>0，即/(工2)一/(%)>0，・.•/(%2)>/(%)

%七

・•・/(幻在(0,+8)上是增函教,

(2八・/(2)=1,/(4)=/⑵+/(2)=2,v/(x)是偶函教.•.不等式f(2x2-1)<2

可化为,又...法教左(0,+8)上是增函教，0#=|2r-l|<4,斛得：

,,VioVio„一五、

{x|...-<x<2且x*士

练习：已知法教的定义域为R，a对0ER,恒有/(/计/7)=/(/功+/(/7)-i,a/(-

—)=0,当x>一e时，>0.求证：是单调遗增的数；

11

证明：设Mv为，则七一为一/>一万•，由题意人应一不一—)>o.

1

-心应一z)-为一

・・.-f(x])=f[(x2-N)+M_71)=-%)+4%)-1-Zki)=/(1=/(N)+/(--)-1=/,

1

A应-N)--J>0.

•••4M是单调遹增函数・

例12、定义在R+上的函数f(x)满足：①对任意实数m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.

⑴求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立；(2)证明f(x)是R+上的单调增禹教；

(3)若f(x)+f(x-3)<2,求x的取值范围.

斛:⑴令x=2m,y=2n,其中m,n为实数，则f(xy)=f(2m+n)-(m+n)f(2)=m+n.

又f(x)+f(y)=f(2m)+fQn)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)

(2)证明加<X]VX2,可如vnJH麻]=21x2=2、

由⑴得f(x1)-f(x2)=f(—)=f(2,n-n)=(m-n)f(2)=m-n<0

x2

故f仅i)Vf(X2),即f(x)是R+上的增舀教.

(3)由f(x)+f(x-3)&2及f(x)的性质，得f[x(x-3)]<2f(2)=f(2),斛得3Vx<4.

练习1:已知/(X)是定义在(0,一)上的单调增函数，对于任意的相、(0,+8))满足

于(m)+f(n)=/(根〃)，且a、<a<Z?)满足\f(a)\=\f(b)\=2

(1)求”1);….…(2)若f(2)=1,解不等式/(x)<2;............(3)求证：3<b<2+42

练习2、定义在R上的函数片,(切,f(0)力0,当x>0时，f(x)>1,且对任

意的"beR,有a+b)=f(a)•f(b),

(\)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意的x€R,恒有fix)>0；

(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若-f(2x-^)>1,求x的取值范

围.

cij证明：令a=6=o,则f(o)=f210).又wo,：.f(o)=i.

(2)证明：当*vO时，-x>0,f(0)=f(x)•f(-x)f(-x)=1>0.

/(A-)

又x>0时>1>0,R时，恒有f(M>0.

(3)证明：设外〈电，则x2-x]>0.:.f(x2)=f(x2-x]+x])=f(x2-x})-f(xx).,：x2-xy>Q,

:.f(x2-x])>].^f(x])>0,:.f(x2-x})-f(x})>f(x}),:.f(x2)>f(x}).:.f(x)是

R上的增函数.

(4)f(x)-f(2x-4)>1,f(0)=1得f(3x-A2)>f(0).又Z7M是R上的增苗效，

/.3x-A2>0./.0vxv3.

l,

关建会注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中f(x2)=f[(x2-x])+xj”是证

明单调性的关键，这里体现了向条件化归的篆唉

练习3.设f(x)是定义在R上的奇函数，反对任意a,b,当a+b*O,都有/(“)+/⑸

a+b

>0

flJ.若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小；

(2).若f(kvO对xC[-1,1]恒成立，求实数k的取值

范围。

(由>0可得f(a)>f(b)/<2j5-l)

练习4.已知法教f(x)对任何正数x.y都有f(xy)=f(x)f(y),JLf(x)#=O,当x>l时,f(x)<1.

试判断f(x)在(0,+8)上的单调性,并说明理由.

解:对xwR+有f(x)=f(4・4)=f2Q7)W0,；^f(x)w09f(x)>0，设x,X,eR+且x,<x,则五>1则

X,

「吗)V：，X')«：)""').所以f(%)>f(X2),故f(X)在R+上为减近数.

f(X|)f(x|)f(xJ)X)

练习5、奇函数/(x)在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,则(x-l)/(x+l)>0的解集为(C)

A>(—2,—1)u(1,2)B、(一3,1)u(2,+°°)....C、(一3,—1)£)、(一2,0)u(2,+°°)

练习6..已知的教/(x)的定义域为[0』],且同时满足：

⑴对任意xe[0,1],总有/(x)22；

(2)/(1)=3

(3)若须>0,x2>0JL+x2<1,则有f(xt+x2)>/(%1)+/(X2)-2.

(I)求/(0)的依；

(II)求/(x)的最大值；

(111)设数列｛4｝的鬲""项和为S“，且满足S“=一十(4—3),N.

求证：/(q)+/(/)+/(4)+…+/(6,)+2〃一^=1.

解：(\)令玉=々=0，由(3),则/(0)22/(0)—2,.•./(())W2

由时任意xe[0,1],总有/(九)22,.•./(())=2(2分)

(IIJ任意罚，*2e[0』]a王</，0<x2-x,<1,/.f(x2-x,)>2

f(x2)=f(x2-^+xl)>/(x2-xI)+/(xl)-2>/(x,)fmM(x)=f(I)=3

(6分)

(Ul)vS,=-i(«„-3)(neN*):.S,,.,=-3)(n>2)

•••an=1«„_1(»22),;q=1H0J.an=吉(8分)

f(an)~/(5^T)=/(=+*+*)?/(/)+/(=)-2>3/(击)-4

」./(*)《I/(击)+件,即/(4+i)4。/(4)+*。

：.扬)号/(41)+答*/(*)+毋+/4一<*/(4)+负+壬_|—1+4=2+点故

/(4)42++

f(<2,)+,/(a,)H---Ff(ci„)<2〃-l——即原式成立。(14分)

1-3

六•、奇偶性问题

例13.ri)已知函数f(x)(x片0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x.y)=f(x)+f(y),

试判新的数f(x)的奇偶性。

斛析：舀救具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关东：

取y=-l有f(-x)=f(x)+f(-1),JfsLx=y=-1有f(1)=2f(-l),取x=y=1有f⑴=0.所以

f(-x)=f(x),即f(x)为偶的数。

(2)已知y=/(2x+l)是偶函教.，则函数y=42M的图象的对称轴是(D)

A.x=1B.x=2C.x=---D.^=—

22

斛析：f(2x+l)关于x=0对称，则f(x)关于x=l对称，故f(2x)关于2x=l对称.

注：若由奇偶性的定义看复合舀数，一般用一个简单函数来表示复合法数，化察为简。F

(x)=f(2x+1)为偶图教，则f(-2x+l)=f(2x+1)-f(x)关于x=1对解。

例14：已知的数f(x)的定义域关于原点对称a满足⑴/l(x—y)=4^^^,(2)存

在正常教a,使f(a)=l.求证：f(x)是奇函教。

f(y)fq)+l_f(y)f(x)+l

证明：设t=x-y,则/(T)=/(y—x)==-f(t)＞所以f(x)为奇

心教。

例15：设f(x)是定义在R上的偶函救，且在(一8,0)上是增函数，又

f(2a2+a+l)<f(3a2-2a+l)»求实数a的取值范围。

斛析：又偶晶数的性质知道：/(%)在(0,+8)上或，而2。2+。+1>0,3a2-2a+l>0,

所以由/(2a~+a+l)</(3a~—2a+1)得2a~+a+1>3a~-2a+1,斛将0<a<3。

(设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些

条件变换如：/(。+1)</(1)或〃。+1)</(1-2。)等；也可将定义域作一些调整)

例16：定义在R上的单调函数/(M满足/(3)=log13且对任意x,y€R都有4*+同=4刈+4叼.

⑴求证/(M为奇的教；

(2)若耿・3*)+/(3*-9匚2)<0对任意*£/?恒成立，求实数Z的取值蔻围，

⑴证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y€R)--①令y=・x,代人①灰，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(O),

令x=y=O,代人①式，得f(O+O)=f(O)+f(O),即f(0)=0、即f(・x)=・f(x)对任意xER成立，

.・.f(x)是奇的教.

(2)斛：f(3)=log23>0,即f⑶〉f(0),又f(x)在R上是单调的数，所以f(x)在R上是增

函教，又由⑴f(x)是奇函数、f(k-3x)<-f(3A-9v-2)=f(-3A+9A+2),k-3vv-3“+9”+2,

3°”-(14-k)・3'+2>0对任意*€区成立、令t=3'>0,即t?-(l+k)t+2>0对任意t>0

恒成立、

令f(t)=/一(]+上"+2,其对称轴*=

当上.<o即a<_[时，/(o)=2>o,符合题意；故：“<—1+2\/方寸,/(%,3')+/(3'—$—2)<0对任意x

当甘之0时.

(l±A>n

对任意1>oja)>o恒成立o{2

(A=(1+Jt)2-8<0

解得-1<k<-]+2V2

GR恒成立°

说明：问题⑵的上述斛法是根据的数的性质,f(x)是奇函数且在xWR上是增心数，杷问

题转化成二次舀数f(t)=t2-(l+k)t+2对于任意t>0恒成立.对二次及数f(t)进行研究求解，本

题还有更简捷的解法：分离东数由k-3*<-3*+9*+2各

攵<3'+京-1,而〃=3'+>122&-1,

2

要使对x£R不等式攵<3'H--------1.恒成立，只需kv2j5—1

3V

上述斛决是将k分需出来，然后用平均值定理求嚼，简捷、新颖.

练习：1、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的的数，旦对于任意的的救a,b都满足

f(ab)=af(b)4-bf(a).

⑴求f(0),f⑴的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论；

n

(3)若f(2)=2,un=f(2)(n£N*),求证:4+1>4(n€N*).

解:⑴、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1.得f(1)=0.

(2)、令a=b=-1,得f[(-1)(・1)]=・f(-1)-f(-1),f(・l)=0,故f(-x)=f[(・1)(x)]=-f(x)+xf(-l)=-f(x),故f(x)为奇函效.

n

(3)先用教学归纳法证明:un=f(2)>0(n€N*)(唯)

2.定义城为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，旦当x>0时

f(x)<0恒成立.

⑴判新的教f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为球的数；若的教f(x)在[-3,3)上总有f(x)46成立，试确定f⑴应满足的条件；

⑶解关于X的不等式！*2*2)-£屋)>,1^2*)-£0,(11是一个给定的自然数,2<0)

nn

群：ru同例16(略j

(2J设任意X],X2€Rax]vx2，则X2-X]>O,/.ffx2-x]Jv0,而f(X2-X])=f(X2)+f(-X[)=f(x2)

-f(x-\)v0；「.f(xi)>f(x2),即f(x)在(-8,+8)上是减函虬./仅)在卜3,3]上的量大值为f(-3).要使f(x)<6

恒成立，当只仅当f(-3)&6,又Tf(-3)=-f(3)=-fC2+1J=-[f(2)+f⑴]=-[fflj

+f⑴+f⑴]=-3f⑴，.・.f⑴>2

(3)-f(ax2)-f(x)>-ffa2xj-f(a)=ffax2J-ffa2xj>n[ffxj-f(aj]

nn

=f(ax2-a^xj>nf(x-a),由已知得：f[n(x-a)]=nf(x-aj.\f(ax2-a^x)>f[nfx-a)]

22

0/f(x)在(-8,+ooj上是戒国教」.ax-ax<n(x-a).即(x-a)(ax-n)<0,*.*a<0,(x-aj

fx-J>0,

a

讨论：fl)当av^vO,即av-Ji7时，原不等式斛集为｛x|x>三或xva｝；

aa

f2J3=—vO即a=-JiT时，原不等式的斛集为。；

a

(3)当RvavO时，即-Ji?vavO时，原不等式的斛集为｛x|x>a或xv三｝

aa

3.已知AM是定义在1-1,17上的奇函致，旦巾)=1,若a,be1-l,u,a+bwo时，有幽侬

a+b

>0.

⑴判断必教/(M在[-1，U上是增函数，还是减的教，并证明你的结论；

(2)斛不等式：/(A+-)</(—'―);

2x-1

(3)若f(x)<m2-2pm+]对所有f-UJ,p€f-UJ(夕是常数)恒成立，求实数

m的取值范囹.

.解：C)设任意*[,%WE旦々.由于是定义在♦一LU上的奇法数，.../(%)-4M)=/(%)+/(-

N).因为&<为,所以先>+(—/])*。，由己知有了(人)+/(一5)>0,•.•电+(一国)=为一%>0

X2+(-X|)

」./(&)+/(-*1)>0,即/(占)>/(*1),所以函数Z(M在r-tu上是增的数.

-1<X+—<1

7

(2)由不等式7(刈—)v4-------)得，斛得一Ivxvo,即为所求.

2x-1-1<―J------<1

x-1

(3)由以上如素.大值为小)=1,所以要《MW/n2-20〃计1对所有xWf-UJf-1JJ(p

常教)恒成立，只需Kzn2-2p/n+1恒成立，得卖数m的取值范围为m&O或m>2p.

七、周期性与对称性问题(由便争表简单利新：同号看周期，异号看对称)

编

O周期性对称性

/(x+4=/(-x+4-*对称轴x=aoy=/(x+@是偶必

/(x+a)=/(x-a)f教；

1

T=2|a|f(x+&==/(一九+。)一>对称中心(a,0；u>y=是奇

法教

f[a-x)=/3+工)一对称轴工=^^；

2/(«+%)=/(/>+%)-T=\b-a\

7(a-x)=-/(b+x)f对称中心(^1^,0)i

3f(x)=・f(・x+a)f对称中心

f(x)=-f(x+a)-*T=2a加

/(6l+X)=^+X)->

f(a+x}=-f(b-xjf对称中心(a+b

4T=2\b-a\25

f(x)=±/(x)fT=2|4f(x)=b・f«x+a)->对称中心

5(埼

f(x)=1-1篇.匐一

6T=3ia

结论：⑴函数图象关于两条直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)是周期的数，JLT=2|a-b|

(2)的数图象关于点M(a,O)和点N(b,O)对称，则的数y=f(x)是周期%数，JL

T=2|a-b|

(3)舀教图象关于直线x=a,及点M(b,O)对称，则的数y=f(x)是周期的数，且

T=4|a-b|

(4)应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别：

b-a

y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x-对称;y=f(a+x)J^>y=-f(b-x)关于点

2

,b~a,

(---,0)对称

2

(可以简单的认为：一个函教的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两

个同法则不同瓢达式的密致，对应法则下的西式加减等于0,解得的x为对称物)

例17：①已知定义在R上的奇法数〃M满足,(*+2)=〃M，则”6)的值为(B)

A.1B.0C.1D.2

解：因为f仅)是定义在R上的寺函数.，所以f(0)=0,又T=4,所以f(6)=f(2)=f(0)=0o

②函数f(x)对于任意的实效x都有f(l+2x)=f(L2x),则f(2x)的图像关于对称。

Cx=l/2J

(2010重庆)已知函数/(X)满足：/(1)=；，

练

^f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yeR),则/(2010)=

斛析：取x=1y=0得/(0)=g

法一:通过计算/(2),/(3),7(4).....寻径周期为6

法二：Wx=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)

联立得f(n+2)=—f(n-1)所以T=6it/(2010)=f(0)=g

例18.已知舀数y=f(x)满足/(x)+/(-x)=2002,求广«)+/12002—x)的值。

解：由已知式知的数的图象关于点CO,1001J对称。据原函数与其反的数的关东，知

函数y=f」(x)的图象关于点(1001,0；对称，所以/T(X+1001)+/T(1001-X)=0,即

/-'(%)+/-'(2002-x)=0

例19.奇法教f(M定义在R上，a对冷数丁＞0,恒有/(*+T)=/(M，则在区间［0,

277上，方程尸(M=0根的个数景小值为()C

A.3个B.4个C.5个D.6个

斛：•••/•(0)=0-玉=0,九fQT)=f(T)=/(0)=0->Aj=7；刍=27：又因为

=人+(令x=0得

=0.(本题易错选为A)

例20.(Df(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a€[5,9]JLf(x)在

[5,9]上单调。

束>a的4宣o

等：1f(x)=-f(6-x)」.f(x)关于(3,0)对称又:f(x)=f(2-x)「.f(x)关于x=l对称.'.T=8

f(2000)=f(0)又./％)=-f(2000)/.f(a)=-f(O)又:f(x)=-f(6-x)/.f(0)=-f(6)

f(a)=f(6)/.a=6

②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线

x=l对称,

a当xW[2,3]时，g(x)=2a(x・2)-4(x-2)3(a为希数且aWR)

⑴求f(x);

(2)是否存在aE[2,6]或aW(6,+8),使函数f(x)的图象的景高点优于宜线y=12

上？

若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

斛：设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f仅)).

・「y=f(x)的期象与y=g(x)的境象关于直线x=l对粽..,.点N(2-x,f(x))Ay=g(x)图象上.

由此得f(x)=g(2-x)(利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称)

设xW[-1,0],则2-xW[2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x，

又f(x)为偶自救0f(-x)=f(x),x£[-1,1]....当x£[0,1]时，f(x)=2ax-4x3

心卜2«+4/.xe[-l。)

—=1

\2ax-4i?t.x€[CJ]

(2)注意利f(x)为偶的数，只须研究f(x)在[OJ上的录大值.

()当aW(2,6]nt,由0=x=1^a-2x2>0,

fM=2x(a-2小寸v产毛药苧,当皿4:一/，即

x=~T时等号成立).由题奇知,f(x)的景大值为12.令母g=12得炉=486>6、,.-.a>6,ii

与aW(2,6]矛盾，故此时满足条件的a不存在.

2

()当a=2旦0<x<1时,f(x)=4x。一篮)

2"盘.(1-力地a5也

同理可证f(x)=9(当且仅当2*=1-x，即x=3时等号成立)，也

与已知矛盾.

()当a>6时，设05.〈吗$1,则f(*1)-f(Xa)=2a(*l-X，)一4(I_X/)=2(*1

Xa)[a-2(Xl+%的+弧)],由题设0<々+X*<3,a>6.-.a-2(Xl+&孙

a

+。)>o又片-孙<0

.•,f(xl).f(*2)<0即f(勺)vf(l),.・.f(x)在[0,1]上为增法教.此时J(刃=f(1)=2a-4.

令2a-4=12.解得a=8W(6.+8),适合题意.

因此.综合()()()知，存在a=8偿(6,+8).使得函数f(x)的图象的最高点住于直线1y=12上.

练习1、的敷y=/(X+1)是偶的救，则y=/(X)的图象关于X=1对称。

2.函数y=/(x)满足/'(x+3)=------,且/'(3)=1,i!,J/(2010)=-1。

/(x)

3.国数f(x)是定义在R上的奇困数，且/(g+x)=/g—x),则/(1)+/(2)+/。)+/(4)+/(5=

1

解析：法一：因f(x)为奇助数JL关于X=一对称，T=2,可借助图象斛答，得结果为0.小结：此方法为数

2

形结合法

法二：因f(x)为奇翦数a关于x=；对称，类比/(尢)=sinx联想函数f(x)=sin;rx

••/(］)+y(2)+/(3)+f(4)+/(5)=°，小结：此方法为抽象法数具体化决

4、已知函数y=/(2x-l)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)是)=/(力的反函救，若

A；+^=Osi!'Jg(x,)+g(x2)^(D)

AJ2B;0C)1DJ-2

将折：决一：(西教具体化)设/(力=x+l符合题总，则4©="T网

g(Aj)+g8)=a—1)+(々-1)=(西+%)-2=1,

法二：y=f(2x-1)是R上的专函数->f(-2x-1)=-f(2x-1),即f(-2x-1)+f(2x-1)=0,由反舀数的关条就可以

取X］=f(-2x-1),x2=f(2x・1),所以g(xj+g(x2)=-2x-1+(2x-l)=-2.

5.设Z(M是A的奇的效，取+2)=—4M，当0<x<1,时,/(M=x则f(7.5)=-0.5

6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则产(x)+f」(3-x)=.0

7,f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，Xf(2)=0,则方程/7x)=0在

区间(0,6J内斛的个数的景小值是r)D

A.4B.5C.6D.7

8、设舀教f(x)的定义域为［1,3］,£.舀教f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称，已如当xP

［2,引时f(x)=i-2x,求当x位［1,2］时,f(x)的斛析式.

斛:由己知径f(x)=-f(4-x)0又当x修［1,2］时,4X位［2,3］,/.f(4-x)=(4-x)3・2(4-x)②

「.由①②得f(x)=-(x-4)'+2(4-x).,.当x邑［1,2］时,f(x)=-x,+6x-8

9.(09山东)已知定义在R上的奇困教/(X),满足/。-4)=一/(幻，且在区间［02］

上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)A区间［-8,8］上有四个不同的极玉，々，％3，X4，则

xl+x2+x3+x4=.-8

八、综合问题

例21.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n,总有，且当x>0对，0<f(x)<1o

(])判断f(x)的单调性；⑵设你则/(/b/〃)>/(D),8=((左则/(原-y+4)=L。嘲，

若Ap\B=(/)f试确定a的取值范囹。

姆(])在加+")=加"⑻中,令那=!>«=0,得/(D=川)/(0),因为/("0,所以

"0)=1。

在/(冽+%)=1/(冽)•/(%)中，令加=X,阀=-X,因为当x>0时，0</(力<1

所以“<o时一入>°，°</(f)<i,而〃x)J(-x)=/(°)=L所以

/w=_L_>1>0

又当x=O时，/(0)=1>0,所以，综上可知，对于任意xeR,均有了(外>°。

彳文一8<勺<为义<+°0,则心一无1>0,0</(X2-Xx)<1

所以/。2)=/[^1+(4一々)]