历年考研高数一真题

1995

填空题

(2)机，xcosdd£=

(3)设(axb)>c=2,则［(以+b)xR+c)］(c+以)=

21

(4)察级数£―---x"-的收敛半径R=

x-l2*+(-3?

(5)设三阶方阵4.6满足关系式：41历4=必+&4,且/=0；0，则6=.

00-

.7_

二、选择题

x4-3y+2z+1=0

(1)设有直线及平面开:4x-2_y+z-2=0,则直线L

2x-^-10z+3=0

(A)平行于九(B)在开上.

(C)垂直于兀(D)与开斜交.

(2)设在［0,1］上〃x)>0,则〃0)、/(I),〃1"〃0)或〃0)-〃1)的大小

顺序是

(A)/(1)>/(O)>/(1)-/(O).(B)/(1)>/(1)-/(0)>/(0).

(C)/(l)-/(0)>/(l)>/(0).(D)/(l)>/(0)-/(l)>/(0).

(3)设〃x)可导，尸(刀)=/5)(1+而也则〃0)=0是尸⑶在r=0处可导的

(A)充分必要条件.(B)充分条件但非必要条件.

(C)必要条件但非充分条件.(D)既非充分条件又非必要条件.

(4)设4=(-l)"ln(1+9),则级数

(A)£%与都收敛.(B)Z4与Z/，都发散.

JU-I?8-1x-1Z

coz%收敛而发歌•(D)Z%发散而收敛

»-1

的1a21以22010

(5)设/=,B=an以12，4=100

电1_a3l+，1%2+aU001

100'

B=010,则必有

101

(A)AP^=B①),弓=5

(C)RP2A=B(D)P2P1A=B

三、⑴设。=/(冗》2),。(#］,2)=0)=血耳其中/、典都具有一阶连续偏导数，且

d(p八以

—0,求一.

dzdx

(2)设函数〃x)在区间血1］上连续，并设［〃碎反=4求，否，〃4/(切力.

四、(1)计算曲面积分JJzdS,其中N为锥面z=J7+7在柱体/+1/W2x内的部分.

£

(2)将函数/(x)=x-l(0<x<2)展开成周期为4的余弦级数.

五、设曲线L位于xQy平面的第一象限内，L上任一点河处的切线与1y轴总相交，焦点记为

月已知阿=阿且L过点仔3求L的方程.

六、设函数Q(xj)在X。平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分(2初々x+Q(x,_y)的与

路径无关，并且对任意Z恒有

然2歹心+Q(x)2=喘2»dx+Q("也

求Q(").

七、假设函数〃x)和g(x)在［%可上存在二阶导致，并且

g'(x"O,〃a)=〃B)=g(a)=g@),试证：

(1)在开区间g,8)内g(x)ho；

(2)在开区间g,5)内至少存在一点△使4$=」典.

g©g©

八、设三阶实对称矩阵/的特征值为4=-1，4=4=L对应于4的特征向量为

g=(o,Li)r,求a

九、设/是"阶矩阵，满足=E是万阶单位阵，是/的转置矩阵，|/|<0,求

十、填空题

(1)设星表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为04则X?的数

学期望5(尤2)=.

(2)设x和y为两个随机变量，且

产｛尤之0,y20｝=［,产｛X20｝=产｛y之,则尸｛max(X,P)之0)=.

一X、C

十一、设随机变量x的概率密度为4(弓=<；：［o,求随机变量y=/的概率密度

力&)•

1996

填空题

x+2aY

(1)设lim=8则。=

XT9x-a7

（2）设一平面经过原点及点（6,-3,2）,且与平面4矛-?/+22=8垂直，则此平面方程为

（3）微分方程y-2y+2y=e*的通解为_____

（4）函数〃=Ink+77+?）在幺（L0,1）点处沿上点指向的方向导致为

'102-

⑸设N是4x3矩阵，且N的秩r（/）=2,而3=02。，则r（池）=

-103_

二、选择题

（1）已知（x+了）与1力为某函数的全微分，则a等于

G+刃

(A)-1.(B)0.(C)l,(D)2.

（2）设〃x）有二阶连续导数，且/⑼=0,1身背1=1,则

（A）〃0）是〃x）的极大值.

（B）/（0）是了门）的极小值.

（C）（0,〃0））是曲线y=〃x）的拐点.

（D）〃0）不是〃x）的极值，（0,〃0））也不是曲线丁=〃x）的拐点

⑶设仆＞0（阀=1,2,…），且收敛，常数斗则级数之（-1）*（附由二|町*

»-i\2/»_i\nJ

（A）绝对收敛.（B）条件收敛.

（C）发散.（D）敛散性与;1有关.

（4）设〃x）有连续的导致，〃0）=0,/（0”0,9（弓=,卜2-£2»0比,且当工―0

时，尸'（X）是与/是同阶无穷小，则上等于

00瓦

0%为0

（5）四阶行列式3的值等于

0%以30

400以4

（A）4］以2弓A一4打蟒4（B）aTa2a3a4+队娓电

（C）（以1以2-32）（以3以4一妙4）.（D）（以2以3-34）（以104一帖4）.

三、（1）求心形线r=a（1+cos6）的全长，其中以＞0是常数.

（2）设々=10,4+1=月三（附=1,2「）,试证数列｛与｝的极限存在，并求此极限.

四、⑴计算曲面积分JJ(2x+zHy由+zdx的，其中S为有向曲面z=/+/(OWz41),

其法向量与z轴正向的夹角为锐角.

(2)设变换?二'-2"可把方程6密+普一尊=o化简为《三=0,求常数a

v=x+aydx2dxdydydudv

五、求级数□盲京1加7的和，

六、设时任意x>0,曲线1y=〃x)上点(x,〃x))处切线在¥轴上得截距等于;「〃。山,求

〃力的一般表达式.

七、设〃x)在［0,1］上具有二阶导致，且满足条件到4。,|/'(力仁8其中以力都是非负

常数，。是(0,1)内任意一点，证明

|/(c)|《2a+/

八、设金其中总是"阶单位矩阵，4是万维非列向量，F是^的转置，证明：

(1)/2=幺的充要条件是^4=1；

(2)当F4=l时，金是不可逆矩阵.

2

九、已知二次型〃电程与)=5x「+5X2+咨2-2X/2+6内与-6X2X3的秩为2.

(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；

(2)指出方程/(芯1，兀2，尤3)=1表示何种二次曲面.

十、填空题

(1)设工厂幺和工厂3的产品率分别为1%和2%,现从由j和8的产品分别占60%和40

%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属总产品的概率是

(2)设&冉是两个相互独立且均服从正态分布N的随机变量，则随机变量归-加

的数学期望下(归一切)=_____

十一、设统乃是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知《的分布律为

产｛4="=；"=1,2,3,又设万=111就僮，7),¥=min(^，7)

(1)写出二维随机变量(星了)的分布律；

3

12

1

2

3

(2)求随机变量巨的数学期望E(X).

1997

一、填空题

3sinx+/cos—

2。(1+COSx)ln(1+X)

⑵设察级数£软犬的收敛半径为3,则幕级数£>.(矛-1)Z的收敛区间为

(3)对数螺线。=/在点处切线的直角坐标方程为

'12-2

(4)设工=4t3,B为三阶非零矩阵，且3=0,则1=.

3-11

(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一

球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是

二、选择题

⑴二元函数〃XJ)={x2+/'>''，在点(0,0)处

(xj)=(0,0)

(A)连续，偏导致存在.(B)连续，偏导数不存在.

(C)不连续，偏导数存在.(D)不连续，偏导数不存在.

(2)设在区间⑶可上>0,/(x)<0,/,(x)>0,令S]=

S2=/0)0—a)，S3=,〃a)+/9)[9—a)，则

(A)S]<闻的.(B)&<$1<^3

(C)&VS1吗.(P)S2<用<久

(3)设F(x)=『"%加sin团，则尸(x)

(A)为正常数.(B)为负常数.

(C)恒为零.(D)不为常数.

/队%

⑷设%=a2,a2=b2,<2^=巧，则三条直线

_，3_

ayx+b^+c1-0,a2x+b2y+c2=O,a^+b^y+c3=0(其中a：+8；w0,i=1,2,3)交于一

点的充要条件是

(A)%,生,％线性相关.(B)%，的,生线性无关.

(C)秩色)=秩厂(%,%)(D)%,%，的线性相关，%,火线性无关.

(5)设两个相互独立的随机变量£和¥的方差分别为4和2,则随机变量3X-2¥的方差是

(A)8.(B)16.(C)28.(D)44.

三、(1)计算/=_[“12+尸2)4/,其中口为平面曲线,"：22绕2轴旋转一周形成的曲面

QIX=。

与平面z=8所围成的区域.

(2)计算曲线积分0(z-yA+(x-z)的+("回曲其中C是曲线['+/=1,

c[x-y+z=2

从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为凶,在

£=0时刻已掌握新技术的人数为两,在任意时刻Z已掌握新技术的人数为武。(将武。视为

连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数

k>0,求x(z).

四、(1)设直线[:<，+'+'二°八在平面不上，而平面不与曲面z=/+_/相切于点

x+ay-z-3=0

(1,-2,5),求a、&之值

d2z,d2z2*i-

(2)设函数/也)具有二阶连续导致，而2=满足方程hX2求

〃口)

五、设〃X)连续，0(x)=J：〃xZ)丸且1搂丛“=力(/为常数：)，求g(X)并讨论而⑶

在x=0处的连续性.

六、设生=2,4+1=((11、

%H---，(v=1,2,…),证明:

\aJt)

(1)lim,存在;

(a1

(2)级数工收敛.

七、⑴设B是秩为2的5x4矩阵，％=(LL2,3)r,%=(-l,l,4,-l)r,%=(5T,—8,9)r

是齐次方程组Bx=0的解向量，求=0的解空间的一个标准正交基.

■1]12-12-

(2)已知，=1是矩阵工=5a3的一个特征向量.

-1Jb-2

(I)试确定参数a,5及特征向量，所对应的特征值；

QD间A能否相似于对角阵？说明理由.

八、设总是万阶可逆方阵，将工的第I行和第7行对换后得到的矩阵为8

(1)证明8可逆；

(2)求工歹)

九、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话

2

独立的，并且概率都是设星为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数

和数学期望.

十、设总体X的概率密度为

（6+1）/,0<x<1

〃力=

0,其他

其中8>-1是未知参数，西鹏2,…，'是来自总体X的一个容量为万的简单随机样本，分别

用矩估计法和极大似然估计法求8的估计值.

1998

一、填空题

Jl+=+Jl-x-2

(1)hm

XTO

1

⑵设z=▲」(9)+yo(x+y),」,*具有二阶连续导致，贝iRJ=1-=

xoxqy

22

⑶设/为桶扇5+1=1,其周长记为a,则42»+3/+4_/冲=.

(4)设工是"阶矩阵，。0,力•为工的伴随矩阵，£为万阶单位矩阵若幺有特征值凡则

(4)2+£必有特征值_____.

(5)设平面区域刀由曲线及直线丁=0,工=次=/所围成，二维随机变量(X1)在

X

区域少上服从均匀分布，贝ii(x,y)关于牙的边缘概率密度在x=2处的值为

二、

(1)设〃X)连续，则，•等于

(A)^卜2)(C)2炉(一)(D)~2xf(x2)

(2)函数〃x)=(一一x-2)卜3一x|不可导点的个数是

(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.

(3)已知函数1y=1y(x)在任意点x处的噌壁A_y=2鸟+冬且当AX70时，a是“的高

14-x

阶无穷小，y(O)=开，则y(l)等于

aa

(A)2万.(B)7T.(C)eT.(D)短

的自q

(4)设矩阵的b25是满秩的，则直线二卫=5w=三论与直线

%-。2%一%

«3C3

x-ax_y-i\_z-q

与一心瓦一月c2-c3

(A)相交于一点.(B)重合.

(C)平行但不重合.(C)异面.

⑸设4B是两个随机事件,且。〈尸⑷<1,尸⑶>0,尸(司上)=户修|司,则必有

(A)P{A\B}=P{A\B^(B)尸尸(工同

(C)尸(3)=尸(⑷尸(8).(D)尸(力F(⑷尸(8).

三、求直线/：==m=弓在平面开:x-y+2z-l=0上投彩直线"的方程，并求与绕1y

轴旋转一周所成曲面的方程.

四、确定常数N,使在右半平面x>0上的向量j(xj)=2»(/+_/)'i-x2(/+J)为

某二元函数u(xj)的梯度，并求“(xj).

五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度1y(从海平面算

起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在

下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为网体积为反海水比重为Q,仪器所受

的阻力与下沉速度成正比，比例系数为尢(上>0).试建立》与丫所满足的微分方程，并求出函

数关系式1y=^(v).

六、计算JJ竺此3华土其中工为下半球面z=—值不7的上侧，。为大

工(/+/+巧5

于零的常数.

.开.2开

sin一sin—•_

%visin刀"

七、求lim[+…+]

%+1%加+——

2n_

八、设正项数列｛%｝单调减少，且发散，试间级数之一是否收敛？并说

X-1114+1/

明理由.

九、设y=/(x)是区间［0,1］上的任一非负连续函数.

(1)试证存在而40,1),使得再区间［0,而］上以〃/)为高的矩形面积，等于再区间瓦』

上以1y=/卜)为曲边的梯形面积.

(2)又设〃x)在区间(0,1)内可导，且/(x)>-2△卫，证明(D中的而试唯一的.

十、已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换

丫=FT)

z\

化为椭圆柱面方程r+4F=4,求。上的值和正交矩阵P.

十一、设幺是〃阶矩阵，若存在正整数匕使线性方程组H*a=0有解向量且#TawO,

证明：向量组。，工。，…是线性无关的.

十二、已知线性方程组

/丙4卜电维电I=°

,.、以2丙+以22亦2^^2,2xX2M=°

(I)<

、%1々+//2+…+43/0=0

的一个基础解系为伍n也,…为叙)二闯也，…也二了，…，同也2,…,心了，试写出线

性方程组

41再+可方-0

r、瓦1再+%X2卜b2备/弱=。

(II)<

、4丙+B/2卜公记K~。

的通解，并说明理由.

十三、设两个随机变量x,y相互独立，且都服从均值为o,方差为q的正态分布，求随机变

量区-4的方差.

十四、从正态总体从(3,4,6)中抽取容量为〃的样本，如果要求其样本均值位于区间

(1.4,5,4)内的概率不小于0.95,同样本容量〃至少应取多大？

附表：标准正态分布表

Z1.281.6451.962.33

①⑶0.9000.9500.9750.990

十五、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得平均成

绩为66.5分，标准差为15分，间在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生得

平均成绩为70分？并给出检嗡过程.

附表：t分布表

P(t^<tr(n)}=p

0.950.975

351.68962.0301

361.68832.0281

1999

一、填空题

(1)limf-X-------(2)――[sin(xT)%Z

\xxtanx-----小」。')

(3)y'—4j=/x的通解为.

(4)设冏阶矩阵/的元素全为1,则/的冏个特征值是_____.

(5)设两两相互独立的三事件49和C满足条件：幺SC=。,产(/)=尸(m)=P(C)<；,

9

且产(月•，则产(力)=

16

二、

(1)设/(x)是连续函数，F(x)是其原函数，则

(A)当/(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数.

(B)当/(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数.

(C)当了(X)是周期函数时，F(x)*'是周期函数.

(D)当了(X)是单调增函数时，F(x)必是单调噌函数.

1-COSXX>0

石‘大其中g(x)是有界函数,则〃x)在x=0处

{x2g(x),x<0

(A)极限不存在.(B)极限存在，但不连续

(C)连续，但不可导(D)可导.

x,O<x<-

2

⑶设〃x)=<S5)=?+之名C0S«7TX,-00<X<-K»,

2-2x,—<x<1ZH-l

2

其中ax=2j^/(x)cosnTTxdx,(«=0,1,2,…)，则S]-目等于

⑹g⑸―g(C);P)~

(4)设幺是酒x%矩阵，3是XXM矩阵，则

(A)当?《>抬时，必有行列式,8卜0(B)当制〉阀时，必有行列式|上同=0

(O)当万〉加时，必有行列式,8卜0(D)当”加时，必有行列式|幺叫=0

(5)设两个相互独立的随机变量X和F分别服从正态分布从(0,1)和V。1)，则

(A)p(^+r<0)=1(B)P(^+K<1)=1.

(C)p(z-y<o}=1.(D)p{^-r<1}=1.

三、设y=y(x),z=z(x)是由方程2=炉(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中/和

产分别具有一阶连续导致和一阶连续偏导数，求竺.

dx

四、求2=1(dsin_y-/x+_y))dx+ecos1y-ax»,其中a,3为正常数，Z1为从点

幺(2a,0)沿曲线y=yjax-x2到点0(0,0)的弧.

五、设函数1y(耳。之0)二阶可导且成⑶>0/(0)=1,过曲线y=_y(x)上任意一点

产(xj)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为凡,区

间［0,x］上以1y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为$2,并设2S「S2恒为1，求此曲线

1y=y(x)的方程.

六、试证：当x>0时，-l)lnxN(x-l)2.

七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m抓斗

自重400N,缆绳每米重500曾，抓斗抓起的污泥重2000V,提升速度为3m/s,在提升过程中，

污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作

多少焦耳的功？(说明：①lNxb«=lJ；见N,s,J分别表示米，牛顿，秒，隹耳；②抓斗的

高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

八、设S为桶球面;+［+z2=l的上半部分，点尸(xj,z)eS,开为S在点尸处的切平面，

Q(x,yz)为点0(0,0,0)到平面开的距离，求fj~曹

九、设%=Jjtan，dx,

⑴求深％+%)的值；

(2)试证：对任意的常数4>0,级数与会收敛

ac

十.设矩阵力=5b3，其行列式Ml=-1,又金的伴随矩阵4有一个特征值4,

1-c0-a

71

属于4的一个特征向量为a=(-，求a,8,c和4的值.

十一、设工为网阶实对称矩阵且正定，B为wx〃实矩阵，8］为8的转直矩阵，试证：

BTAB为正定矩阵的充分必要条件是8的秩r(B)=/

十二、设随机变量x与y相互独立，下表列出了二维随机变量（x,y）联合分布律及关于星和

关于y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.

为乃P(X=xi)=pi

1

8

今2

8

J

产{y=x}=Pj1

~6

十三、设总体£的概率密度为

&-x),0<x<&

0,其他

工1，星2,…，凡是取自总体星的简单随机样本

（1）求6的矩估计量6

（2）求6的方差

2000

一、填空题

⑴J»2x-x2dx=——（2）曲面/+2/+3Z?=21在点（1,-2,2）的法线方程为

（3）微分方程到+3y=0的通解为.

1

（4）已知方程组3无解，贝ija=.

0_

设两个相互独立的事件幺和B都不发生的概率为:，工发生6不发生的概率与6发生兑不

9

发生的概率相等，则产（金）=

二、

⑴设〃x）,g（x）是恒大于零得可导函数,且/（x）g（x）-〃x）g'（x）<0,则当以<X

时，有

(A)/(x)g(i)>/(2>)g(z)⑻/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>f{b}g[b}(0)/(x)g(x)>/(dt)g(a)

(2)设S:f+/+22=。24之0),瓦为6在第一卦限中的部分,则有

(A)JJxdS=40xdS(B)JJydS=40xdS

6slS§

(C)[[zdS=4][MS(D)JJ*dS=4“*dS

S'S'

(3)设级数3/收敛，则必收敛的级数为

»^L

（A）£（-叶"（B）

（C）Z（以-1一与J（D）Z（%+%+1）

（4）设附维列向壁组%加〈用线性无关，则M维列向壁组序…，色线性无关的充

分必要条件为

（A）向量组％…,％可由向量组力，…,凡线性表示.

（B）向量组母,…，息可由向量组％,线性表不.

（C）向量组%，…,4与向量组月，…，禽等价.

（D）矩阵力=4）与矩阵8=（注…其）等价.

（5）设二维随机变量（x,y）服从二维正态分布，则随机变量q=x+y与7=星-/不相关

的充分必要条件为

(A)=£(?).

(B)5(^a)-[£(x)]2=£(r2)-[£(r)]2.

©E(X)=秋y)

但那国)+回x)J=E(y2)+[£(r)]2.

(i)

一+-2+统sinx

二、水hm----丁+I」.

2°」4x

1+®—II

lx/

四、设z=_/(»,三]+其中/具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求W-

ky)\y)dxdy

五.计算曲线积分I=d吗一号其中L是以点（1,0）为中心，R为半径的圆周（木＞1）,

4x+y

取逆时针方向.

六、设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面工都有

竹炉（xyfydz-jyj（x）dzdx-/zdxdy=0,

s

其中函数/（X）在（0,+8）内具有连续的一阶导数，且9=1,求/（X）.

七、求察级数Z-i-7三的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性.

占3*+（-2）”«

八、设有一半径为R的球体，片是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到%

距离的平方成正比（比例常数上＞0）,求球体的重心位置.

九、设函数/（X）在［0,开］上连续，且c」（xVxuOjj/^cosxdxM0,试证：在（0,开）内

至少存在两个不同的点刍，使〃域）=」（备）=°♦

十、（本朋满分6分）

1000

01001,

设矩阵W的伴随矩阵/0，且上胡-1=员4-1+3瓦其中5为4阶单位矩阵,

101

0-308

求矩阵8

十一、某试脸性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将!熟练工支援

其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年

2

终考核有不成为熟练工.设第总年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为4和片，

记为向量(;)

⑴求仆，与e］的关系式并写成矩阵形式：=力4+4

»+i/\y»+i/«+1)

(2)验证为=：),%=是工的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;

十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为尸(0<p<1),各产品合格与否相互独立,

当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求X

的数学期望W(X)和方差Q(X).

十三、设某种元件的使用寿命X的概率密度为

2e-2(j),x>6

/(x,8)=<

0,x<0

其中6>0为未知参数，又设西,电,…，/是X的一组样本观测值，求参数6的最大似然估计

值.

2001

一、填空题

⑴设y=e*(qsinx+c2cos力(qg为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的同

解，则该方程为.

(2)设r=^]x2+y2+z2,则div{gradr)\^分=.

(3)交换二次积分的积分次序：J：dy[~y/(x,.

(4)设矩阵幺满足/+工一4£=O,其中&为单位矩阵，则伊-与t=.

(5)设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计产{|X-£(X)|22)W.

二.

(1)设函数/5)在定义域内可导，1y=/卜)的图形如右图所示，则导函数1y=/(弓的图

(2)设函数〃x,刃在点(0,0)附近有定义,且/式0,0)=3,/<0,0)=1,则

(A)dz\=3dx+dy.

(B)曲面z=j)在点(0,0J(0,0))的法向量为{3,1,1}

z=〃X'刃在点(0,0J(0,0))的切向量为［1,0,3}

(C)曲缭

.y=o

(D)曲线，z=/，'刃在点(0,0,〃0,0))的切向量为{3,0,1}

、y-

(3)设/(0)=0,则/(x)在点x=0可导的充要条件为

(A)氏,/(l-cosh)存在.(B)氏存在.

(C)配和q-sinh)存在.(D)晚如(2h)__/⑻]存在

-1111''4000

11110000

（4）设金=,B=,则力与8

11110000

1111_0000

（A）合同且相似（B）合同但不相似

（C）不合同但相似（D）不合同且不相似

（5）将一枚硬币重复掷若欠，以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和y的相关

系数等于

（A）-1（B）0（C）-（D）1

2

.,,farctane",

二、求J春必

四、设函数z=〃xj）在点（1,1）处可微，且

〃L1）=1，乳）=2,/）=3e（x）=/（xJ（x,x））.

求力（叽

1+K,2

—arctanx,XH0

五、设〃x）=《X，试将/（x）展开成x的察级数，并求级数的

1,x=0»-1

和.

六、计算/=’（/-22）以+（222-*2）方+（3/->2）由，其中七是平面x+y+z=2与

柱面|x|+M=l的交线，从z轴正向看去，Z为逆时针方向.

七、设V=〃x）在内具有二阶连续导数且/'（X）w0,试证:

⑴对于内的任意XN0,存在唯一的0（x）€（0,1），使/（X）=〃0）+炉'网x）x］成

立；

（2）lim0（x）=—.

zo、'2

八、设有一高度为&⑷（Z为时间）得雪堆再融化过程中，其侧面积满足方程

2（?+/）

z=h（t}-一、/一（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面

咐

积成正比（比例系数0.9），间高度为130厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

九、设%，生，…乌为线性方程组Ax=O的一个基础解系，

自=4%+4%同=4%+与生,…，月=£巡,+£2%其中为实常数试间4也满足什么

关系时，练月，…,网也为2x=0的一个基础解系.

十、已知3阶矩阵工与三维向量x,使得向量组九出线性无关，且满足

A3X=3AX-2A2X

（1）记尸=卜,工求2阶矩阵尻使工=尸6/1;

（2）计算行列式M+囚.

十一、设某班车起点站上客人数度服从参数4（4>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概

率为尸（0〈尸<1）,且途中下车与否相互独立，以丫表示在中途下车的人数，求：

（1）在发车时有万个乘客的条件下，中途有冽人下车的概率；

（2）二维随机变量（£,¥）的概率分布.

十二、设总体乃服从证态分布以区〃/b>0）,从该总体中抽取简单随机样本

_12x»_2

出,与「，氏*522）其样本均值为工=」-£;冗，求统计量/=£区+区3一2^）的

数学期望月（y）.

2002

一、填空题

⑴，、1产71c/^x7"——，

（2）已知函数？=?（x）由方程夕+6到+/-1=。确定，则？"（0）=

（3）微分方程W+/=0满足初始条件儿_。=1,1yL=1的特解是.

（4）已知实二次型_/（亚,々,马）=a（x/+电2+芯3?）+4尤1々+4X1*3+4X/3经正文变换

x=Py,可化标准形了=6y：,则《=.

（5）设随机变量X服从正态分布"（区"）（b>0）；且二次方程/+4y+X=0无实根的

概率为（，则〃=.

二、

（1）考虑二元函数_/（xj）的下面4条性质：

①/（x,y）在点（瓦J。）处连续；③f（XJ）在点（X。,y0）处可微；

②〃xj）在点（加冲）处的两个偏导数连续；④〃xj）在点（曲,必）处的两个偏导数存在.

若用“尸=>Q”表示可由性质尸推出Q,则有

(A)②=③n①(B)③0②二①

(O③n④n①(D)③二①二④

户0(〃=123,…)且黝£=1,则级唁(-1广g11

（2）设以一+

发散.

（A）发散（B）绝对收敛

（C）条件收敛（D）收敛性根据所给条件不能判定.

（3）设函数y=_/（x）在（0,48）内有界且可导，则

（A）当lim〃x）=0时，必有Hm/（x）=O

JT->-kOXT4D0

（B）lim/（x）存在时，必有lim/（x）=0

XT+coX）Ico

（C）当h*/（x）=O时，必有1号+/（x）=0

（D）h*〃x）=O存在时，必有li*/（x）=0

（4）设有三张不同平面的方程4]X+%++%3Z=4，i=1,2,3,它们所组成的线性方程组的系

数矩阵与增广矩阵的秩都是2,则这三张平面可能的位置关系为

(A)(B)(C)(D)

（5）设笈和耳是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为工（力和

力（x）,分布函数分别为我/x）和玛（X），则

（A）工（x）+《（x）必为某一随机变壁的概率密度.

（B）[（x）右⑺必为某一随机变量的概率密度.

（C）片（x）+玛（x）必为某一随机变量的分布函数

（D）耳（x）玛（x）必为某一随机变量的分布函数.

三、设函数〃x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导致，且〃O）HOJ'（O"。，若

af㈤+”（23-/⑼在/70时是比h高阶的无穷小，试确定以出的值.

四、已知两曲线J=F（X）,J=JO在点（0,0）处的切线相同，写出此切线方程，并求

极限lim*'-

…