苏科版九年级上册数学全册教学设计

苏科版九年级上册数学全册教案完整版教学设计

第一章一元二次方程

1.1一元二次方程

【知识与技能】

1.使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方

程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.

2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.

【过程与方法】

经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,让学生体会到方程是刻画现

实世界中数量关系的一个有效数学模型.

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

一元二次方程的概念及其一般形式.

从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.

多媒体课件.

（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它的上部（腰以

上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等

于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm,则其上部高为（2-x）m,由此可得到的

等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不

同吗？

【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分

割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.

一、思考探究，获取新知

由上述问题，我们可以得到？=2（2-x）,即f+2尸4=0.显然这个方程只含有一个未知数，

且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.

探究1见教材第2页问题1.（课件展示问题）

【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题

帮助学生分析:如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少？

宽为多少？由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的？

【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x）cm,宽为（50-2x）

cm,由此可得到方程（100-2x）（50-2A-）=3600,整理为：4^-300户1400=0,化简，得

。-75e350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.

探究2见教材2~3页问题2.

【教学说明】教学过程中，教师可设置如下问题：

（1）这次排球赛共安排场；

（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有—

场比赛；

（3）由此可列出的方程为，化简得.教师提出

问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展

示）

【讨论结果】设应邀请『个队参赛，通过分析可得到』•（尸1）=28,化简，得V-产56,

2

即*2-『56=0.

观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后

相互交流，得出这些方程的特征：

（1）方程各项都是整式；

（2）方程中只含有一个未知数；

（3）未知数的最高次数是2.

【归纳结论】

1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元

二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是af+b户c=o（a¥O）,其中af是二次项，a是二次项系数;

"是一次项，6是一次项系数；c是常数项.

想一想

1.二次项的系数a为什么不能为0?

2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a,b,。都一定是正数吗？谈谈你的看

法.

【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生

进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.

探究3从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表

如下：

X12345678910

x2一x-56

可以发现，当产8时，/_『56=0,所以产8是方程*-『56=0的解，一元二次方程的解

也叫做一元二次方程的根.

思考

1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？

2.方程。-尸56=0有一个根为年8,它还有其它的根吗？

【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫

做一元二次方程的根；

2,由于x=~7时，f-尸56=49-（-7）-56=0,故x=-7也是方程尸56的一个根.事实上，

一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为汨=〃，XFn.

二、典例精析，掌握新知

例1已知关于x的方程（加2）『+3户归0是一元二次方程，求此一元二次方程.

【分析】观察方程特征，依定义建立关于勿的方程，再考虑其二次项系数不能为0,可

得到结论.

\m\=2

【解】由题意有11，，炉2.

〃？+2/0

因此原一元二次方程为4*+3X+2=0.

例2将方程3x(k1)=5(户2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系

数、一次项系数及常数项.

【解】去括号，得33-3尸5户10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为

3/-8尸10=0.

其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.

【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情

况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加

深对本节知识的理解和掌握.

(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；

(2)一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(aWO)中的括号是否可有可无？为什么？

r—1k未知数

,概念彳最高次是2

〔整式方程

兀

次一般形式：ax2+bx+c=O(aRO)

方

程

二次

_次项系数常数项

教材P8习题1.1

第一章一元二次方程

1.2一元二次方程的解法

课时1直接开平方法

【知识与技能】

1.会利用开平方法解形如xJp(p》O)的方程；

2.初步了解形如(x+n)2=p(p20)方程的解法.

3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

【过程与方法】

通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.

【情感态度与价值观】

在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.

解形如/=p(p2O)的方程.

把一个方程化成x2=p(p>0)的形式.

«@©

多媒体课件.

(学生活动)请同学们解下列方程

(1)3X2-1=5(2)4(X-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p20)的形式，那么可得x=±J万

mx+n=±yf'p(p，0).

如：4X2+16X+16=(2X+4),,你能把4x>16x=-7化成(2x+4)?=9吗？

一、思考探究，获取新知

探究一桶油漆可刷的面积为ISOOdm',李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形

状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

探究1设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积

的和为,由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？

【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.

教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间

的关系，帮助学生获取新知.

【讨论结果】解：6x2,10X6x2,10X6x2=1500,整理得（=25,根据平方根的意义，得x=

±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,

故x=5dm.

【归纳结论】一般地，对于方程

x2=p,（I）

（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（I）有两个不等的实数根

X产-后,X2=jj；

⑵当p=0时,方程（I）有两个相等的实数根X|=X2=O;

（3）当p<0时，因为对任意实数x,都有x220,所以方程（I）无实数根.

探究2对上面题解方程（I）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）J5?

【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既

帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学

生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.

【讨论结果】学生通过比较它们与方程（=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.

在解方程（I）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：

由方程

（x+3）2=5,②

得X+3=±J5',

即x+3=>/5或x+3=-y/5.③

于是，方程（x+3）.=5的两个根为xi=-3+X2=-3-

【归纳结论】

上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个

一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.

【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程

的实质是转化.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程：（教材第6页练习）

（l）2x-8=0;（2）9X2-5=3;

(3)(x+6)2-9=0;(4)3(x-l)-6=0;

(5)X2-4X+4=5;(6)9X2+5=1.

2

【解】(1)原方程整理，得2X=8,即x-4,根据平方根的意义，得x=±2,即xi=2,x2=-2.

(2)原方程可化为9x^=8,即x:8/9.两边开平方，得x=±巫,

3

011_2逝_2&

即X1-------,X2_-------.

33

(3)原方程整理，得(x+6)-9,根据平方根的意义，得x+6=±3,即Xi=-3,Xz=-9.

(4)原方程可化为(x-1)2=2,

两边开平方，得xT=±&,

Xl=l+>/2,X2=l-6；

(5)原方程可化为(x-2)4,

两边开平方，得x-2=±J^,

X1=2+yfs,X2=2-y/5.

(6)原方程可化为9X2=-4,X2=-4/9.由前面结论知,当p<0时，对任意实数x,都有x2

》0,所以这个方程无实根.

1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：，=匕(人》0)；ax2=b

0,ab20)。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中

规定了范围，否则方程无实数解。

2、对于形如-="(a#0,ab20)的方程，只要把(》一口看作一个整体，就

可转化为-=〃(n>0)的形式用直接开平方法解。

3、直接开平方法解方程的重要步骤：(1)变形；(2)开方；(3)求解。

直接开平方法解一元二次方程的“三步法"

____将方程化为含未知数的兑全

［变元）

*平方式=非负常数的形式；

利用平方根的定义，将方程

回*转化为两个一元一次方程；

解一元一次方程，得出方程

的根.

教材P10练习1,2题

第一章一元二次方程

1.2一元二次方程的解法

课时2配方法（二次项系数为D

【知识与技能】

掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

【过程与方法】

理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.

【情感态度与价值观】

在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法和技巧.

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法和技巧.

多媒体课件.

问题要使一块长方形的场地的长比宽多61n，并且面积为16m，场地的长与宽各是多少？

思考如果设这个长方形场地的宽为xm,则长为,由题意可列出的方程

为，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？

【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数

学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.

教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的.

一、思考探究，获取新知

讨论:配方法解一元二次方程的一般步骤：

【讨论结果】(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移

到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全